1 §11－1 概 述1.1.能量法能量法：： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法固体的位移、变形和内力等的方法2.2.能量法的应用范围：能量法的应用范围：（（1 1）线弹性体；非线性弹性体）线弹性体；非线性弹性体（（2 2）静定问题；超静定问题）静定问题；超静定问题（（3 3）是有限单元法的重要基础）是有限单元法的重要基础2 §11－2 应变能应变能 余能余能1.1.应变能应变能 (1) (1) 线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式式( (参见上册参见上册) )拉拉( (压压) )杆杆圆轴扭转圆轴扭转梁弯曲梁弯曲3 (2) (2) 非线性弹性体的应变能表达式非线性弹性体的应变能表达式对图对图(a)的拉的拉杆杆,F在在d 上所作微功为上所作微功为 dW = F d F作的总功为作的总功为：：（（F- 曲线与横坐标轴间的面积）曲线与横坐标轴间的面积）AFl(a)FF1FdDO1(b)4 由能量守恒得应变能：由能量守恒得应变能：(此为由外力功计算应变能的表达式此为由外力功计算应变能的表达式））类似，可得其余变形下的应变能：类似，可得其余变形下的应变能：5 若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下表面上的力为表面上的力为: :F = 11 = 其伸长量为：其伸长量为：＝ 1＝ 则作用于此单元体上的外力功为：则作用于此单元体上的外力功为： 注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的应注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的应变能变能( (数值上等于上式中的数值上等于上式中的W) ) 为应变能密度为应变能密度: :( - - 曲线与横坐标轴间的面积曲线与横坐标轴间的面积））Ode11(c)6 若取边长分别为若取边长分别为dx、、dy、、dz 的单元体，则此单的单元体，则此单元体的应变能为：元体的应变能为：整个拉杆的应变能为：整个拉杆的应变能为：(此为由应变能密度计算应变能的表达式此为由应变能密度计算应变能的表达式) )7 说说明明：：线线弹弹性性体体的的v 、、V 可可作作为为非非线线性性体体的的v 、、 V 的的特特例例。
由由于于线线弹弹性性的的F与与 或或 与与 成成正正比比，，则则F－－ 曲曲线线或或 －－ 曲曲线线与与横横坐坐标标轴轴围围成成一一个个三三角角形形，，其其面面积积等于应变能等于应变能V 和应变能密度和应变能密度v 同理，可得纯剪时的同理，可得纯剪时的应变能密度应变能密度v 为：为：8 例例11-1 11-1 弯曲刚度为弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载的简支梁受均布荷载q作用，作用，如图所示试求梁内的应变能如图所示试求梁内的应变能 解：梁的挠曲线方程为：解：梁的挠曲线方程为：荷载所作外力功为：荷载所作外力功为：将前一式代入后一式得：将前一式代入后一式得：wxlyABqx9 例例11-2 11-2 原原为为水水平平位位置置的的杆杆系系如如图图a 所所示示，，试试计计算算在在荷荷载载F1作作用用的的应应变变能能两两杆杆的的长长度度均均为为l，，横横截截面面面面积积均均为为A，，其其材材料料相相同同，，弹弹性性模模量量为为E，，且且均均为为线线弹弹性性的解：设两杆的轴力为解：设两杆的轴力为FN ，，则两杆的伸长量均为：则两杆的伸长量均为：两杆伸长后的长度均为：两杆伸长后的长度均为：F111ll(a)10 由图由图a的几何关系可知：的几何关系可知：F111ll(a)11 代入前一式得：代入前一式得：或：或：（（几何非线性弹性问题几何非线性弹性问题））其其F- 间的非线性关系曲线为：间的非线性关系曲线为：应变能为：应变能为：FF= ()EA 3O/l12 2. 余能余能 设图设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F- 曲线如图曲线如图b 。
余功余功Wc”定义为：定义为： 与余功相应的能称为余能与余功相应的能称为余能Vc，，余功余功Wc与余能与余能Vc 在数值上相等在数值上相等F(a)FOdF 1F1 (b)13 （（代表代表F- 曲线曲线与纵坐标轴间的面积与纵坐标轴间的面积））即：即：FOdF 1F1 (b)14 另外，也可由余能密度另外，也可由余能密度vc计算余能计算余能V c：：其中，余能密度其中，余能密度vc为：为：（（代表图代表图c中中 - 与纵坐标轴间的面积与纵坐标轴间的面积））Od1(c)15 •对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计算方法却截然不同相等，其概念和计算方法却截然不同注意：注意：•对非线性材料，则对非线性材料，则余能余能V c与应变能与应变能V 在数值在数值上不一定相等上不一定相等•余功、余能、余能密度都没有具体的物余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已理概念，仅是具有功和能的量纲而已16 例例11-3 11-3 试试计计算算图图a 所所示示结结构构在在荷荷载载F1 1作作用用下下的的余余能能Vc c 。
结结构构中中两两杆杆的的长长度度均均为为l，，横横截截面面面面积积均均为为A材材料料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示解：解：两杆轴力均为：两杆轴力均为：两杆横截面上的应力为：两杆横截面上的应力为：O11(b)F1CBD(a)17 所以所以余能为余能为余能密度为：余能密度为：由已知由已知18 §11－3 卡氏定理1.1.卡氏第一定理卡氏第一定理设图中材料为非线性弹性，设图中材料为非线性弹性，由于应变能只与由于应变能只与最后荷载有关，最后荷载有关，而与加载顺序无而与加载顺序无关不妨按比例关不妨按比例方式加载，从而方式加载，从而有有 假设与第假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量个荷载相应的位移有一微小增量d i ,则则应变能的变化为：应变能的变化为：123n123nB19 因仅与第因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量个荷载相应的位移有一微小增量,而与其而与其余各余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量小增量d i ，仅，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：作了外力功，外力功的变化为：注意到上式与下式在数值上相等注意到上式与下式在数值上相等从而有：从而有：（（卡氏第一定理卡氏第一定理 ））注意：注意：•卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。
性弹性体•式中式中Fi及及 i分别为广义力、广义位移分别为广义力、广义位移•必须将必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率写成给定位移的函数，才可求其变化率20 例例11-4 由由两两根根横横截截面面面面积积均均为为A的的等等直直杆杆组组成成的的平平面面桁桁架架，，在在结结点点B处处承承受受集集中中力力F，，如如图图a 所所示示两两杆杆的的材材料料相相同同，，其其弹弹性性模模量量为为E，，且且均均处处于于线线弹弹性性范范围围内内试试按按卡卡氏氏第第一一定定理理，，求求结结点点B的的水水平平和和铅铅垂垂位位移 解：解： 设结点设结点B的水平和铅垂位移分别为的水平和铅垂位移分别为 1和和 2，，先假设结点先假设结点B只发生水平位移只发生水平位移 1 （图（图b））则：则：AB(b)CB'1ABF45O(a)Cl21 同理，结点同理，结点B只发生铅垂位移只发生铅垂位移 2（图（图c））则：则：当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）AB(c)CB'' 222 应用卡氏第一定理得应用卡氏第一定理得解得：解得：桁架的应变能为桁架的应变能为23 2.卡氏第二定理卡氏第二定理设有非线性弹性的梁，设有非线性弹性的梁，梁内的余能为：梁内的余能为：假设第假设第i个荷载个荷载Fi有一微小增量有一微小增量dFi ，而其余，而其余荷载均保荷载均保持不变，因此，由于持不变，因此，由于Fi改变了改变了dFi ，，外力总余功的相外力总余功的相应改变量为：应改变量为：余能的相应改变量为：余能的相应改变量为：123n123nB24 由于外力余功在数值上等于余能，得由于外力余功在数值上等于余能，得解得：解得：（称为（称为“余能定理余能定理”）） 特别：特别： 对线弹性体，由于力与位移成正比，应对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能变能V 在数值上等于余能在数值上等于余能V c ，， 此时上式变为：此时上式变为：（称为（称为“卡氏第二卡氏第二定理定理”））式中的式中的Fi 和和 i分别为广义力和广义位移。
分别为广义力和广义位移25 注意：注意：•卡卡氏氏第第一一定定理理和和余余能能定定理理既既适适合合于于线线弹弹性性体体，，也也适适合合于于非非线线性性弹弹性性体体，，而而卡卡氏氏第第二二定定理理 作作为为余能定理的特例，仅余能定理的特例，仅适合于线弹性体适合于线弹性体•所导出的位移是加力点沿加力方向的位移所导出的位移是加力点沿加力方向的位移•当当所所求求位位移移处处无无相相应应广广义义力力时时，，可可在在该该处处““虚虚加加””上上广广义义力力，，将将其其看看成成已已知知外外力力，，反反映映在在反反力力和和内内力力方方程程中中，，待待求求过过偏偏导导后后，，再再令令该该““虚加虚加””外力为外力为0 0•实际计算时，常采用以下更实用的形式：实际计算时，常采用以下更实用的形式：26 例例11-5 求悬臂梁求悬臂梁B点的挠度点的挠度EI为常数 27 例例11-6 11-6 图示桁架结构已知：图示桁架结构已知：F=35kN, d1=12mm, d2=15mm, E=210Gpa求A点垂直位移点垂直位移 28 例例11-7 弯曲刚度为弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分布荷载如的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。
梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度图所示梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度 解：解：在自由端在自由端“虚加虚加”外力外力F任意任意x截面处的弯矩为：截面处的弯矩为：xlyABx00lxF29 例例11-8 弯曲刚度均为弯曲刚度均为 EI的静定组合梁的静定组合梁 ABC，在，在 AB段上受均布荷载段上受均布荷载q作用，如图作用，如图a 所示梁材料为线弹性所示梁材料为线弹性体，不计切应变对梁变形的影响试用卡氏第二定理体，不计切应变对梁变形的影响试用卡氏第二定理求梁中间铰求梁中间铰B两侧截面的相对转角两侧截面的相对转角 解：解：在中间铰在中间铰B两侧虚设一对外力偶两侧虚设一对外力偶MB（图（图b)各支反力如图各支反力如图b AB段弯矩方程：段弯矩方程：qACBllMBMBACBqxx30 由卡氏第二定理得：由卡氏第二定理得： 结果符号为正，说明相对转角结果符号为正，说明相对转角B的转向与图的转向与图b中虚加外力偶中虚加外力偶MB的转向一致的转向一致BC段弯矩方程段弯矩方程31 例例11-9 求图示刚架求图示刚架B截面截面ΔBx, ΔBy。
解：（解：（1）求）求ΔΔBx：： 32 （（2）求）求ΔΔBy ：： 33 例例11-10 图示弯曲刚度为图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一的等截面开口圆环受一对集中力对集中力F作用环的材料为线弹性的，不计圆环作用环的材料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响试用卡氏第二定理求内剪力和轴力对位移的影响试用卡氏第二定理求圆环的张开位移圆环的张开位移 和相对转角和相对转角 解：解：1、张开位移、张开位移FRFjjR(1-cos )34 所以所以FRFjjR(1-cos )35 2 2、相对转角：、相对转角： FRFjjR(1-cos )MfMf36 FMNAAFBj jT例例11-11 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在在A点点受铅垂力受铅垂力F的作的作 用，用，求求A点的垂直位移点的垂直位移解：解：①①①①求内力求内力AFRFN37 ②②变形：变形：38 作业：作业：3-6(a), 3-7(c), 3-8(b)39 作业：作业：3-1(b), 3-1(d), 3-3(b)40 。