一元二次方程解法复习

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1、第二章第三课时：第二章第三课时： 一元二次方一元二次方程程 要点、考点聚焦要点、考点聚焦课前热身课前热身典型例题解析典型例题解析课时训练课时训练一元二次方程及其解法一元二次方程及其解法1、一元二次方程、一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程这样的整式方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown）。）。 一般形式：一般形式：ax2bxc0 (a、b、c是常数，是常数，a0) 其中其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项；和

2、常数项； ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项。分别叫做二次项、一次项和常数项。3.3.3.3. 一元二次方程的四种解法：一元二次方程的四种解法：一元二次方程的四种解法：一元二次方程的四种解法：直直直直接接接接开开开开平平平平方方方方法法法法：形形形形如如如如x x x x2 2 2 2=k(k0)=k(k0)=k(k0)=k(k0)的的的的形形形形式式式式均均均均可可可可用用用用此此此此法求解法求解法求解法求解. . . .w(2)(2)配方法配方法w通过配成通过配成通过配成通过配成完全平方式完全平方式完全平方式完全平方式的方法的方法的方法的方法, , , ,得到了一元二次方程的得

3、到了一元二次方程的得到了一元二次方程的得到了一元二次方程的根根根根, , , ,这种解一元二次方程的方法称为这种解一元二次方程的方法称为这种解一元二次方程的方法称为这种解一元二次方程的方法称为配方法配方法配方法配方法w用配方解方程的一般步骤用配方解方程的一般步骤: :1.1.化化1 1: :把二次项系数化为把二次项系数化为1(1(方程两边都除以二次项方程两边都除以二次项系数系数););3.3.配方配方: :方程两边都加上一次项系数方程两边都加上一次项系数绝对值绝对值一半的一半的平方平方; ;4.4.变形变形: :方程左分解因式方程左分解因式, ,右边合并同类右边合并同类; ;5.5.开方开方:

4、 :左边是含未知数的一次式左边是含未知数的一次式左边是含未知数的一次式左边是含未知数的一次式, , , ,右边取平方根右边取平方根右边取平方根右边取平方根6.6.求解求解: :解一元一次方程解一元一次方程; ;7.7.定解定解: :写出原方程的解写出原方程的解. .2.2.移项移项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;w(3)(3)公式法公式法: :w1 1. .一元二次方程一元二次方程: :axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)w2.2.用求根公式解一元二次方程的方法称为用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法公式法( (solving by solvi

5、ng by formularformular).).w3.3.用公式法解题的一般步骤用公式法解题的一般步骤: :w变形变形: :化已知方程为一般形式化已知方程为一般形式; ;w计算计算: : b b2 2-4ac-4ac的值的值; ;w代入代入: :把有关数值代入公式计算把有关数值代入公式计算; ;w定根定根: :写出原方程的根写出原方程的根. .w确定系数确定系数: :用用a,b,ca,b,c写出各项系数写出各项系数; ;注意注意注意注意：要用求根公式要用求根公式要用求根公式要用求根公式解方程时，必解方程时，必解方程时，必解方程时，必须先把方程化须先把方程化须先把方程化须先把方程化为一般形式

6、。为一般形式。为一般形式。为一般形式。w(4)(4)分解因式法分解因式法: :w1.1.当一元二次方程的一边是当一元二次方程的一边是0,0,而另一边而另一边易易于于分解成两个一次因式的乘积时分解成两个一次因式的乘积时, ,我们就可我们就可以用分解因式的方法求解以用分解因式的方法求解. .这种用分解因式这种用分解因式解一元二次方程的方法你为解一元二次方程的方法你为分解因式法分解因式法. .w2.2.分解因式法解一元二次方程的一般步骤是分解因式法解一元二次方程的一般步骤是: :w(2).(2).将方程左边因式分解将方程左边因式分解; ;w(3).(3).根据根据“两个因式的积等于零两个因式的积等于

7、零, ,至少有一个因式至少有一个因式为零为零”, ,转化为两个一元一次方程转化为两个一元一次方程. .w(4).(4).分别解两个一元一次方程，它们的根就是分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根原方程的根. .w(1).(1).化方程为一般形式化方程为一般形式; ;4、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根的判别式w我们知道我们知道我们知道我们知道: : : :代数式代数式代数式代数式b b b b2 2 2 2-4ac-4ac-4ac-4ac对于方程的根起着关键的作用对于方程的根起着关键的作用对于方程的根起着关键的作用对于方程的根起着关键的作用. . . . 一元二次方程的两个根与它

8、的系数有如下关系：一元二次方程的两个根与它的系数有如下关系：一元二次方程的两个根与它的系数有如下关系：一元二次方程的两个根与它的系数有如下关系： 两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数; ; ; ;两两两两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商根之积等于常数项除以二次项系数所得的商根之积等于常数项除以二次项系数所得的商根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. . . . 一般地一般地一般地一般地, , , ,若一元二次方程若一

9、元二次方程若一元二次方程若一元二次方程axaxaxax2 2 2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两个根是的两个根是的两个根是的两个根是: : : : 5、根与系数的关系、根与系数的关系韦达定理韦达定理（1 1）已知方程一根，求方程另一根及方）已知方程一根，求方程另一根及方程中的字母系数；程中的字母系数；（2 2）求一元二次方程两根对称式的值；）求一元二次方程两根对称式的值；（3 3）已已知知方方程程两两根根之之间间的的关关系系，确确定定方方 程中字母系数的值；程中字母系数的值；（4 4）解决其它有关问题）解决其它有关问题应用：应用：

10、1.(200(2004 4年年年年 黑龙江黑龙江黑龙江黑龙江) )如果代数式如果代数式如果代数式如果代数式4y4y2 2-2y+5-2y+5的值为的值为的值为的值为7 7，2. 那么代数式那么代数式那么代数式那么代数式2y2y2 2-y+1-y+1的值等于的值等于的值等于的值等于 ( ( ) )3. A.2 B.3 C.-2 D.4 A.2 B.3 C.-2 D.4课前热身课前热身A A 2. 2. (200(2004 4年年年年 北京海淀区北京海淀区北京海淀区北京海淀区) )若若若若a a的值使得的值使得的值使得的值使得x x2 2+4x+a=(x+2)+4x+a=(x+2)2 2-1-1成

11、立，则成立，则成立，则成立，则a a的值为的值为的值为的值为 ( ( ) ) A.5 B.4 C.3 D.2 A.5 B.4 C.3 D.2C C3.(20043.(2004年年年年 吉林省吉林省吉林省吉林省) )已知已知已知已知mm是方程是方程是方程是方程x x2 2-x-2=0-x-2=0的一个根，则的一个根，则的一个根，则的一个根，则代数式代数式代数式代数式mm2 2-m-m的值等于的值等于的值等于的值等于 。2 2解：解：解：解：x x2 2+3x-10=0+3x-10=0 (x+5)(x-2)=0 (x+5)(x-2)=04.(2004.(2004 4年年年年 四川四川四川四川) )

12、解方程解方程解方程解方程x x2 2+3x=10+3x=10x=-5x=-5或或或或x=2x=25.(2005.(2004 4年年年年 河北省河北省河北省河北省) )用换元法解方程用换元法解方程用换元法解方程用换元法解方程 时，如果设时，如果设时，如果设时，如果设 ，那么原方程可化为关于，那么原方程可化为关于，那么原方程可化为关于，那么原方程可化为关于y y的的的的一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是 。课前热身课前热身典型例题解析典型例题解析【例【例【例【例1 1】 (2003 (2003年年年年 甘肃省甘肃省甘肃省甘肃省) )若若

13、若若3 3是关于是关于是关于是关于(4/3)x(4/3)x2 2-2a+1=0-2a+1=0的一个解，则的一个解，则的一个解，则的一个解，则2 2a a的值是的值是的值是的值是 ( ) ( ) A.11 B.12 C.13 D.14 A.11 B.12 C.13 D.14C C【例【例【例【例2 2】 若方程若方程若方程若方程y y2 2-3y+m=0-3y+m=0的一个根是的一个根是的一个根是的一个根是1 1，则它的另一，则它的另一，则它的另一，则它的另一个根是个根是个根是个根是 ，mm的值是的值是的值是的值是 . . 2 22 2(4)(4)(4)(4)用配方法得：用配方法得：用配方法得：

14、用配方法得：m m m m2 2 2 2-6m+9=616+9 -6m+9=616+9 -6m+9=616+9 -6m+9=616+9 (m-3) (m-3) (m-3) (m-3)2 2 2 2=625 m-3=625 m-3=625 m-3=625 m-3=25 25 25 25 m m m m=28,m=28,m=28,m=28,m2 2 2 2=-22=-22=-22=-22【例【例【例【例3 3 3 3】解方程：】解方程：】解方程：】解方程：(1)(1)(1)(1)x x x x2 2 2 2-3x-10=0-3x-10=0-3x-10=0-3x-10=0；(2)x(2)x(2)x(

15、2)x2 2 2 2+4x-1=0+4x-1=0+4x-1=0+4x-1=0； (3)y(y-1)=2 (3)y(y-1)=2 (3)y(y-1)=2 (3)y(y-1)=2； (4)m (4)m (4)m (4)m2 2 2 2-6m-616=0.-6m-616=0.-6m-616=0.-6m-616=0.(3)(3)(3)(3)原方程变形为：原方程变形为：原方程变形为：原方程变形为：y y y y2 2 2 2-y-2=0 (y-2)(y+1)=0 -y-2=0 (y-2)(y+1)=0 -y-2=0 (y-2)(y+1)=0 -y-2=0 (y-2)(y+1)=0 y y y y1 1

16、1 1=2=2=2=2，y y y y2 2 2 2=-1.=-1.=-1.=-1.典型例题解析典型例题解析解：解：解：解：(1)(1)(1)(1)(x-5)(x+2)=0x-5)(x+2)=0x-5)(x+2)=0x-5)(x+2)=0，xxxx1 1 1 1=5=5=5=5，x x x x2 2 2 2=-2.=-2.=-2.=-2.(2)(2)(2)(2)用公式法得用公式法得用公式法得用公式法得x x x x1 1 1 1，2 2 2 2= = = = 【例【例【例【例4 4 4 4】 若实数若实数若实数若实数x x x x满足条件：满足条件：满足条件：满足条件：( ( ( (x x x

17、 x+4x-5)+4x-5)+4x-5)+4x-5)2 2 2 2+ + + +x x x x-x-30-x-30-x-30-x-30=0=0=0=0，求求求求 的值的值的值的值. . . .【例【例【例【例5 5 5 5】(2002(2002(2002(2002年年年年绍兴绍兴绍兴绍兴) ) ) )若一个三角形的三边长均满若一个三角形的三边长均满若一个三角形的三边长均满若一个三角形的三边长均满足足足足x x x x2 2 2 2-6x+8=0-6x+8=0-6x+8=0-6x+8=0，则此三角形周长为则此三角形周长为则此三角形周长为则此三角形周长为 . . . .6,10,126,10,12

18、典型例题解析典型例题解析解：根据题意得解：根据题意得解：根据题意得解：根据题意得 x x x x+4x-5+4x-5+4x-5+4x-50 0 0 0，且，且，且，且x x x x-x-30=0-x-30=0-x-30=0-x-30=0xxxx-5-5-5-5或或或或x=1x=1x=1x=1，且，且，且，且x=6x=6x=6x=6或或或或x=-5x=-5x=-5x=-5xxxx-5-5-5-51. 1.解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：用因式分解法解方程

19、的关键是先使方程的右边为用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0 0；用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写出形式，正确写出形式，正确写出形式，正确写出a a、b b、c c的值；用直接开平方法解方的值；用直接开平方法解方的值；用直接开平方法解方的值；用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为程的关键是先把方程化为程的关键是先把方程化为程的关键是先把方程

20、化为( (mx-nmx-n) ) 2 2=h=h的形式；用配方的形式；用配方的形式；用配方的形式；用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为法解方程的关键是先把二次项系数化为法解方程的关键是先把二次项系数化为法解方程的关键是先把二次项系数化为1 1，再把方程，再把方程，再把方程，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方的两边都加上一次项系数一半的平方的两边都加上一次项系数一半的平方的两边都加上一次项系数一半的平方. .2. 2.一元二次方程解法的顺序：先特殊，后一般；即先一元二次方程解法的顺序：先特殊，后一般；即先一元二次方程解法的顺序：先特殊，后一般；即先一元二次方程解法的顺序：先特殊，后一般

21、；即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，否则再用公考虑能否用直接开平方法和因式分解法，否则再用公考虑能否用直接开平方法和因式分解法，否则再用公考虑能否用直接开平方法和因式分解法，否则再用公式法，配方法一般不用式法，配方法一般不用式法，配方法一般不用式法，配方法一般不用. .课时训练课时训练1.(200(2004 4年年年年 河南省河南省河南省河南省) )已知一元二次方程已知一元二次方程已知一元二次方程已知一元二次方程x x2 2-2x=0-2x=0，它的，它的，它的，它的2. 解是解是解是解是 ( )( )3. A.0 B.2 C.0 A.0 B.2 C.0，-2 D.0-2 D.0，2 2

22、2. 2. (2002(2002年年年年 厦门市厦门市厦门市厦门市) )一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程x x2 2+x-1=0+x-1=0的根的根的根的根是是是是. . 3. 3. (2003(2003年年年年 陕西省陕西省陕西省陕西省) )方程方程方程方程( (x+1)x+1)2 2=9=9的解是的解是的解是的解是 ( ( ) ) A.x=2 B.x=-4 A.x=2 B.x=-4 C.x C.x1 1=2,x=2,x2 2=-4 D.x=-4 D.x1 1=-2,x=-2,x2 2=4=4C CD D4. 4. (2002(2002年年年年 甘肃甘肃甘肃甘肃) )方程方程

23、方程方程( (m+2)xm+2)x|m|m|+3mx+1=0+3mx+1=0是关于是关于是关于是关于x x 的一元二次方程，则的一元二次方程，则的一元二次方程，则的一元二次方程，则 ( ( ) ) A.m=2 B.m=2 A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m2 C.m=-2 D.m2B B课时训练课时训练5.利用合适的方法解方程：利用合适的方法解方程：7、若最简二次根式、若最简二次根式 是同类是同类根式，则根式，则x的值为多少？的值为多少？1842 2+xxx与答案：答案：3x2+4x=x+18x2+3x-18=0解之得解之得 x1= - 6，x2=3检验：当检验：当x= - 6时，时

24、，x2+4x=12， 不是最简二次根式，不是最简二次根式，x= - 6 舍去舍去6.若若 是关于是关于x的一元二次方程，的一元二次方程，则则m的取值范围是的取值范围是_.8、已知、已知a、b是实数，是实数， ，解关于，解关于x的方程的方程(a+2)x2+b2x+8=0答案：答案：x1= 4，x2= -29 9、(2004(2004，上海）若关于，上海）若关于x x的方程的方程 mxmx-(-(m m)x+)x+m m=0 =0 的根的判的根的判 别式的值是，求别式的值是，求m m的值及方程的根。的值及方程的根。解解: :由由=(3m -1)=(3m -1)-4m(2m-1)=1-4m(2m-1

25、)=1整理得整理得:m:m - 2m - 2m =0 m = 0=0 m = 0或或2 2m = 0m = 0不符合题意不符合题意, ,舍去舍去, , m = 2, m = 2,方程为方程为2x2x - 5x + 3 =0 - 5x + 3 =0 方程的根为方程的根为x = ,x = 1x = ,x = 11 21 21 21 2小结：通过分析及解题过程，可以得到：小结：通过分析及解题过程，可以得到： （4）当因式分解有困难时，就用公式法。配方）当因式分解有困难时，就用公式法。配方法一般不用。（如果把方程化为一般形式后，它法一般不用。（如果把方程化为一般形式后，它的二次项系数为的二次项系数为1

26、，一次项系数是偶数，用配方，一次项系数是偶数，用配方法更好）法更好）（3）解一元二次方程常用因式分解法。）解一元二次方程常用因式分解法。（2）在解方程时，应注意方程的特点，合理选）在解方程时，应注意方程的特点，合理选择简捷的方法。择简捷的方法。（1）如果方程缺一次项，可以用直接开平方法）如果方程缺一次项，可以用直接开平方法来解（形如来解（形如 的方程）。的方程）。1.1.1.1.对于二次项系数含有字母的一元二次方对于二次项系数含有字母的一元二次方对于二次项系数含有字母的一元二次方对于二次项系数含有字母的一元二次方 程程程程, , , ,只有在确认只有在确认只有在确认只有在确认二次项系不为二次项

27、系不为二次项系不为二次项系不为 0 0 0 0 时时时时, , , ,才能才能才能才能 用判别式用判别式用判别式用判别式b b b b2 2 2 2 4ac 4ac 4ac 4ac解决相关问题解决相关问题解决相关问题解决相关问题; ; ; ;否则要否则要否则要否则要 进行讨论进行讨论进行讨论进行讨论; ; ; ;2.2.2.2.认真审题，严格区分条件和结论，例如认真审题，严格区分条件和结论，例如认真审题，严格区分条件和结论，例如认真审题，严格区分条件和结论，例如 是已知是已知是已知是已知 0000，还是要证明，还是要证明，还是要证明，还是要证明 0000； 在运用根的判别式求符合题意的字母的在运用根的判别式求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明取值范围以及进行有关的证明. .须注意以须注意以下几点：下几点：在运用根与系数关系求解时，须注意：在运用根与系数关系求解时，须注意：这一关系是在这一关系是在方程有根方程有根的条件下推导出的条件下推导出来的，因此，如果是根据根与系数关系来的，因此，如果是根据根与系数关系求出方程的系数，求出方程的系数，应代入原方程或根的应代入原方程或根的判别式验证方程是否有根判别式验证方程是否有根。