1/30知识梳理高考速递典例精析空间角与距离第十四讲 2/30射影面积公式： 及向量夹角公式： 解决空间角的计算问题，要注意向量夹角与空间角的区别与联系. 空空间间角角是立体几何中描述空间元素位置关系的一个重要概念，包括直线与直线（主要是异面直线)所成的角、直线与平面所成的角及平面与平面所成的角这三类.要顺利解答有关空间角的试题，首先要理解三类角的概念及取值范围，例如异面直线所成的角θ∈(0, ］，线面角α∈［0, ］，二面角β∈［0,π］.还要善于利用公式:知识梳理 3/30.1.异面直线所成的角通常用平移法转化到一个三角形内求解，此外还可用向量法；2.用几何法求直线与平面所成的角的关键是找出斜线在平面内的射影，确定斜线与其射影所成的角.利用向量法时，公式是:sin = ,其中，P为斜线上异于斜足的任意一点，A为斜足，n为平面的法向量；3.用几何法求二面角的大小的关键是作二面角的平面角，常用的方法有：定义法、垂面法、三垂线定理或其逆定理法、对称法(例如二面角棱为两等腰三角形的公共底边)、全等三角形法、公式法(S射影=S·cosθ)等.利用向量法求解的公式是：cosθ=(n1·n2)/|n1||n2|，运用此公式时一般先求出cosθ的值，再确定二面角是锐二面角还是钝二面角，最后求出θ的值. 4/301.(2008·全国卷全国卷Ⅰ)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 高考速递B 5/30高考速递2.(2008·湖南卷湖南卷)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形， ∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2. (1)证明：平面PBE⊥平面PAB； (2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.BACDEP 6/30 (1)证明：如图，连结BD. 由四边形ABCD是菱形，且∠BCD=60°， 可知△BCD是等边三角形 因为E是CD的中点 所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB.所以PA⊥BE，而PA∩AB=A，所以BE⊥平面PAB.所以平面PBE⊥平面PAB.又PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，又BE平面PBE， 解法解法1BACDEP 7/30(2)延长AD、BE，其延长线相交于点F，连结PF，过点A作 AH⊥PB，则AH⊥平面PBE在Rt△ABF中，因为∠BAF=60°， 所以AF=2AB=2=AP，在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连结AG. 则AG⊥PFHG，由三垂线定理的逆定理得PF⊥HG，故∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(锐角).BACDEPHGF在等腰Rt△PAF中， 在Rt△PAB中， 所以，在Rt△AHG中，sin∠AGH= ,所以所求锐二面角的大小是arcsin . 8/30如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是平面PAB的一个法向量是 =(0,1,0),又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.所以 和 共线，从而BE⊥平面PAB (1)证明：因为ABCDEP解法解法2 9/30ABCDEP 10/30 11/30本题求解的关键是正确地作出BC1在平面BB1D1D内的射影 分析分析典例精析 (2008·福建卷福建卷)(1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )BA1ACDB1C1D1例题例题1 12/30A1ABCDB1C1D1E522121211111=+===Ð\CCBCBC1C1A1ECBECRtBEC1DDBBBC1中，三角形在所成的角为平面 解析解析答案：答案： D 13/30本题需熟练理清各种角之间的关系本题需熟练理清各种角之间的关系.分析分析 解析解析C所以直线n与m所成角的取值范围是［ , ］. 所以m与β所成的角为 ，则由最小角定理知，n与m所成角的最小值为 ,又n与m所成角的最大值为 ,(2) 若二面角 为 ，直线m⊥ ,n ，则直线n与m所成角的取值范围是 ( ) A. (0, ) B. [ , ] C. [ , ] D. [ , ] 因为二面角 为 ，且直线m⊥α， 14/30典例精析例题例题2A1D1B1C1BCDA(3)在棱 上是否存在一点P，使得 ∥平面 ？若存在，试说明点P的位置；若不存在，请说明理由.(1)求直线 与底面ABCD所成角的大小 (2)求二面角 的大小； 15/30分析分析本题综合性较大，考查了面面垂直、线面垂直、线面平行、线本题综合性较大，考查了面面垂直、线面垂直、线面平行、线面角、二面角等几乎立体几何的全部内容。
面角、二面角等几乎立体几何的全部内容例如例如:第第(1)问虽为求线面角，但必须先找垂直关系，再确定要求的角问虽为求线面角，但必须先找垂直关系，再确定要求的角.第第(2)问可先挖掘已知条件，再理清线面的位置关系，从而求二问可先挖掘已知条件，再理清线面的位置关系，从而求二面角的大小面角的大小第第(3)问可通过面面平行找线线平行，从而得到线面平行问可通过面面平行找线线平行，从而得到线面平行 16/30解析解析A1D1B1C1BCDAOABCD,BBAA 11平面平面^\ABCD,平面又ÌADB,BAA11平面^\AD°\60ABCD1所成的角的大小为与平面直线AAÐ\ABCDAA11所成的角与平面为直线ABA^^\ABCD,,11平面OAABOA°=Ð,601ABAQ===,11aBAAAABQ 17/30A1D1B1C1BCDAOH 18/30 延长D1P与DC交于Q，连结BQ.（3）存在.当点P为棱C1C的中点时，D1P平面A1BC.证明如下：由条件得四边形ABQD为正方形，BQ=AD=A1D1，且BQ∥AD∥A1D1，则四边形A1BQD1是平行四边形，D1P∥A1B【证法【证法1】】因为EC为⊿A1BF的中位线，所以EC∥A1B，所以D1P∥A1B。
又D1P不在平面A1BC上，而A1B在平面A1BC上，所以D1P∥平面A1BC.A1D1B1C1BCDAQ点P为棱的C1C的中点，所以PC为ΔD1DQ的中位线，QC=DC.P 19/30【证法【证法2】】延长BC与AD交于F，连结A1F交D1D于E，连结EC.A1D1B1C1BCDAPEF因为CD∥AB/2，且CD=AB/2所以AD=DF，BC=CF，又因为DE∥AA1，所以E为DD1的中点，因为CP∥D1E，且CP=D1E，所以四边形CPD1E为平行四边形，所以D1P∥EC. 20/30解析解析(1)证明：在△PAD中，PA=2,AD=2,PD=22,∴PA2+AD2=PD2，∴AD⊥PA.又AD⊥AB，且PA∩AB=A，∴ AD⊥平面PAB. 变式训练变式训练 (2008·天津卷天津卷) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形. 已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2 ，∠PAB=60°.(1)证明：AD⊥平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成角的大小；(3)求二面角P-BD-A的大小.DPBCA 21/30(2)BC∥AD，所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角.∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，△PBC是直角三角形。
在△PAB中，由余弦定理得：DPBCA异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan . 22/30H(3)如图，过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连结PE.PBCAED又 AD∩AB=A，∴PH⊥平面ABCD，∴HE为PE在平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P—BD—A的平面角故由△BHE∽△BDA， 所以二面角P—BD—A的大小为 . 23/30分析分析 本题为翻折问题本题为翻折问题 应注意图形翻折前后，应注意图形翻折前后，有关位置关系哪些改有关位置关系哪些改变了，哪些未变变了，哪些未变 能转化为平面问题解能转化为平面问题解决的尽量转化到平面决的尽量转化到平面图形中解决图形中解决图图1OO1DCAB图图2OO1DCAB 例3 如图1，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为 的等腰梯形.将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.(1)证明：AC⊥BO1；(2)求二面角O-AC-O1的大小. 备选例题备选例题 24/30解析解析 (1)证明：由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.则相关各点的坐标是：∴AC⊥BO1. OO1DCABzxy 25/30（2）由(1)知AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，设n=（x，y，z）是平面OAC的一个法向量。
得：OO1DCABzxy由 26/301、翻折问题注意翻折前后位置关系的区别与联系；、翻折问题注意翻折前后位置关系的区别与联系；2、当用几何法求角困难时，可考虑使用空间向量避开难点、当用几何法求角困难时，可考虑使用空间向量避开难点回顾与反思】 。