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1、4.1.1函数的单函数的单调性与导数调性与导数高二数学高二数学 选修选修1-1 第第四四章章 导数及其应用导数及其应用2021/5/251（4）.对数函数的导数对数函数的导数:（5）.指数函数的导数指数函数的导数: （3）.三角函数三角函数 ： （1）.常函数：常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式一、复习回顾：基本初等函数的导数公式2021/5/252函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，上，任意任意 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都
2、有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G = ( a , b )二、复习引入二、复习引入:问题问题1 1：函数单调性的定义怎样描述的函数单调性的定义怎样描述的? ?2021/5/253(2)(2)作差作差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) () (作商作商) )2 2
3、用定义证明函数的单调性的一般步骤：用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取任取x1、x2 D，且，且x10,得函数单增区间得函数单增区间; 解不等式解不等式f(x)0,得函数单减区间得函数单减区间.注：注：单调区间不以单调区间不以“并集并集”出现。出现。 4 4. .回答增减区间回答增减区间. .2021/5/2511例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.解解: 当当1 x 4 , 或或 x 0(f(x)0),那么函数那么函数f(x)在在(
4、a,b)内内为增函数（减函数）增函数（减函数）2.如果函数如果函数f(x)在在(a,b)内内为增函数（减函数）增函数（减函数） ,那么那么f(x)0(f(x)0）在区）在区间(a,b)内恒成立。内恒成立。2021/5/2521题型：根据函数的型：根据函数的单调性求参数的取性求参数的取值范范围2021/5/2522 函数在（函数在（0，1上单调递增上单调递增2021/5/2523注：注： 在某个区间上，在某个区间上， ，f（x）在）在这个区间上单调递增（递减）；这个区间上单调递增（递减）； 但由但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到而仅仅得到 是不够的。还
5、有可是不够的。还有可能导数等于能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：2021/5/25242021/5/2525练习：练习：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取的取值值范范围围。解：解：f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数， f(x)=3ax2+6x-10在在R上恒成立，上恒成立， a0且且 =36+12a0， a -32021/5/2526例例3：方程根的问题：方程根的
6、问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。2021/5/2527练习练习判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:2021/5/2528已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。分析分析：ABxyo23题型：应用导数信息确定函数大致图象题型：应用导数信息确定函数大致图象ABxyo232021/5/2529已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。分析分析：ABxyo23题型：应用导数信息确定函数大致图象题型：应用导数信息确定函数大致图象解：解：
7、 的大致形状如右图：的大致形状如右图：2021/5/2530练习练习2.函数函数 的图象如图所示的图象如图所示, 试画出导函数试画出导函数 图象图象的大致形状的大致形状Oabcxy2021/5/2531例例3 3 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同) )注注入下面四种底面积相同的容器中入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容器对应请分别找出与各容器对应的水的高度的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO2021/5/2532(04年全国理年全国理)Bxyo练习2021/5/2533练习练习3.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.解解: 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是2021/5/2534
