中小学概率的教与学中小学概率的教与学 李俊李俊 论文结构 ???????介绍 文献述评 研究的设计与实施过程 对概率的主要错误概念 学习概率过程中认知的发展 教学实验 总结、启示和建议 研究主要问题 ?中国学生对概率这一概念主要有哪些错误认识？ ?学生理解概率这一概念的认知发展过程是怎样的？ ?一个以活动为主的短期教学计划是否能够增进普通中学八年级学生对概率的理解？ 研究视角 ?区分“不可能”、“可能”、“必然” ?解释某一给定的机会值 ?在简单的情景下比较机会的大小 ?在复杂的情景下比较机会的大小 研究意义 研究不同年龄、不同数学能力的中国学生对概率的理解不但有利于我国当前的课程改革，也将为人们了解学生如何思考概率问题做出贡献 文献述评 ?对学生错误概念的研究 ?对学生概率思维框架的研究 ?对实际教学策略的研究 对学生错误概念的研究对学生错误概念的研究 ?在说明机会大小中暴露出的错误概念 ?定性地说明机会 Green (1982)，Fischbein和Gazit(1984),Fischbein、Nello和Marino (1991)，Williams和Amir (1995)，Moritz、Watson和Pereira-Mendoza (1996)以及Chan (1997)。
他们设计了两种类型的测试题，一种是规定情境的，一种是不规定具体情境的得到一致的结论： （1）无论受过或未受过正规的概率教学，许多学生都能区分可能事件、不可能事件和必然事件，且这一能力随年龄增大而提高 （2）以为不太可能就是不可能、很有可能就是必然，以及可能发生与必然发生之间的混淆是两种普遍存在的错误 （3）除了错误概念，语言能力弱也是导致错误的主要原因 对学生错误概念的研究对学生错误概念的研究 ?在说明机会大小中暴露出的错误概念 ?定量地说明机会 ?理论的定义（古典） ——等可能性偏见和其他错误概念 ?经验的定义（频率） ——预言结果法和其他错误概念 ?主观的定义（直觉） ——代表性和其他错误概念 对学生错误概念的研究对学生错误概念的研究 ?在比较机会大小中暴露出的错误概念 ?比较一步试验中的机会大小 Piaget 和Inhelder(1975) 、Noelting(1980a,1980b)、Falk(1983) 、Green(1982,1983a,1983b)，Singer 和Resnick(1992) 以及Watson ，Collis和Moritz(1997) 。
他们要求学生判断，如果取出某颜色的小球，选择哪袋更有利 四种最常见策略:(1)选择小球总数多的那个袋； (2)选择黑球多的那个袋——黑色是想要 的颜色 (3)选择黑白球数差异大的那个袋 (4)选择黑白球数之比大的那个袋 (Green,1983b) 对学生错误概念的研究对学生错误概念的研究 ?在比较机会大小中暴露出的错误概念 ?比较两步试验中的机会大小 对样本空间有错误认识 将一个多步的任务分割成多个独立的一步任务 对学生概率思维框架的研究对学生概率思维框架的研究 ?Piaget和Inhelder 的认知发展理论 ?第一阶段，即前运算阶段（ 7~8岁之前）的儿童，不会区分因果事件和随机事件 ?第二阶段，即具体运算阶段 (7、8岁~12岁左右)的儿童，能区分确定与不确定 ?第三阶段，即形式运算阶段 (12岁~ )的孩子，他们已经能够将演绎逻辑与随机概念统合起来了 对学生概率思维框架的研究对学生概率思维框架的研究 ?SOLO分类法——Biggs & Collis ?五个基本的思维作用方式： 感觉运动方式、表象运动方式、具体符号方式、形式方式、超形式方式 ?将学习的特征按等级顺序分为以下水平： 前结构水平(P)、单一结构水平(U)、多元结构水平(M)、关联水平(R)和进一步抽象水平(E) 本研究关注的是学生的错误概念和表现出的不同理解水平，因此选择了SOLO作为研究的理论指导 对实际教学策略的研究对实际教学策略的研究 ?Hawkins和Kapadia(1984),Garfield 和Ahlgren(1988),Konold(1991), 以及Shaughnessy(1993) 基于不同理论都提出如下建议：1、概率教学应该通过真实数据、活动和直观模拟的使用，创造情境以鼓励学生检查、修改或更正他们对概率的信念和常见的错误认识。
2、教师应该从学生的实际出发去组织概率教学，以使学生感到教学有意义、有用而不是抽象、不相关 3、注意将现代教育技术引进教学 研究设计与实施过程 ?测试题目 ?主研究 ?数据编码 ?教学实验 ?数据分析 测试题目测试题目 ?设计思想 ?采用选择题的形式但要求学生对其所做的选择说明理由 ?在每个班级采用多份测试问卷 ?了解学生对自己答案的自信程度 ?不为访谈单独设计题目 ?从四个方面评价学生对概率的认识 ?区分不可能事件、可能事件和必然事件 ?解释机会值 ?在一步概率试验中比较机会 ?在两步概率试验中比较机会 设计题目 专家反馈建议 修改 试测 修改 主研究主研究 ?样本 ?上海7所学校(普通、重点)的12个班级（六、八、十二年级每个年级四个班）共 567位学生 ?测试问卷调查 ? 访谈 数据编码数据编码 ?学生 A — 表示参加哪套测试问卷,a~i[主研究]；j[教学实验] B — 表示学校，1~7[主研究]；8[教学实验] CD —表示年级，06、08、12 E —表示班号，1~4 FG —表示学生在班里的序号，01~56 H —表示学生的性别，男生(1)/女生(0) I —主研究中访谈过的学生有代码m ?理由 ?认知水平 教学实验教学实验 ?样本 ?普通中学八年级学生 ?测试与访谈 ?所有参加教学实验同学 ?教学 ?两个班(一个在多媒体教室、一个在普通教室) ?数据编码 ?与主研究相同 数据分析 ?一部分是描述性 ?Rasch分析技术 对概率的主要错误概念 按照认识上共性分为以下按照认识上共性分为以下14组组 ?主观判断 ?举例说明可能与不可能 ?可能便是必然 ?用数据匹配或文字匹配来解释机会值 ?一再重复并无益 ?顺势和逆势 ?用自己的方法比较机会 ?将有着不同顺序的结果视作一样的 ?误用或者不当地推广结论 ?用自己的方法计算机会 ?机会不能量化及预测 ?等可能性 ?预言结果法 ?每次机会与累积频率无关 机会不能量化及预测 ?举例说明学生得出了无法预言哪一结果可能性更大的结论，他们说明理由的时候常常强调每一结果都有可能发生，因此无法比较或者很难比较机会大小。
机会不能量化及预测 ?借助Rasch双水平模型针对学生的回答分析出每个问题在引发错误概念上所处的位置，位置越高说明题目越容易引发错误概念结果显示出数据和背景对引发此概念都没什么作用 机会不能量化及预测 ?结论 ?这一概念主要与概率试验结果的不确定性有关，也与学生对随机现象缺乏反复观察的经验有关，对一些学过概率的学生，还与他们将概率的频率定义理解为精确的频率比值有关这一错误概念随着学生年龄增加而减少，但仍有一定数量学过概率的十二年级学生有此错误概念 学习概率过程中认知的发展学习概率过程中认知的发展 ?SOLO分类法 ?前结构水平前结构水平(P) 处于这一水平的回答表现为拒绝或没有能力进入某一问题的解决 ?单一结构水平单一结构水平(U) 处于这一水平的回答只含一种运算 ?多元结构水平多元结构水平(M) 这一水平的回答一般要依次进行几个相关但又不同的运算 ?关联水平关联水平(R) 处于这一水平的回答包含抽象思维成分，所进行的那些运算不仅相关而且反映出对所获信息的整体把握 ?进一步抽象水平进一步抽象水平(E) 这一水平的回答纯粹是抽象思维的结果，学生从已知信息中洞察到需要运用某一抽象的、在条件中并没有明显给出的一般原理 描述性指标 学生回答水平的总体情况 结论：普通学校六年级和八年级学生对概率的理解最少；重点学校六年级和八年级学生理解的深一点，但不如普通学校十二年级学生；重点学校十二年级学生理解的最深。
数量化的指标 下面的表是在SOLO分类法指导下通过分析大量学生回答得到的认知发展框架表，它是本研究得到的一个重要结果，揭示了学生认识概率这一概念的发展过程，对编制课程、指导教学尤其是评价学生的学习具有直接的指导作用 SOLO水平 概 述 前结构水平空白的回答、完全无关的回答、不合逻辑的回答、以自我为中心的回答或者没有能力进入某一问题解决的回答 (p) 仅将概率解释为可能发生也可能不发生，认为机会不能被量化及预单一结构水测，因此无法比较机会的大小 平(U) 解决问题时没有完整地考虑所有可能发生的结果 量化机会或是主观地估计机会值时会考虑一步试验（有时甚至是两步试验）所有可能发生的结果，如，出于公平性，认为每个可能发多元结构水生的结果都有相等的机会发生认为很有可能发生就意味着应该发平(M) 生同意用频率解释概率但不了解重复试验的意义 在比较机会时使用还不成熟不涉及比例的说理方法 将有利于目标事件发生的所有可能归为一组并用比率量化概率 在比较机会时用比例说明理由 关联水平(R) 知道经过较大次数的重复试验能做出较可靠的预测，并会主动地表达多重复几次试验的想法 在复杂的情况下(如题目中有两个口袋或两个转盘等)也能正确使用计算概率的公式进行机会比较。
进一步抽象在一个两步或三步试验中通过系统地构造样本空间的办法求出概率水平(E) 建议从大量重复的试验中收集数据，通过抽样发现频率的稳定值，并以此为概率的估计值 教教 学学 实实 验验 教学实验前后大约都有 50%的回答属M水平，教学之后的变化主要体现在 U水平回答减少以及R和E水平回答的增加上 教教 学学 实实 验验 两次测试间学生理解指标明显上升经过学习，所有学生理解指标的平均数都提高了，同时学生间的差异也增大了 教教 学学 实实 验验 ?根据数据，可以得到如下结论：： ?在普通中学八年级小班（大约25人）开展以活动为主短期的（6课时）教学实验，有助于学生加深对概率的理解并克服一些相关的对概率的错误概念 结论1 ?针对第一个研究问题： ?14组有关的错误概念 ?除了使用频率很低的六组错误概念之外，十二年级学生比六年级和八年级学生较少使用错误概念，重点学校比普通学校学生较少使用错误概念 ?题目的背景和数据在引发学生某些错误概念时起作用（等可能性） 结论2 ?针对第二个研究问题： SOLO水平 概 述 前结构水平空白的回答、完全无关的回答、不合逻辑的回答、以自我为中心的回答或者没有能力进入某一问题解决的回答。
(p) 仅将概率解释为可能发生也可能不发生，认为机会不能被量化及预单一结构水测，因此无法比较机会的大小 平(U) 解决问题时没有完整地考虑所有可能发生的结果 量化机会或是主观地估计机会值时会考虑一步试验（有时甚至是两步试验）所有可能发生的结果，如，出于公平性，认为每个可能发多元结构水生的结果都有相等的机会发生认为很有可能发生就意味着应该发平(M) 生同意用频率解释概率但不了解重复试验的意义 在比较机会时使用还不成熟不涉及比例的说理方法 将有利于目标事件发生的所有可能归为一组并用比率量化概率 在比较机会时用比例说明理由 关联水平(R) 知道经过较大次数的重复试验能做出较可靠的预测，并会主动地表达多重复几次试验的想法 在复杂的情况下(如题目中有两个口袋或两个转盘等)也能正确使用计算概率的公式进行机会比较 进一步抽象在一个两步或三步试验中通过系统地构造样本空间的办法求出概率水平(E) 建议从大量重复的试验中收集数据，通过抽样发现频率的稳定值，并以此为概率的估计值 结论3 ?针对第三个研究问题： ?在小班教学（约25人）条件下，以活动为主的短期教学计划（6课时）能够提高普通学校八年级学生的正确回答率。
?经过学习，错误概念的使用减少了 ?学生对概率所处的认识水平水平得到了提高 ?会用比例进行机会比较的学生未必知道如何量化机会 ?基于主研究和教学实验得出以下结论： ?无论是重点学校还是普通学校，无论是学过概率还是没学过概率，“预言结果法”、“机会不能量化及预测”、“简单复合法”和“等可能性”是我国学生对概率存在的主要错误概念 ?学生对概率的认识不能随年龄而自然增长，教学才起主要作用 ?短期教学能够有助于普通学校八年级学生克服某些错误概念并增进他们对概率频率定义的认识 ?题目的背景和数据在引发某些错误概念中起作用 对教学的启示 ?课程开发者： ?用活动的方法是能够在中学较低年级有效地开展概率教学的 ?将概率的所有内容集中安排在一个学期学习的做法不可取 ?许多学校还没有电脑不应成为引入概率教学计划的拦路虎，至少对短期教学来说，这一说法是成立的 对教学的启示 ?教师： ?教师应创造情境，鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟试验去检查、修正或改正他们对概率的认识 ?教师应注意收集在研究学生认知方面出现的新成果，并把它们融合到自己的教学实践中去 ?教师应帮助学生提高他们的认知水平，将他们逐渐引向更高更复杂的水平。
?学生需要经历用不同的代替物来模拟同一个概率问题的经验 继续研究的课题 ?关于研究结果的有效性可在其他年级和其他省市展开调查 ?某些错误概念，如“简单复合法”、“等可能性”的产生根源以及相应的有效的教学对策 ?本研究给出的14组错误概念之间是否存在联系，是否可以按照不同的心理图式加以重组 ?短时间的教学实验使学生取得进步，这样的效果能持续很长时间吗？ 继续研究的课题 ?对概率的理论性定义或主观性定义进行教学实验情况会如何？ ?克服“等可能性”和“预言结果法”的有效教学策略是什么？ ?如果允许学生亲自动手操作计算机，教学效果是否会比让学生看大屏幕好？ ?计算机辅助的效果是否需要长时间才能体现？ ?哪些错误概念借助计算机模拟试验更容易克服？ 。