二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 应用 一元函数 y = f (x) 的微分近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分 一一、全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分全微分 若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处全增量全增量则称此函数在在D 内可微内可微.记作 (2) 偏导数连续偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微可微由微分定义由微分定义由微分定义由微分定义 : :得函数在该点连续连续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即 定理定理定理定理1 1 1 1( ( ( (必要条件必要条件必要条件必要条件) ) ) )若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数偏导数同样可证证证: 由全增量公式必存在存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 反例反例: 函数易知 但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 !即: 定理定理2 2 ( (充分条件充分条件充分条件充分条件) )证证：若函数的偏导数偏导数则函数在该点可微分可微分. 所以函数在点可微.注意到, 故有 推广推广: : 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为于是 例例例例1. 1. 计算函数计算函数计算函数计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解解:例例2. 计算函数的全微分. 解解: 可知当二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 例例例例3.3.3.3.计算计算计算计算的近似值. 解解: 设,则取则 内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:偏导存在偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续 3. 3. 微分应用微分应用微分应用微分应用近似计算 思考与练习函数在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .1. 选择题 2. 2. 设设设设解解: 利用轮换对称性 , 可得注意注意: x , y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 在点 (0,0) 可微 .在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证证: 1) 因故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 3. 证明函数所以 同理极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不连续.2)3) 4) 下面证明可微 :说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则 。