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1、第五讲正态分布、常用统计分布和极限定理第一节 正态分布一、中心极限定理对于任何变量，不管其分布如何，如果把它们几个加在一起，当n 大于一定数之后，那么其和的分布必然接近正态分布。二、正态分布（常态分布、高斯分布）1、分布密度曲线特征：1）曲线是单峰，有一个最高点2）曲线在高峰处有一个对称轴。在轴的左右两边是对称的。（对称轴x=）3）曲线无论是向左或向右延伸，都会愈来愈接近横轴，但不会和横轴相交，以横轴为渐进线。2、正态分布的众值、中位值和均值三者是重叠的。 x 3、正态分布的概率密度22 212 x e（和为两个变量） 一定： 增大，图形右移；减小，图形左不变， 值改变： 越小，图形越尖瘦。4
2、、两个参数 不 对曲线形态的影响2移。但形状不变。2的影响增大，图形右移；减小，图形左移。但形状不变。的影响越小，图形越尖瘦E x xdx （数学期望）D 5、不的含义x 2 xdx （标准差）三、正态曲线下的面积我们把正太曲线看做是一种极限的直方图。它的组距甚小，以至中心值顶点的连线已是一条平滑的曲线。而正太曲线下的面积，实际就是由这无数个小直方形拼接而成的。每小块面积=长宽= xi xi P xi xi 面积的概率分析2 xi2 xi 因此任意两点 x1 x2 曲线下的概率，就是把从x1到x2点所有这些小块面积加起来： x2i x1当 xi 0 ，任意两点之间的概率为x2x1取值区间的概率
3、值任意两点x1x2间的概率为：x2x1正态分布的几个典型取值区间的概率值： ， 之间：0.6827 2， 2 之间：0.9545 3， 3 之间：0.9973（为组距） z z x ex 第二节标准正态分布 x z一、标准分Z值：Z x 2概率密度： 122当 0 ， 1 时 e22212 因此，标准正态分布可以看作一般正态分布的一个特例。当 0 ， 1 时，记做 N 0,1一般正态分布记做 N , 2 ，标准分以均值基点，以标准差为度量例某地家庭平均娱乐费支出为120元，标准差为5元，如果某家庭的娱乐费支出为130元，标准分为多少？二、正态分布N , 2 和标准正态分布N 0,1面积乊间的对
4、应关系二者分布图的区别只在于对称轴不同，前者以为轴，后者以0为轴。几个典型取值区间P1 z 1 0.6827P 2 z 2 0.9546P 3 z 3 0.9973例：例1：相同而不同。学习成绩：甲位于一班，乙位于二班。一班平均成绩80分，二班平均成绩60分，甲成绩80分，乙成绩80分。相同，为10，比较二者在班上的成绩。例二： 相同而不同：如果 1 2 601 10 ， 2 20 ，比较甲、乙的成绩。z t d第三节标准正态分布表的使用一、查表方法：附表4，1、3、5、7列z的不同取值，2、4、6、8列给出的是对应式的面积zet2212图示例：1、已知 服从标准正态分布 N 0,1 ，求1）
5、P 1.32）P 1.3 3）P1.3 2.32、 满足N 0,1 ，P 0.05 ，求 值。3、 满足 N 50,52 ，求 P 61 2将其称为自由度为K的X2分布，记做X2(k)第四节常用统计分布一、X2分布（卡方分布）1、设随机变量 1，2， k 相互独立，且都服从N(0,1)，其平方和：x 2 12 22 k2的分布密度为：22 k 20k x k 21 e k1 k 2x当 x 0当 x 0卡方分布图分布图形：偏左侧分布，随自由度的增加，图形渐趋对称。x i 1 k量：仍然服从自由度为k的 X2 的平方分布。卡方分布性质性质1如果随机变量 1 ， 2 ， k 相互独立，2i 122
6、2性质2：从自由度为K1与K2的X2 分布，则其和服从自由度为K1 + K2的X2分布。如果随机变量 和 独立，并且分别服例题已知：k=10，a=0.05，求X2 0.05( 10)=?已知：k=9，a=0.025，求满足p(X2 X2 1-a )=a中的X2 1-a 1k k 12 2z k 二、t分布（学生分布）的分布密度为：称之为：自由度为k的t分布1、设随机变量 与 独立，且 服从标准正态分布， 服从自由度为K的X2的分布，则随机变 k量 t k 1 2 k 2 t z t分布图2、性质：t分布的分布曲线是关于z=0对称的，当k= 时，t分布将趋于标准正态分布（当k30时，分布曲线就差
7、不多相同了）。正态分布是其极限分布。3、查表，对不同自由度k及不同的数（0 1)给出满足等式t的t值例题已知：k=10，a=0.05，求t0.05(10)=则随机变量 F k 的分布密度为： k1 k 2 k1 k 2 k1 k 22 2 zk1z k 2 zk 2三：F分布，k1为第一自由度（分子）， k2为第二自由度（分母）。1、设随机变量 与 独立，且都服从X2分布，自由度分别为k1及k2。 k12F z k12k1 122 k1 k 22 2 0当 Z 0当 z 0F k1 , k2 dxxFFp F2、F分布的性质：为非对称分布。3、查附表，对不同自由度（ k1 ，k2 ）及不同的数
8、（0 1)，给出了满足等式F的F值另一性质已知：a=0.05，求：F0.95(10 15)1F k2 , k1 F1 k1 , k2 第五节大数定理不中心极限定理1、大数定理：研究在什么条件下，随机事件可以转化为不可能事件或必然事件，即阐明大量随机现象平均结果稳定性的一系列定理。2、中心极限定理：研究在什么条件下，随机变量之和的分布可以近似为正态分布，称中心极限定理。一、切贝谢夫丌等式：定义：如果随机变量 ，有数学期望 E 和 D 方差，则不论 的分布如何，对于任何数 ，都可以断言， 和 E 的绝对离差大于等于 的概率，不超过 D 2 ，即D 2P E D 2或 P E 1 limp p 1二
9、、贝努里大数定理1、定义：设m是n次独立观察中事件A出现的次数，而p是事件A在每次观察中出现的概率。那么，对于任何一个正数 ，有 m nn2、含义：在相同条件下进行多次观察时，随机事件的频率 m n 有接近其概率的趋势。意义：为用抽样成数来估计总体成数p奠定了理论基础。p 1有： lim n三、切贝谢夫大数定理 3、实际:意义可以用抽样的均值 做为总体均n1、定义：设随机变量 1 ， 2 是相互独立服从 同 一 分 布 ， 并 且 有 数 学 期 望 E i 及 方差 Di 2 ，那么对于任何一个正数 ，n n 为 1 ， 2 n个随即变量的平均值2、含义：当实验次数n足够大时，n个随机变量的平均值 n 与单个随机变量的数学期望 的差可以任意的小，这个事实以接近于1的很大概率来说是正确的，即 n 趋近于数学期望 量，不管其分布如何，只要 D lim P n x 2t e d四、中心极限定理1、表述方式：设 1 ， 2， k 为独立同分布的随机变2i i存在，则对x有xtn22 n 12、中心极限定理的意义1）对随机变量 的原有分布不做要求，因此，从理论上说明了正态分布的重要性2）它为样本容量的确定和大样本(n大于等于50)情况下的统计推论提供了理论依据。3）在社会调查中使用价值广。4）在抽样调查中有着重要意义。
