第2课时 函数奇偶性的应用 1.1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征；偶性的函数的图象特征；2.2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式；能够根据函数的奇偶性求函数解析式；( (难点）难点）3.3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性会根据函数的奇偶性判断函数的单调性. .（重点）（重点）1 生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？有哪些性质呢？2 探究点探究点1 1 根据函数奇偶性画函数图象根据函数奇偶性画函数图象 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称，如果能够画出偶函，如果能够画出偶函数在数在y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在在y轴另一侧的图象轴另一侧的图象. . 奇函数的图象关于坐标原点对称奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象全该函数在原点另一侧的图象. .3 例例1.1.画出下列函数的图象画出下列函数的图象（（1 1））（（2 2））分析分析：：（（1 1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在是偶函数，这样只要画出了在x≥0≥0时的函数图象就可时的函数图象就可以根据对称性画出函数在以根据对称性画出函数在x<0<0时的图象时的图象. .（（2 2）函数是奇函数，同样根据对称性解决）函数是奇函数，同样根据对称性解决. .4 解解：：（（1 1）当）当 时，时，其图象是以点其图象是以点(1,-1)(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，为顶点，开口向上的抛物线，与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是(0,0)(2,0).(0,0)(2,0).此时函数图象在此时函数图象在y轴右轴右半部分如图所示：半部分如图所示：根据函数图象的对称根据函数图象的对称性得到整个函数的图性得到整个函数的图象，如图象，如图. .5 （（2 2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0 0，，1]1]上上单调递减，在区间（单调递减，在区间（1 1，，+∞+∞）上单调递增，且在（）上单调递增，且在（0 0，，+∞+∞）上函数值都是正值，函数在（）上函数值都是正值，函数在（0 0，，+∞+∞）上的最小值为）上的最小值为2.2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）根据函数在（根据函数在（0 0，，+∞+∞）上的性）上的性质，作出函数质，作出函数的的图象，如图第图象，如图第一象限内部分一象限内部分. .根据奇函数图象关于坐标原根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图点对称画出这整个函数的图象，如图。
象，如图6 例例2 27 8 探究点探究点2 2 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用例例3 310 例例4 411 3 3、根据函数的奇偶性求函数解析式、根据函数的奇偶性求函数解析式例例5.5.已知函数已知函数f( (x) )在（在（0,+∞0,+∞）上的解析式是）上的解析式是f( (x) =2) =2x+1+1，根据下列条件求函数在（，根据下列条件求函数在（-∞-∞，，0 0）上）上的解析式的解析式. .（（1 1）） f( (x) )是偶函数；是偶函数；（（2 2）） f( (x) )是奇函数是奇函数. .12 分析：分析：求函数求函数f( (x) )在在(-∞(-∞，，0 0）上的解析式，就是求）上的解析式，就是求当当 时，如何用含时，如何用含x的表达式表示的表达式表示f( (x).). 能够利用的已知条件是函数在（能够利用的已知条件是函数在（0 0，，+∞+∞）上的函数）上的函数解析式，这样就要把（解析式，这样就要把（-∞-∞，，0 0）上的自变量转化到（）上的自变量转化到（0 0，，+∞+∞）上的自变量）上的自变量. . 根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函数就是数就是f( (x)=)=f(-(-x) )，这样当，这样当 时，时， ，，而在（而在（0 0，，+∞+∞）上的函数解析式是已知的）上的函数解析式是已知的. .对奇函数同对奇函数同样处理样处理. .13 解：解：（（1 1）当函数）当函数f( (x) )是偶函数时，满足是偶函数时，满足f( (x)=)=f(-(-x) )，，当当 时，时， ，，所以，当所以，当 时，时，(2)(2)当函数当函数f( (x) )是奇函数时，满足是奇函数时，满足f( (x)=-)=-f(-(-x).).当当 时，时， ，，所以，当所以，当 时，时，14 【【拓展提升拓展提升】】根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤(1)(1)““求谁设谁求谁设谁””，即在哪个区间求解析式，，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个就设在哪个区间内区间内. .(2)(2)转化代入已知区间的解析式转化代入已知区间的解析式. .(3)(3)利用函数利用函数f( (x) )的奇偶性把的奇偶性把f(-(-x) )写成写成- -f( (x) )或或f( (x) )，从而解出，从而解出f( (x).). 探究点探究点3 3 利用函数的奇偶性研究函数的单调性利用函数的奇偶性研究函数的单调性从第（从第（1 1）个函数图象上可以看）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律是偶函数的单调性的一般规律. .从第（从第（2 2）个函数图象上可以看）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律是奇函数的单调性的一般规律. .16 例例6.6.已知函数已知函数f( (x) )是奇函数，且在（是奇函数，且在（0 0，，+∞+∞）上是减函）上是减函数，证明函数在（数，证明函数在（-∞-∞，，0 0）上也是减函数）上也是减函数. .分析：分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-∞(-∞，，0)0)上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在(-∞0)(-∞0)上的函数值转化到（上的函数值转化到（0 0，，+∞+∞）上的函数值，再根据函数）上的函数值，再根据函数在（在（0 0，，+∞+∞）上是减函数，确定所作的差的符号，最后）上是减函数，确定所作的差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的结论根据函数单调性的定义得到证明的结论. .17 所以所以- -f( (x1 1)+)+f( (x2 2)<0 )<0 ，即，即f( (x1 1)-)-f( (x2 2)>0.)>0.证明：证明：在（在（-∞-∞，，0 0）上任取）上任取x1 1< ->-x2 2>0>0因为函数在（因为函数在（0 0，，+∞+∞）上是减函数，所以）上是减函数，所以由于函数由于函数f( (x) )是奇函数，所以是奇函数，所以根据减函数的定义，函数根据减函数的定义，函数f( (x) )在（在（-∞-∞，，0 0）上是减）上是减函数函数. .18 函数的单调性与奇偶性的关系函数的单调性与奇偶性的关系(1)(1)若若f( (x) )是奇函数是奇函数, ,则则f( (x) )在定义域关于原点对称的区在定义域关于原点对称的区间上单调性一致间上单调性一致; ;若若f( (x) )是偶函数是偶函数, ,则则f( (x) )在定义域关于在定义域关于原点对称的区间上单调性相反原点对称的区间上单调性相反. .(2)(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反, ,且互为相反数且互为相反数; ;偶函数在定义域关于原点对称的区间上偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等的最值相等. .【【提升总结提升总结】】19 练习：练习：若若f( (x) )是是R R上的偶函数，且在［上的偶函数，且在［0 0，，+∞)+∞)上是增函数，上是增函数，则下列各式成立的是则下列各式成立的是( )( )A.A.f(-2)(-2)＞＞f(0)(0)＞＞f(1) B.(1) B. f(-2)(-2)＞＞f (1)(1)＞＞f (0)(0)C.C.f(1)(1)＞＞f(0)(0)＞＞f(-2) D.(-2) D. f(0)(0)＞＞f (-2)(-2)＞＞f (1)(1)答案：答案：选选B.B. f( (x) )是是R R上的偶函数，所以上的偶函数，所以f (-2)=(-2)=f (2).(2).又又f( (x) )在在［［0 0，，+∞)+∞)上是增函数，故上是增函数，故f (0)(0)＜＜f (1)(1)＜＜f (2)(2)，即，即f(-2)(-2)＞＞f (1)(1)＞＞f (0).(0).变式：变式：若若f( (x) )是奇函数，且在（是奇函数，且在（0 0，，+∞)+∞)上是增函数，上是增函数， f( (1)=0)=0，则，则f( (x)>0)>0的解集为的解集为______.______.20 返返回回[解题流程解题流程]求实数求实数m的取值范围，需建立关于的取值范围，需建立关于m的不等式的不等式(1)定义为定义为[－－2，，2]，所以不等式中，所以不等式中m，，m－－1均均应属于区间应属于区间[－－2，，2]；；,(2)要由不等式要由不等式f(m)＋＋f(m－－1)>0求得求得m，应利用单调性及奇偶性去掉，应利用单调性及奇偶性去掉“f”，建立关于，建立关于m的的不等式的的不等式f(m)＋＋f(m－－1)>0→f(1－－m)0-2)>0｝｝=( )=( )A.{A.{x| |x<-2<-2或或x>4} B.{>4} B.{x| |x <0<0或或x>4}>4}C.{C.{x| |x <0<0或或x>6} D.{>6} D.{x| |x <-2<-2或或x>2}>2}【【解析解析】】因为函数因为函数f( (x) )在（在（0,+∞0,+∞）上为增函数，且）上为增函数，且f(2)=0,(2)=0,由偶函数的性质可知，若由偶函数的性质可知，若f( (x-2)>0,-2)>0,需满足需满足| |x- -2|>2,2|>2,得得x>4>4或或x<0,<0,故选故选B.B.B B35 2.2.已知函数已知函数f( (x) )在区间［在区间［-5-5，，5 5］上是奇函数，在区］上是奇函数，在区间［间［0,50,5］上是单调函数，且］上是单调函数，且f(3)<(3)(0)>f(-1)(-1)C.C.f(-1)<(-1)(-3)>f(-5)(-5)【【提示提示】】根据题意，应首先判断函数在区间［根据题意，应首先判断函数在区间［0,50,5］］上的单调性上的单调性. .A A36 37 4.4.已知奇函数已知奇函数f( (x) )，在（，在（-∞-∞，，0]0]上的解析式是上的解析式是f( (x) ) = =x2 2+2+2x，求这个函数在（，求这个函数在（0 0，，+∞+∞）上的解析式）上的解析式. .【【解析解析】】x∈∈（（0 0，，+∞+∞），），38 。