重积分的概念与性质

8.1 重积分的概念与性质重积分的概念与性质 1 重积分的定义重积分的定义 回顾在第五章中用定积分计算物体的质量回顾在第五章中用定积分计算物体的质量问题，假定物体的密度是连续变化的问题，假定物体的密度是连续变化的 首先考虑一根长度为首先考虑一根长度为l 的细直杆的质量的细直杆的质量 不妨假定它在轴上占据区间不妨假定它在轴上占据区间[0，，l]，，设其线设其线密度为密度为2 如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不妨假定它占有妨假定它占有xoy坐标面上的区域坐标面上的区域D，并设其，并设其面密度函数为面密度函数为 =  (x,y)≠常数这里这里 (x,y)>0 0且在且在D上连续yxo3 如果我们考虑的物体占据三维空间如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区的闭区域域Ω，其体密度函数为，其体密度函数为 =  (x,y,z)≠常数常数,则其则其质量可表示为质量可表示为4定义定义8. 1. 1　设　设f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函上的有界函数，将区域数，将区域D任意分割成任意分割成 n 个小区域个小区域 如果当各小区域直径的最大值如果当各小区域直径的最大值 趋于零时，上趋于零时，上述和式的极限存在，则称此极限为函数述和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在在闭区域闭区域D上的二重积分，记作上的二重积分，记作5积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素被被被被积积积积函函函函数数数数 由二重积分的定义可知，平面薄板的质量是由二重积分的定义可知，平面薄板的质量是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分6定义定义8. 1. 2 设设 是是Rn中一个可求体积（中一个可求体积（n=2时为时为面积）的有界闭区域，面积）的有界闭区域，f(X)是在是在 上有定义的有上有定义的有界函数，将界函数，将 分割为彼此没有公共内点的任意分割为彼此没有公共内点的任意闭子域闭子域7 如果当如果当 0时，上述和式的极限存在，并且时，上述和式的极限存在，并且该极限与该极限与 的分割方式及的分割方式及Xi的取法无关，我们称的取法无关，我们称该极限值为函数该极限值为函数f(X)在在 上的上的n(重重)积分，记为积分，记为 其中其中f(X)称为被积函数，称为被积函数，  称为积分区域，也称为积分区域，也称函数称函数f(X)在在 上可积。

上可积特别地，当特别地，当n=2时函数时函数 f(X)= f(x,y) (x,y) D，， 即为函数即为函数f(x,y) 在在D 上的二重积分，上的二重积分，d 称为称为面积元素面积元素8 当当n=3时函数时函数 f(X)= f(x,y,z) (x,y,z)  ，， 即为函数即为函数f(x,y,z) 在在  上的三重积分，上的三重积分，dv称称为体积元素为体积元素 有了上述定义，空间立体的质量也可以通有了上述定义，空间立体的质量也可以通过密度函数的三重积分来表示，即过密度函数的三重积分来表示，即可以证明可以证明定理定理 (1)（充分条件）若（充分条件）若f(X)在在 上连续，则它在上连续，则它在 上可积；上可积；(2)（（必要条件）若必要条件）若f(X)在在 上上可积，则它在可积，则它在 上有界9 重积分的性质重积分的性质 我们仅给出二重积分的性质，三重积分我们仅给出二重积分的性质，三重积分的性质完全类似的性质完全类似 假设性质中涉及的函数在相应区域上均可假设性质中涉及的函数在相应区域上均可积，积，D、、D1、、D2都是平面上的有界闭区域。

都是平面上的有界闭区域2) (关于被积函数的线性可加性）若关于被积函数的线性可加性）若 、、 为为常数，则常数，则 表示表示D的面积的面积10(3)（关于积分区域的可加性）（关于积分区域的可加性）无公共内点，则无公共内点，则(4)（积分不等式）如果在（积分不等式）如果在D上有上有f(x,y)   g(x,y) ,则则特别地，有特别地，有11(5)（估值定理）设（估值定理）设M、、m分别是分别是f(x,y)在有界闭在有界闭区域区域D上的最大值和最小值，上的最大值和最小值， 表示表示D的面积，的面积，则则(6)（中值定理）设函数（中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续，上连续，  表示表示D的面积，则至少存在一点的面积，则至少存在一点( , )，使，使下面仅给出结论下面仅给出结论(5)、、(6)的证明1213(1) D1：：x轴、轴、y轴及轴及x+y=1所围；所围；(2) D2：：(x 2)2+(y 1)2   2解解 (1)因为在区域因为在区域D1上上0   x+y   1，， (x+y)3   (x+y)2根据性质根据性质5，得，得141 2 从图形易知在从图形易知在D上除上除切点外，处处有切点外，处处有x+y > 1  (x+y)2< (x+y)3所以有所以有(x－－2)2+(y－－1)2   2该圆域与直线该圆域与直线x+y=1相切。

相切15例例3 利用二重积分的性质，估计积分的值利用二重积分的性质，估计积分的值解解因为因为 fx=2x，，fy=8y，所以有驻点，所以有驻点(0,0) 先求先求f (x,y)=x2+4y2+1在在D上的最大值、最小值上的最大值、最小值f(0,0)=116 显显然然，，在在边边界界上上f(x,y)的的最最小小值为值为2，最大值，最大值5 于是于是f (x,y)在在D上的最小值为上的最小值为1，最大值为，最大值为5，积分区域的面积为，积分区域的面积为 所以有17 二重积分的计算法二重积分的计算法 利用二重积分的定义直接计算二重积分一利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分分来计算二重积分18 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分 设设f(x,y)是定义在平是定义在平面区域面区域D上的非负连续上的非负连续函数，以函数，以D为底面，以为底面，以曲面曲面f(x,y)为顶面，以为顶面，以D的边界曲线为准线而母的边界曲线为准线而母线平行于线平行于z 轴的柱面为轴的柱面为侧面所围成的立体称为侧面所围成的立体称为曲顶柱体。

曲顶柱体如何求该曲顶柱体的体积呢？如何求该曲顶柱体的体积呢？1、、曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积------ 二二重积分的重积分的几何意义几何意义19 (1)分分割割 用用一一组组曲曲线线网网将将D分分成成n个个小小闭闭区区域域  1,  2 , … ,   n ，，分分别别以以这这些些小小区区域域的的边边界界为为准准线线作作母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，，这这些些柱柱面面将将原原来来的的曲顶柱体分割成曲顶柱体分割成n个细曲顶柱体个细曲顶柱体20(2) 近似近似 当这些小区域的直径当这些小区域的直径di很小时，由于很小时，由于f(x,y)连连续续，，对对于于同同一一个个小小区区域域上上的的不不同同点点，，f(x,y)的的变变化化很很小小，，细细曲曲顶顶柱柱体体可可近近似似地地看看作作平平顶柱体顶柱体21由二重积分定义立即得到由二重积分定义立即得到这也是二重积分的几何意义这也是二重积分的几何意义22232.区域的不等式组表示区域的不等式组表示(举例举例)例例 下列不等式组各表示什么区域下列不等式组各表示什么区域24例例 下列图形怎么用不等式（组）表示下列图形怎么用不等式（组）表示253、二重积分的计算法、二重积分的计算法用几何观点讨论。

用几何观点讨论应用应用 “ “定积分定积分””中求中求““平行截面面平行截面面积为已知的立体的体积积为已知的立体的体积””的方法计算这个曲顶柱体的的方法计算这个曲顶柱体的体积 (1)设设f (x,y)   0，，f(x,y)在在D上连续［［X－型］－型］o a b xyo a b xy26o a x0 b xyz 在区间在区间[a,b]上任取一点上任取一点x0，，作平行于作平行于yOz面面的平面的平面x = x0 这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[  1(x0),   2(x0)]为底、曲线为底、曲线z =f (x0,y)为曲边为曲边的曲边梯形，其截面面积为：的曲边梯形，其截面面积为： 先计算截面面积先计算截面面积27 一一般般地地，，过过区区间间[a,b]上上任任一一点点x且且平平行行于于yOz面面的的平平面面截曲顶柱体所得截面面积为：截曲顶柱体所得截面面积为： 于于是是，应应用用计计算算平平行行截截面面面面积积为为已已知知的的立方体体积的方法立方体体积的方法，得曲顶柱体体积为得曲顶柱体体积为 这这个个体体积积也也就就是是所所求求二二重重积积分分的的值值，从从而而有等式有等式o a x b xyzo a x b xyz28 上式右端的积分叫做先对上式右端的积分叫做先对y、、后对后对x的二次积分。

的二次积分 就就是是说说，，先先把把x看看作作常常数数，，把把f(x,y)只只看看作作y的的函函数，并对数，并对y计算从计算从 1(x)到到  2(x)的定积分；的定积分； 再再把把计计算算所所得得的的结结果果（（是是x的的函函数数））对对x计计算算在在区区间间[a,b]上的定积分上的定积分这个先对这个先对y、、后对后对x的二次积分也常记作的二次积分也常记作29［［Y－型］－型］DyoxdcyoxdcD30 计算时先把计算时先把y看作常数，因此看作常数，因此f(x,y)是是x的的一元函数，一元函数， 在区间在区间 1(y)   x    2(y)上对上对x积分积分,得到得到一个关于一个关于y的函数的函数, 再在区间再在区间c   y   d上对上对y积分 这就是把二重积分化为先对这就是把二重积分化为先对x 、后对、后对 y的二次积分的公式的二次积分的公式31 应用公式应用公式(1) 时，积分区域必须是时，积分区域必须是X型区域 应用公式应用公式(2) 时，积分区域必须是时，积分区域必须是Y型区域。

型区域 X型区域型区域D的特点是：穿过的特点是：穿过D内部且平行于内部且平行于y轴轴的直线与的直线与D的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点 Y型区域型区域D的特点是：穿过的特点是：穿过D内部且平行于内部且平行于x轴的直线与轴的直线与D的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点32 若积分区域若积分区域D既不是既不是X型区域型区域也不是也不是Y型区域，型区域，D，此时要将，此时要将积分区域积分区域D分成几部分，使得分成几部分，使得每一部分是每一部分是X型区域或型区域或Y型区域，型区域，再利用积分关于区域的可加性再利用积分关于区域的可加性可得整个区域上的积分可得整个区域上的积分yox 若积分区域若积分区域D既是既是X型区域也是型区域也是Y型区域，则型区域，则这表明二次积分可以交换积分次序这表明二次积分可以交换积分次序334 二重积分计算的一般方法二重积分计算的一般方法 要依被积函数及积分区域两方面的情况选要依被积函数及积分区域两方面的情况选定积分顺序定积分顺序化为两次单积分化为两次单积分 (1) 作图，确定作图，确定D的类型 (2) 选定积分顺序。

选定积分顺序 (3) 定出积分上下限定出积分上下限 (4) 计算定积分计算定积分 确定积分顺序之后，积分的上下限是依确定积分顺序之后，积分的上下限是依D的的特点而定的特点而定的 要使两次积分都能要使两次积分都能“积得出积得出”，，“易积出易积出”3435O 1 x(4 ,-2)- 221 y(1，，1)评评注注 本本例例说说明明，，在在化化二二重重积积分分为为二二次次积积分分时时，，为为了了计计算算简简便便，，需需要要选选择择恰恰当当的的二二次次积积分分的的次次序序，，这这时时既既要要考考虑虑区区域域D的的形形状状，，又又要要考考虑虑函函数数f(x,y)的特性365 交换积分顺序交换积分顺序①①由由所所给给的的积积分分顺顺序序及及积积分分限限写写出出D的的不不等等式式表示并画出积分区域的草图表示并画出积分区域的草图②②由积分区域按新的积分顺序确定积分限由积分区域按新的积分顺序确定积分限 例例3 交换以下积分的积分顺序交换以下积分的积分顺序37课内练习一课内练习一 改变以下二次积分的积分次序改变以下二次积分的积分次序381o2xy1yx39y40。