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1、(2) 偏导数(do sh)连续下面两个(lin )定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数(hnsh)可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微由微分定义由微分定义 :得函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即第1页/共24页第一页，共25页。定理定理(dngl)1(dngl)1( (必要条件必要条件) )若函数(hnsh) z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数(hnsh)在该点偏导数同样可证证: 由全增量公式必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共24页第二页，共25
2、页。反例: 函数(hnsh)易知 但因此(ync),函数在点 (0,0) 不可微 .注意(zh y): 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共24页第三页，共25页。定理定理(dngl)2 (充分条件充分条件)证：若函数(hnsh)的偏导数(do sh)则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共24页第四页，共25页。所以(suy)函数在点可微.机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 注意(zh y)到, 故有第5页/共24页第五页，共25页。推广推广(tugung): 类似可讨论(toln)三
3、元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元(sn yun)函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共24页第六页，共25页。例例1. 计算计算(j sun)函数函数在点 (2,1) 处的全微分(wi fn). 解:例2. 计算(j sun)函数的全微分. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共24页第七页，共25页。可知(k zh)当*二、全微分在数值计算二、全微分在数值计算(j sun)中的应用中的应用1. 近似计算由全微分(wi fn)定义较小时,及有近似等式:机动 目录 上页 下页 返回
4、结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 第8页/共24页第八页，共25页。半径(bnjng)由 20cm 增大解: 已知即受压后圆柱体体积(tj)减少了 例例3. 有一圆柱体受压后发生有一圆柱体受压后发生(fshng)形变形变,到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体第9页/共24页第九页，共25页。例例4.4.计算计算(j sun)(j sun)的近似值. 解: 设,则取则机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共24页第十页，共25页。分别(fnbi)表示 x ,
5、 y , z 的绝对误差界,2. 误差误差(wch)估计估计利用(lyng)令z 的绝对误差界约为z 的相对误差界约为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则第11页/共24页第十一页，共25页。特别特别(tbi)注意注意类似可以推广到三元及三元以上(yshng)的情形.乘除后的结果(ji gu)相对误差变大很小的数不能做除数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共24页第十二页，共25页。例例5. 利用利用(lyng)公公式式求计算面积时的绝对误差(ju du w ch)与相对误差.解：故绝对误差(ju du w ch)约为又所以 S 的相对误差约为计算三角形面积.现测得机动 目录 上
6、页 下页 返回 结束 第13页/共24页第十三页，共25页。例例6 6. .在直流电路中在直流电路中, 测得电压(diny) U = 24 伏 ,解: 由欧姆定律可知(k zh)( 欧)所以(suy) R 的相对误差约为0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧 )= 0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆第14页/共24页第十四页，共25页。内容内容(nirng)(nirng)小结小结1. 微分(wi fn)定义:2. 重要(zhngyo
7、)关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共24页第十五页，共25页。3. 微分微分(wi fn)应用应用 近似计算 估计(gj)误差绝对误差(ju du w ch)相对误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共24页第十六页，共25页。思考思考(sko)与练习与练习1. P72 题 1 (总习题(xt)八)函数(hnsh)在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .2. 选择题机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共24页第十七页，共25页。 答案(d n):也可写作(xizu):当 x = 2 ,
8、 y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03 3. P73 题题 7机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共24页第十八页，共25页。4. 设设解: 利用(lyng)轮换对称性 , 可得机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例2 )注意(zh y): x , y , z 具有 轮换对称性 第19页/共24页第十九页，共25页。答案答案(d n): 作业(zuy) (zuy) P24 1 (3) , (4) ; 3 ; 5 ; P24 1 (3) , (4) ; 3 ; 5 ;8 ; 10
9、 8 ; 10 5. 已已知知第四节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第20页/共24页第二十页，共25页。在点 (0,0) 可微 .备用备用(biyng)题题在点 (0,0) 连续且偏导数(do sh)存在,续,证: 1)因故函数(hnsh)在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数所以第21页/共24页第二十一页，共25页。同理极限(jxin)不存在 ,在点(0,0)不连续(linx) ;同理 ,在点(0,0)也不连续(linx).2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共24页第二十二页，共25页。4)
10、下面(xi mian)证明可微 :说明: 此题表明, 偏导数连续只是(zhsh)可微的充分条件.令则题目 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的欣赏(xnshng)！第24页/共24页第二十四页，共25页。内容(nirng)总结(2) 偏导数连续。第1页/共24页。则该函数在该点偏导数。得到对 x 的偏增量(zn lin)。在点 (2,1) 处的全微分.。半径由 20cm 增大。到 20.05cm ,。所以 R 的相对误差约为。利用轮换对称性 , 可得。但偏导数在点 (0,0) 不连。在点(0,0)不连续。在点(0,0)也不连续.。4) 下面证明。说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.。第23页/共24页。感谢您的欣赏第二十五页，共25页。
