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1、7.6 7.6 内容回顾内容回顾 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法逐次积分逐次积分令令令令连续连续 n 次不定积分次不定积分(且不要常数且不要常数)为为n -1次多项式次多项式.:两点说明：两点说明：1. 方程方程的求解的求解 ?令令或或一般说一般说, 用前者方便些用前者方便些. 均可均可. 有时用后者方便有时用后者方便 . 例如例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意：解二阶可降阶微分方程初值问题需注意： (1) 一般情况一般情况 , 边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时遇到开平方时, 要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号.:7.7
2、高阶线性微分方程解的结构 二、线性方程解的结构二、线性方程解的结构 *三、常数变易法三、常数变易法一、高阶线性微分方程的概念一、高阶线性微分方程的概念 第七章 (只讲一到两个例子只讲一到两个例子):n 阶线性微分方程的一般形式为阶线性微分方程的一般形式为一、高阶线性微分方程的概念一、高阶线性微分方程的概念 为二阶线性微分方程为二阶线性微分方程. 时时, 称为称为n阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程 ; 时时, 称为称为n阶线性齐次方程阶线性齐次方程.复习复习: 一阶线性方程一阶线性方程通解通解:非齐次方程的特解非齐次方程的特解对应齐次方程通解对应齐次方程通解Y(未知的函数及各阶导数均为一次称线性
3、未知的函数及各阶导数均为一次称线性):二、线性方程解的结构二、线性方程解的结构是是 的解的解.定理定理1.(以二阶为例以二阶为例)设设(1)的解的解设设 (2)的解的解(1)为任意实常数为任意实常数是是 的解的解.是是 的解的解.是是 的解的解.是是 的解的解.(1)(1)(2)(1)是是的解的解:说明说明:不一定是所给二阶方程的通解不一定是所给二阶方程的通解.例如例如,是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解也是齐次方程的解 并不是通解并不是通解但是但是那么那么为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关
4、概念. :定义定义:是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,使得使得则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上线性相关上线性相关, 否则称为线性无关否则称为线性无关.例如，例如， 在在( , )上都上都有有故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都线性相关上都线性相关;又如，又如，若在某区间若在某区间 I 上上则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为必需全为 0 ,可见可见在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.若存在不全为若存在不全为 0 的常数的常数:两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件上线性相关
5、与线性无关的充要条件:线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的使使( 不妨设不妨设线性无关线性无关常数常数考虑考虑:中有一个恒为中有一个恒为 0, 那那么么必线性必线性相关相关y1(x), y2(x) 均非零均非零,否则线性相关否则线性相关:定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, 那那么么数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程方程有特解有特解且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为推论推论. 是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 的的 n 个线性无关解个线性无关解, 则方程的通解为则方程的通解为:是二阶非齐次方程是二阶非齐次方
6、程的一个特解的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.那那么么是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .证证: 将将代入方程代入方程左端左端, 得得(3)(2):是非齐次方程的解是非齐次方程的解, 又又Y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数,例如例如, 方程方程有特解有特解对应齐次方程对应齐次方程有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为因而因而 (3) 也是通解也是通解 .(如何得通解如何得通解,见下节见下节或降阶处理或降阶处理):定理定理 4.分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次
7、方程之解的叠加原理) 前面的定理均可推广到前面的定理均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程. :定理定理 5.是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解, 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解, 则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解:常数常数, 则该方程的通解是则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程的解的解, 是任意是任意例例1.注注:都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关
8、 . 为原方程的通解为原方程的通解:例例2. 已知微分方程已知微分方程个解个解则方程的通解则方程的通解 为为( )解解:是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, 且且常数常数因而线性无关因而线性无关, 故原方程通解为故原方程通解为有三有三 :思考与练习思考与练习 P331 题题1, 3, 4(2), (5) （ P353 题题3）:（ P353 题题3）(7)(8)除外除外)(转化为已知类型转化为已知类型)令令 u = x y , 化成可分离变量方程化成可分离变量方程 :提示提示: 这是一阶线性方程这是一阶线性方程 , 其其中中提示提示: 可化为关于可化为关于 x 的一阶线性方程的一阶线性方程解
9、法提示解法提示:提示提示:(一阶齐次)(伯努利伯努利)(可分离):提示提示: 为伯努利方程为伯努利方程 , 令令提示提示: 可化为伯努利方程可化为伯努利方程令令( (7)(8)为高阶线性方程为高阶线性方程)提示提示:伯努利方程伯努利方程:原方程化为原方程化为 , 即即那么那么故原方程通解故原方程通解提示提示: 令令:解解:给出以给出以(a,b为任意常数为任意常数)为通解的微分方程为通解的微分方程(1)(2)(1)+(2)得得:即即(2)2(1)得得:(3)(4)将将(3),(4)式代入式代入得得:即即即即作业作业:P353 2:备用题备用题1.的解的解,解解: (1)显然正确显然正确(2)令令代入非齐次方程后化简得代入非齐次方程后化简得可求得通解可求得通解: 故原方程通解为故原方程通解为 (二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)(1)验证验证是是(2)并求并求的通解的通解:备用题备用题2.的通解的通解.解解: 对应齐次方程为对应齐次方程为由观察可知它有特解由观察可知它有特解:常系数变易常系数变易,令令代入非齐次方程后化简得代入非齐次方程后化简得可求得通解可求得通解: 故原方程通解为故原方程通解为 (二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)求求也是解也是解| | |:
