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1、一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算三、幂级数的运算四、小结四、小结 第四节第四节 幂幂 级级 数数 第九章第九章 福福 州州 大大 学学3一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :福福 州州 大大 学学42.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :l l l 福福 州州 大大 学学53.3.和函数和函数: :注注: 和函数和函数 s(x) 的的定义域定义域就是级数的就是级数的收敛域收敛域K . 福福 州州 大大 学学63.3.和函数和函数: :注注: 和函数和函数 s(x) 的定义域就是级数的收敛域
2、的定义域就是级数的收敛域K .l若记函数项级数的部分和为若记函数项级数的部分和为 l余项余项(x在收敛域上在收敛域上)注意注意函数项级数在函数项级数在某点某点 x 的收敛问题的收敛问题,实质实质上是数项级数的收敛问题上是数项级数的收敛问题.则在收敛域则在收敛域 K上有上有福福 州州 大大 学学7解解由比值审敛法由比值审敛法原级数绝对收敛原级数绝对收敛.原级数发散原级数发散.福福 州州 大大 学学8原级数发散原级数发散.(条件条件)收敛收敛;发散发散;原级数绝对收敛原级数绝对收敛.福福 州州 大大 学学9二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :2.2.收敛性收敛性: :称为
3、称为 x 的幂级数的幂级数 , ,福福 州州 大大 学学10收收 敛敛几何说明几何说明发发 散散发发 散散收敛收敛发散发散说明说明： 中心的区间中心的区间. 的收敛域是以的收敛域是以 为为原点原点福福 州州 大大 学学13思考与练习思考与练习 1. 若若处处收敛收敛 , 则该级数在则该级数在x=2处处 A. 发散发散 B.条件收敛条件收敛 C.绝对收敛绝对收敛 D.敛散性不能确定敛散性不能确定.2. 若若处处收敛收敛 , 则该级数在则该级数在x=2处处 A. 发散发散 B.条件收敛条件收敛 C.绝对收敛绝对收敛 D.敛散性不能确敛散性不能确定定.CD3. 若若处处发散发散 , 则该级数在则该级
4、数在x=2处处 A. 发散发散 B.条件收敛条件收敛 C.绝对收敛绝对收敛 D.敛散性不能确敛散性不能确定定.A福福 州州 大大 学学14推论推论收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域0定义定义: : 正数正数 R 称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.R表示幂级数收敛与发散的临界点表示幂级数收敛与发散的临界点. 思考题思考题福福 州州 大大 学学16称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间，收敛域收敛域 K = 收敛区间收敛区间 + 收敛的端点收敛的端点可能是可能是规定规定福福 州州 大大 学学17思考与练习思考与练习 绝对收敛绝对收敛,敛散性不能确定敛散性不能确定;发散发散.
5、福福 州州 大大 学学18收收 敛敛几何说明几何说明问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?福福 州州 大大 学学19计算收敛半径计算收敛半径 R要求所有的要求所有的注：注：(即不能缺项即不能缺项!)(证明略详见书证明略详见书P252) +1福福 州州 大大 学学20 若若在在 x0处条件收敛处条件收敛 则则思考题思考题 若若 在在 x0 处收敛处收敛则则在在 x0 处处发散发散 若若 则则若若处处条件收敛条件收敛 , 则则=1若若处处条件收敛条件收敛 , 则则=2福福 州州 大大 学学22. .例例2 2 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解该级数收敛该级数收敛该级数
6、发散该级数发散福福 州州 大大 学学23福福 州州 大大 学学24发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.福福 州州 大大 学学25解解例例3 3 求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域.即与例即与例2(4)相同相同发散发散,收敛收敛,故故原级数的收原级数的收敛域为敛域为(0,1.法二：法二：换元换元: :令令 t = 2x 1化为标准型求收敛半径化为标准型求收敛半径. .法三：法三：直接用直接用比值法求出收敛区间比值法求出收敛区间. .福福 州州 大大 学学26不能直接应用上述定理不能直接应用上述定理,解解缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项比值审敛法比值审敛法求收敛半径求收敛半径. .故由故由非
7、标准型非标准型幂级数幂级数则则必不存在，必不存在，但幂级数并不是没有收敛半径，此时但幂级数并不是没有收敛半径，此时福福 州州 大大 学学27级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为级数收敛级数收敛,福福 州州 大大 学学28求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法1) 对幂级数对幂级数先求收敛半径先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性, 写出写出收敛域收敛域.2) 对对非标准型非标准型幂级数幂级数( (缺项或通项为复合式缺项或通项为复合式) )一般可化为标准型再求收敛半径一般可化为标准型再求收敛半径,(,(恒等变形或恒等变形或换元换
8、元) )也可直接用也可直接用比值法比值法或或根值法求出收敛区间根值法求出收敛区间. . 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性, 写出写出收敛域收敛域.福福 州州 大大 学学29三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质: :(1) 加减法加减法(其中其中福福 州州 大大 学学30(2) 乘法乘法(其中其中柯柯西西乘乘积积福福 州州 大大 学学31(3) 除法除法(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :说明说明:两个幂级数在两个幂级数在公共公共收敛区间内可进行加、减收敛
9、区间内可进行加、减 与乘法运算与乘法运算. *福福 州州 大大 学学32(收敛半径不变收敛半径不变)福福 州州 大大 学学33(收敛半径不变收敛半径不变)说明说明: 收敛到哪里，连续到哪里收敛到哪里，连续到哪里. 即在即在收敛域收敛域内和函数是连续的内和函数是连续的. 在在收敛区间收敛区间内可逐项求积、逐项求导内可逐项求积、逐项求导. 福福 州州 大大 学学34a.a.利用级数和的定义求和利用级数和的定义求和: :(直接法直接法;拆项法拆项法;递推法递推法)b.b.阿贝尔法阿贝尔法( (构造幂级数法构造幂级数法):):步骤：步骤：构造幂级数构造幂级数利用逐项积分或利用逐项积分或 逐项求导逐项求
10、导 转化到几转化到几何级数何级数 求和求和3. 求求数项级数的和数项级数的和收敛区间收敛区间(注注: 级数在级数在x=1(内点内点)处是收敛的处是收敛的, s(x)在在x=1处连续处连续) 福福 州州 大大 学学35解解收敛区间收敛区间(-1,1), ( ( 类同类同 作业作业P P8888 3(2) 3(2)福福 州州 大大 学学364.求幂级数的和函数求幂级数的和函数 s(x)例例1. 求级数求级数的和函数的和函数解解: 易求出易求出R= 1 , K=-1, 1)在收敛区在收敛区间内成立间内成立左端点左端点x= - -1为收敛点为收敛点, 在在x= - -1处右连续处右连续 (另解见另解见
11、 书书P256例例4(2) )福福 州州 大大 学学37例例2 求幂级数求幂级数 的和函的和函数数非标准型非标准型解解: 先求收敛域先求收敛域 K级数级数(绝对绝对)收敛收敛, 级数发散级数发散,级数也发散级数也发散原级数的收敛域为原级数的收敛域为(书书P256 例例5)福福 州州 大大 学学38常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数福福 州州 大大 学学391. 求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法1) 对对标准型标准型幂级数幂级数先求收敛半径先求收敛半径 (用用系数模比系数模比(根根)值法值法), 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性 .2) 对对非标准型非标准型幂级数幂级数(缺项或通项为复合式缺项或通项为复合式)求收敛半径时不能直接用求收敛半径时不能直接用系数模比系数模比(根根)值法，值法，2. 幂级数的性质幂级数的性质1)两个幂级数在两个幂级数在公共公共收敛区间内可进行加、减与收敛区间内可进行加、减与也可通过也可通过换元换元化为标准型再求化为标准型再求 .乘法运算乘法运算. 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.小结小结但可用但可用比比(根根)值法，值法，福福 州州 大大 学学40解解2. 幂级数幂级数福福 州州 大大 学学4120110703 三三2
