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1、二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分第一节常义积分常义积分积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分反常积分 ( (广义积分广义积分) )反常积分的概念和计算 第八章第八章 1.一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线曲线和直线和直线及及 x 轴所围成的开口曲轴所围成的开口曲边梯形的面积边梯形的面积 可记作可记作其含义可理解为其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.定义定义1. 设设若若存在存在 , 则称此极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限的无穷限反常积分
2、反常积分, 记作记作这时称反常积分这时称反常积分收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分发散发散 .类似地类似地 , 若若则定义则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.则定义则定义( c 为任意取定的常数为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在 , 就称就称发散发散 .无穷限的反常积分也称为无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. 并非不定型并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散它表明该反常积分发散 . .4.引入记号引入记号则有类似牛则有类似牛
3、 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.例例1. 计算反常积分计算反常积分解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 分析分析:原积分发散原积分发散 !注意注意: 对反常积分对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性质的性质, 否则会出现错误否则会出现错误 .6.例例2. 证明第一类证明第一类 p 积分积分证证:当当 p =1 时有时有 当当 p 1 时有时有 当当 p 1 时收敛时收敛 ; p1 时发散时发散 .因此因此, 当当 p 1 时时, 反常积分收敛反常积分收敛 , 其值为其值为当当
4、 p1 时时, 反常积分发散反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.例例3. 计算反常积分计算反常积分解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线曲线所围成的所围成的与与 x 轴轴, y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积可记作可记作其含义可理解为其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 9.定义定义2. 设设而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,存在存在 ,这时称反常积分这时称反常积分收敛收敛 ; 如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分发散发散 .类似地
5、类似地 , 若若而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,若极限若极限数数 f (x) 在在 a , b 上的反常积分上的反常积分, 记作记作则定义则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函则称此极限为函 10.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: 而在点而在点 c 的的无界函数的积分又称作无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称无界点常称邻域内无界邻域内无界 ,为为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点间断点,而不是反常积分而不是反常积分. 则本质上是常义积分则
6、本质上是常义积分, 则定义则定义11.注意注意: 若瑕点若瑕点的计算表达式的计算表达式 : 则也有类似牛则也有类似牛 莱公式的莱公式的若若 b 为瑕点为瑕点, 则则若若 a 为瑕点为瑕点, 则则若若 a , b 都为瑕点都为瑕点, 则则则则可相消吗可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 12.下述解法是否正确下述解法是否正确: , 积分收敛例例4. 计算反常积分计算反常积分解解: 显然瑕点为显然瑕点为 a , 所以所以原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 讨论反常积分讨论反常积分的收敛性的收敛性 . 解解:所以反常积分所以反常积分发散发散 .13.例例6. 证明反常积分证
7、明反常积分证证: 当当 q = 1 时时,当当 q 1 时收敛时收敛 ; q1 时发散时发散 .当当 q1 时时所以当所以当 q 1 时时, 该广义积分收敛该广义积分收敛 , 其值为其值为当当 q 1 时时, 该广义积分发散该广义积分发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 14.例例7.解：解：求求的无穷间断点的无穷间断点, 故故 I 为反常为反常积分积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 15.内容小结内容小结 1. 反常积分反常积分积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分两个重要的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 16.说明说明: (1) 有时通过换元有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互反常积分和常义积分可以互相转化相转化 .例如例如 ,(2) 当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分分别讨论每一区间上的反常积分.17.备用题备用题 试证试证, 并求其值并求其值 .解解:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 18.机动 目录 上页 下页 返回 结束 19.
