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1、动量和能量专题动量和能量专题曲周县第一中学 物理组专题：动量和能量专题：动量和能量功与冲量功与冲量动能与动量动能与动量动能定理与动量定理动能定理与动量定理机械能守恒定律与动量守恒定律机械能守恒定律与动量守恒定律能量的转化与守恒定律能量的转化与守恒定律功能关系功能关系一、功和冲量一、功和冲量功是功是标量标量，冲量是，冲量是矢量矢量功是力在空间上的累积，冲量是力在时间功是力在空间上的累积，冲量是力在时间上的累积；上的累积；功是能量转化的量度，冲量是物体动量变功是能量转化的量度，冲量是物体动量变化的量度；化的量度；常见力做功的特点常见力做功的特点求变力的功求变力的功练习练习（一）常见力做功的特点：（
2、一）常见力做功的特点：1重力、电场力做功与路径无关重力、电场力做功与路径无关摩擦力做功与路径有关摩擦力做功与路径有关滑动摩擦力滑动摩擦力既可做正功，又可做负功既可做正功，又可做负功静摩擦力静摩擦力既可做正功，又可做负功既可做正功，又可做负功AB如：如：PQFAB如：如：3作用力与反作用力做功作用力与反作用力做功同时做正功；同时做正功；同时做负功；同时做负功；一力不做功而其反作用力做正功或负功；一力不做功而其反作用力做正功或负功；一力做正功而其反作用力做负功；一力做正功而其反作用力做负功；都不做功都不做功SSNN作用力与反作用力作用力与反作用力冲量冲量大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。4合
3、力做功合力做功W合合=F合合scos=W总总=F1s1cos1+F2s2cos2 +返回动能是动能是标量标量，动量是，动量是矢量矢量二、动能与动量二、动能与动量动能与动量从不同角度都可表示物体运动动能与动量从不同角度都可表示物体运动状态的特点；状态的特点；物体要获得动能，则在过程中必须对它做物体要获得动能，则在过程中必须对它做功，物体要获得动量，则在过程中必受冲量功，物体要获得动量，则在过程中必受冲量作用；作用；两者大小两者大小关系：关系：动能定理的表达式是动能定理的表达式是标量式标量式，动量定理的，动量定理的表达式是表达式是矢量式矢量式三、动能定理与动量定理三、动能定理与动量定理动能定理表示
4、力对物体做功等于物体动能动能定理表示力对物体做功等于物体动能的变化，动量定理表示物体受到的冲量等于的变化，动量定理表示物体受到的冲量等于物体动量的变化；物体动量的变化；动能定理可用于求变力所做的功，动量定动能定理可用于求变力所做的功，动量定理可用于求变力的冲量；理可用于求变力的冲量；练习外力外力（可以是重力、（可以是重力、弹力、摩擦力或其它力）力、摩擦力或其它力）做做的的总功功量度量度动能的能的变化：化： 重力功重力功量度重力量度重力势能的能的变化：化： 弹力功量度力功量度弹性性势能的能的变化：化： 非重力非重力弹力功力功量度机械能的量度机械能的变化：化： (功能原理功能原理)一定的能量变化由
5、相应的功来量度一定的能量变化由相应的功来量度(动能定理动能定理)四、功和能的关系四、功和能的关系重力做功重力势能减少弹性势能减少弹力做功滑动摩擦力滑动摩擦力在做功过程中，能量的转化有在做功过程中，能量的转化有两个方向，一是相互摩擦的物体之间机械能的两个方向，一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能，转化为内能的转移；二是机械能转化为内能，转化为内能的值等于机械能减少量，表达式为值等于机械能减少量，表达式为静摩擦力静摩擦力在做功过程中，只有机械能的相在做功过程中，只有机械能的相互转移，而没有热能的产生。互转移，而没有热能的产生。Q=f滑滑S相对相对摩擦力做功摩擦力做功返回五、两个
6、守恒定律五、两个守恒定律1 1、动量守恒定律：、动量守恒定律：公式：公式： p p = =p p 或或p p 1 1=-=-p p2 2或或m m1 1v v1 1+ +m m2 2v v2 2= =m m1 1v v1 1+m m2 2v v2 2 成立条件成立条件（1 1）系统不受外力或合外力为零；）系统不受外力或合外力为零；（2 2）系统所受合外力不为零，但沿某个方向的合外力为）系统所受合外力不为零，但沿某个方向的合外力为零，则系统沿该方向的动量守恒零，则系统沿该方向的动量守恒 ；（；（3 3）系统所受合外）系统所受合外力不为零，但合外力远小于内力且作用时间极短，如爆力不为零，但合外力远
7、小于内力且作用时间极短，如爆炸或瞬间碰撞等。炸或瞬间碰撞等。 动量守恒定律表达式动量守恒定律表达式m m1 1v v1 1+ +m m2 2v v2 2= =m m1 1v v1 1+m m2 2v v2 2 是矢量是矢量式，解题时要先规定正方向。各速度是相对于同一个惯性式，解题时要先规定正方向。各速度是相对于同一个惯性参考系的速度。参考系的速度。v v1 1 、v v2 2必须是作用前同一时刻的速度，必须是作用前同一时刻的速度，v v1 1 、v v2 2 必须是作用后同一时刻的速度。必须是作用后同一时刻的速度。2 2、机械能守恒定律：、机械能守恒定律：公式：公式： E E = =E E或或
8、E Ep p= = E Ek k或或成立条件成立条件只有系统内重力（或弹簧的弹力）做功。只有系统内重力（或弹簧的弹力）做功。 如果除了重力（或弹簧的弹力）做功以外，还有如果除了重力（或弹簧的弹力）做功以外，还有其它力做功其它力做功W W其他其他，机械能不守恒；机械能变化，机械能不守恒；机械能变化E E =W =W其他其他 特别要指出，系统内有滑动摩擦力，系统外没有特别要指出，系统内有滑动摩擦力，系统外没有外力做功机械能也不守恒，要摩擦生热，这里分两种情外力做功机械能也不守恒，要摩擦生热，这里分两种情况：况：（1 1）若一个物体相对于另一个物体作单向运动，）若一个物体相对于另一个物体作单向运动，
9、S S相相为相为相对位移大小；对位移大小；（2 2）若一个物体相对于另一个物体作往返运动，）若一个物体相对于另一个物体作往返运动，S S相相为相为相对路程。对路程。动量守恒定律动量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律矢量性、瞬时间、同矢量性、瞬时间、同一性和同时性一性和同时性功是能量转化的量度功是能量转化的量度守恒思想是一种系统方法，它是把物体组成守恒思想是一种系统方法，它是把物体组成的系统作为研究对象，守恒定律就是系统某的系统作为研究对象，守恒定律就是系统某种种整体整体特性的表现特性的表现。解题时，可不涉及过程细节，只需要关键解题时，可不涉及过程细节，只需要关键状态状态滑块滑块问题问题弹簧问题弹
10、簧问题线框问题线框问题返回碰撞问题碰撞问题碰碰撞撞的的分分类类 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 动量守恒，动能不损失动量守恒，动能不损失 （质量相同，交换速度）（质量相同，交换速度）完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 动量守恒，动能损失动量守恒，动能损失 最大。最大。 （以共同速度运动）（以共同速度运动）非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞 动量守恒，动能有损失。动量守恒，动能有损失。 碰碰 撞后的速度介于上面两种撞后的速度介于上面两种 碰撞的速度之间碰撞的速度之间.（1 1）小球）小球m m1 1滑到的最大高度滑到的最大高度（2 2）小球）小球m m1 1从斜面滑下后，二者速度从斜面滑下后，二者速度（3 3）若
11、）若m m1 1= m= m2 2小球小球m m1 1从斜面滑下后，二者速度从斜面滑下后，二者速度例例1 1：如图所示，光滑水平面上质量为：如图所示，光滑水平面上质量为m m1 1=2kg=2kg的小球以的小球以v v0 0=2m/s=2m/s的初速冲向质量为的初速冲向质量为m m2 2=6kg=6kg静止的足够高的光滑的斜静止的足够高的光滑的斜劈体，斜劈体与水平面接触处有一小段光滑圆弧。求：劈体，斜劈体与水平面接触处有一小段光滑圆弧。求：例与练例与练v0m1m2（1 1）以向右为正，对上升过程水平方向由动量守恒）以向右为正，对上升过程水平方向由动量守恒h=0.15m V= m1V0 / （m
12、1+m2） =0.5m/s对系统上升过程由机械能守恒对系统上升过程由机械能守恒析与解析与解（2 2）以向右为正，对系统全过程由动量守恒）以向右为正，对系统全过程由动量守恒 m1V0 = （m1+m2）V对系统全过程由机械能守恒对系统全过程由机械能守恒析与解析与解联立以上两式，可得联立以上两式，可得（3 3） 若若m1=m2注意注意m m1 1= m= m2 2交换速度。交换速度。m m1 1 m m2 2 , v , v1 10 m0 m1 1反向。反向。例例2 2、如图所示，质量为、如图所示，质量为m m的有孔物体的有孔物体A A套在光滑的水平套在光滑的水平杆上，在杆上，在A A下面用足够长
13、的细绳挂一质量为下面用足够长的细绳挂一质量为M M的物体的物体B B。一个质量为一个质量为m m0 0的子弹的子弹C C以以v v0 0速度射入速度射入B B并留在并留在B B中，求中，求B B上上升的最大高度。升的最大高度。例与练例与练v0 0C向左为正，对向左为正，对B B、C C碰撞由动量守恒得碰撞由动量守恒得析与解析与解向左为正，对向左为正，对A A、B B、C C全过程水平方向由动量守恒得全过程水平方向由动量守恒得对对A A、B B、C C上升过程由机械能守恒得上升过程由机械能守恒得注意注意: :对对A A、B B、C C全过程由机械能守恒吗全过程由机械能守恒吗? ?例例3 3、在光
14、滑的水平面上，有、在光滑的水平面上，有A A、B B两个小球向右沿同一直两个小球向右沿同一直线运动，取向右为正方向，两球的动量分别为线运动，取向右为正方向，两球的动量分别为p pA A5kgm/s5kgm/s，p pB B7kgm/s7kgm/s，如图所示。若两球发生正碰，则如图所示。若两球发生正碰，则碰后两球的动量变化量碰后两球的动量变化量ppA A、ppB B可能是（可能是（ ）A A、ppA A3 3 kgm/skgm/s，ppB B3 3 kgm/skgm/sB B、ppA A3 3 kgm/skgm/s，ppB B3 3 kgm/skgm/sC C、ppA A3 3 kgm/skgm
15、/s，ppB B3 3 kgm/skgm/sD D、ppA A10 10 kgm/skgm/s，ppB B10 10 kgm/skgm/s例与练例与练由由A A、B B碰撞碰撞动量守恒动量守恒析与解析与解由由A A、B B位置关系位置关系，碰后，碰后pA A0可以排除选项可以排除选项A A排除选项排除选项C C设设A A、B B的质量分别为的质量分别为m mA A、mB B设设pA A10kgm/s，pB B10kgm/s则碰后则碰后pA A5kgm/s，pB B17kgm/s则碰后则碰后VA A5/m mA A，VB B17/mB B则碰后则碰后A A、B B总动能为总动能为而碰前而碰前A
16、A、B B总动能为总动能为很明显很明显碰后碰后A A、B B总动能大于碰前总动能大于碰前A A、B B总动能，总动能，不不可能，排除可能，排除D D，选，选B B。例例4 4、质量为、质量为m m20Kg20Kg的物体，以水平速度的物体，以水平速度v v0 05m/s5m/s的速度的速度滑上静止在光滑水平面上的小车，小车质量为滑上静止在光滑水平面上的小车，小车质量为M M80Kg80Kg，物体在小车上滑行物体在小车上滑行L L4m4m后相对小车静止。求：后相对小车静止。求：（1 1）物体与小车间的滑动摩擦系数。）物体与小车间的滑动摩擦系数。（2 2）物体相对小车滑行的时间内，小车在地面上运动的
17、）物体相对小车滑行的时间内，小车在地面上运动的距离。距离。v0 0mMVLS由动量守恒定律由动量守恒定律V=1m/s物体与小车由动能定理物体与小车由动能定理-mg L = (m+M)V2/2 - mv0 02/2 = 0.25对小车对小车 mg S =MV2/2 S=0.8m例与练例与练析与解析与解（m+M)V=mvm+M)V=mv0 0v0 0mM例例5 5、如如图图，长长木木板板ab b的的b b端端固固定定一一档档板板，木木板板连连同同档档板板的的质质量量为为M=4.0kgM=4.0kg，a、b b间间距距离离s=2.0ms=2.0m。木木板板位位于于光光滑滑水水平平面面上上。在在木木板
18、板a端端有有一一小小物物块块，其其质质量量m=1.0kgm=1.0kg，小小物物块块与与木木板板间间的的动动摩摩擦擦因因数数=0.10=0.10，它它们们都都处处于于静静止止状状态态。现现令令小小物物块块以以初初速速v v0 0 =4.0m/s=4.0m/s沿沿木木板板向向前前滑滑动动，直直到到和和档档板板相相撞撞。碰碰撞撞后后，小小物物块块恰恰好好回回到到a端端而而不不脱脱离离木木板板。求碰撞过程中损失的机械能。求碰撞过程中损失的机械能。 S=2mabMmv0 例与练例与练设木板和物块最后共同的速度为设木板和物块最后共同的速度为v v ，由动量守恒由动量守恒mv0 =(m+M)v 设全过程损
19、失的机械能为设全过程损失的机械能为EE，木块在木板上相对滑动过程损失的机械能为木块在木板上相对滑动过程损失的机械能为 W=fs=2mgs 注意：注意：ss为相对滑动过程的为相对滑动过程的总路程总路程碰撞过程中损失的机械能为碰撞过程中损失的机械能为析与解析与解例例6 6、如如图图所所示示，M=2kgM=2kg的的小小车车静静止止在在光光滑滑的的水水平平面面上上车车面面上上ABAB段段是是长长L=1mL=1m的的粗粗糙糙平平面面，BCBC部部分分是是半半径径R=0.6mR=0.6m的的光光滑滑1/41/4圆圆弧弧轨轨道道，今今有有一一质质量量m=1kgm=1kg的的金金属属块块静静止止在在车车面面
20、的的A A端端金金属属块块与与ABAB面面的的动动摩摩擦擦因因数数=0.3=0.3若若给给m m施施加加一一水水平平向向右右、大大小小为为I=5NI=5Ns s的的瞬瞬间间冲冲量量， （g g取取10m/s10m/s2 2）求）求: :（1 1）金属块能上升的最大高度）金属块能上升的最大高度h h（2 2）小车能获得的最大速度小车能获得的最大速度V V1 1（3 3）金金属属块块能能否否返返回回到到A A点点？若若能能到到A A点点，金金属属块块速速度度多大？多大？MABCROmI h=0.53 m 例与练例与练MABCROmII=mv0 v0=I/m=5m/s（1 1）到最高点有共同速度水平
21、）到最高点有共同速度水平V V 由动量守恒定律由动量守恒定律 I= (m+ M)V I= (m+ M)V 由能量守恒定律由能量守恒定律 h=0.53 m 析与解析与解mvmv0 0 2 2/2 =(m+ M)V/2 =(m+ M)V2 2/2/2 + +mgL+mghmgL+mgh MABCROmI思考：若思考：若R=0.4mR=0.4m，前两问结果如何？前两问结果如何？ （2 2）当物体）当物体m m由最高点返回到由最高点返回到B B点时，小车点时，小车速度速度V V2 2最大最大, ,向右为正，向右为正，由动量守恒定律由动量守恒定律 I= - mv1+ MV1由能量守恒定律由能量守恒定律解
22、得：解得：V1=3m/s （向右）向右） 或或v1=-1m/s （向左向左）析与解析与解mv02/2 = mv12/2+ MV12/2 + mgL MABCROmI（3 3）设金属块从）设金属块从B B向左滑行向左滑行s s后相对于小车静后相对于小车静止，速度为止，速度为V V ，以向右为正，由动量守恒以向右为正，由动量守恒I = (m+ M)V由能量守恒定律由能量守恒定律解得：解得：s=16/9mL=1m 能返回到能返回到A点点 由动量守恒定律由动量守恒定律 I = - mv2+ MV2由能量守恒定律由能量守恒定律解得：解得：V2=2.55m/s （向右）向右） v2=-0.1m/s （向左
23、向左）析与解析与解mv0 2 /2 = (m+ M) V2 /2 + mg（L+s） mv0 2 /2 = mv22 /2 + MV22 /2 + 2mgL 滑块问题滑块问题一一般般可可分分为为两两种种，即即力力学学中中的的滑滑块块问问题题和和电电磁磁学学中中的的带带电电滑滑块块问问题题。主主要要是是两两个个及及两两个个以以上上滑滑块块组组成成的的系系统统，如如滑滑块块与与小小车车、子子弹弹和和木木块块、滑滑块块和和箱箱子子、磁磁场场中中导导轨轨上上的的双双滑杆、原子物理中的粒子间相互作用等。滑杆、原子物理中的粒子间相互作用等。以以“子弹打木块子弹打木块”问题为例，总结规律。问题为例，总结规律
24、。关于关于“子弹打木块子弹打木块”问题特征与规律问题特征与规律 动力学规律：动力学规律：运动学规律：运动学规律：动量规律：动量规律：由两个物体组成的系统，所受合外力为由两个物体组成的系统，所受合外力为零而相互作用力为一对恒力零而相互作用力为一对恒力典型情景典型情景规律种种规律种种模型特征：模型特征：两物体的加速度大小与质量成反比两物体的加速度大小与质量成反比系统的总动量定恒系统的总动量定恒两个作匀变速运动物体的追及问题、相两个作匀变速运动物体的追及问题、相对运动问题对运动问题力对力对“子弹子弹”做的功等于做的功等于“子弹子弹”动能的变化量：动能的变化量：能量规律：能量规律：力对力对“木块木块”
25、做的功等于做的功等于“木块木块”动能变化量：动能变化量： 一对力的功等于系统动能变化量：一对力的功等于系统动能变化量： 因因为为滑滑动动摩摩擦擦力力对对系系统统做做的的总总功功小小于于零零使使系系统统的的机机械械能能（动动能能）减减少少，内内能能增增加加，增增加加的的内内能能Q=fs，s为两物体相对滑行的路程为两物体相对滑行的路程vm0mvm/M+mtv0dt0vm0vmtvMtdtv0t0(mvmo-MvM0)/M+mvm0vM0vtt00svvm00tsmmvm/M+m“子子弹”穿出穿出“木木块”“子子弹”未穿出未穿出“木木块”“子子弹”迎迎击“木木块”未穿未穿出出 “子子弹”与与“木木块
26、”间恒作用一恒作用一对力力图象描述象描述练习例例：如如图图所所示示,质质量量M的的平平板板小小车车左左端端放放着着m的的铁铁块块，它它与与车车之之间间的的动动摩摩擦擦因因数数为为.开开始始时时车车与与铁铁块块同同以以v0的的速速度度向向右右在在光光滑滑水水平平地地面面上上前前进进,并并使使车车与与墙墙发发生生正正碰碰.设设碰碰撞撞时时间间极极短短,碰碰撞撞时时无无机机械械能能损损失失,且且车车身身足足够够长长,使使铁铁块块始始终终不不能能与与墙墙相相碰碰.求求:铁铁块块在在小小车车上上滑滑行行的的总总路路程程.(g=10m/s2)v0解：解：小车与墙碰撞后系统总动量向右，小车与墙碰撞后系统总动
27、量向右，小车不断与墙相碰，最后停在墙根处小车不断与墙相碰，最后停在墙根处若若mM，若若mM，小车与墙碰撞后系统总动量向左，小车与墙碰撞后系统总动量向左，铁块与小车最终一起向左做匀速直线运动，而系铁块与小车最终一起向左做匀速直线运动，而系统能量的损失转化为内能统能量的损失转化为内能下一题返回返回 2003全全国国理理综综34、 一一传传送送带带装装置置示示意意如如图图，其其中中传传送送带带经经过过AB区区域域时时是是水水平平的的，经经过过BC区区域域时时变变为为圆圆弧弧形形（圆圆弧弧由由光光滑滑模模板板形形成成，未未画画出出），经经过过CD区区域域时时是是倾倾斜斜的的，AB和和CD都都与与BC相
28、相切切。现现将将大大量量的的质质量量均均为为m的的小小货货箱箱一一个个一一个个在在A处处放放到到传传送送带带上上，放放置置时时初初速速为为零零，经经传传送送带带运运送送到到D处处，D和和A的的高高度度差差为为h。稳稳定定工工作作时时传传送送带带速速度度不不变变，CD段段上上各各箱箱等等距距排排列列，相相邻邻两两箱箱的的距距离离为为L。每每个个箱箱子子在在A处处投投放放后后，在在到到达达B之之前前已已经经相相对对于于传传送送带带静静止止，且且以以后后也也不不再再滑滑动动（忽忽略略经经BC段段时时的的微微小小滑滑动动）。已已知知在在一一段段相相当当长长的的时时间间T 内内，共共运运送送小小货货箱箱
29、的的数数目目为为N。这这装装置置由由电电动动机机带带动动，传传送送带带与与轮轮子子间间无无相相对对滑滑动动，不计轮轴处的摩擦。不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率求电动机的平均输出功率P。LBADCL解解析析:以以地地面面为为参参考考系系(下下同同)，设设传传送送带带的的运运动动速速度度为为v0，在在水水平平段段运运输输的的过过程程中中，小小货货箱箱先先在在滑滑动动摩摩擦擦力力作作用用下下做做匀匀加加速速运运动动，设设这这段段路路程程为为s，所所用用时时间为间为t，加速度为加速度为a，则对小箱有：则对小箱有： S =1/2at2 v0 =at在这段时间内，传送带运动的路程为：在这段时间内，
30、传送带运动的路程为： S0 =v0 t由以上可得：由以上可得： S0 =2S用用f 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为带对小箱做功为Af S1/2mv02传送带克服小箱对它的摩擦力做功传送带克服小箱对它的摩擦力做功A0f S021/2mv02两者之差就是摩擦力做功发出的热量两者之差就是摩擦力做功发出的热量Q1/2mv02也可直接根据摩擦生热也可直接根据摩擦生热 Q= f S= f（S0- S）计算计算题目题目可可见见，在在小小箱箱加加速速运运动动过过程程中中，小小箱箱获获得得的的动动能能与与发热量相等发热量相等. Q1/2mv02T时
31、间内，电动机输出的功为：时间内，电动机输出的功为： W=PT此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即：力发热，即：W=N 1/2mv02+mgh+Q = N mv02+mgh已知相邻两小箱的距离为已知相邻两小箱的距离为L，所以：所以：v0TNL v0NL / T联立，得：联立，得：题目题目 2001年春季北京年春季北京: 如图所示，如图所示，A、B是静止在水平地是静止在水平地面上完全相同的两块长木板。面上完全相同的两块长木板。A的左端和的左端和B的右端相接的右端相接触。两板的质量皆为触。两板的质量皆为M=2.0kg，长度皆为长度皆为l =1.0
32、m,C 是是一质量为一质量为m=1.0kg的木块现给它一初速度的木块现给它一初速度v0 =2.0m/s，使它从使它从B板的左端开始向右动已知地面是光滑的，而板的左端开始向右动已知地面是光滑的，而C与与A、B之间的动摩擦因数皆为之间的动摩擦因数皆为=0.10求最后求最后A、B、C各以多大的速度做匀速运动取重力加速度各以多大的速度做匀速运动取重力加速度g=10m/s2.ABCM=2.0kgM=2.0kgv0 =2.0m/sm=1.0kg解解：先先假假设设小小物物块块C 在在木木板板B上上移移动动距距离离 x 后后，停停在在B上上这这时时A、B、C 三者的速度相等，设为三者的速度相等，设为VABCV
33、ABCv0Sx由动量守恒得由动量守恒得 在此过程中，木板在此过程中，木板B 的位移为的位移为S，小木块小木块C 的位移为的位移为S+x由功能关系得由功能关系得相加得相加得解解、两式得两式得代入数值得代入数值得 题目题目 上页上页 下页下页 x 比比B 板板的的长长度度l 大大这这说说明明小小物物块块C不不会会停停在在B板板上上，而而要要滑滑到到A 板板上上设设C 刚刚滑滑到到A 板板上上的的速速度度为为v1，此此时时A、B板的速度为板的速度为V1，如图示：如图示：ABCv1V1则由动量守恒得则由动量守恒得由功能关系得由功能关系得以题给数据代入解得以题给数据代入解得由于由于v1 必是正数，故合理
34、的解是必是正数，故合理的解是题目题目 上页上页 下页下页 当当滑滑到到A之之后后，B 即即以以V1= 0.155m/s 做做匀匀速速运运动动而而C 是是以以 v1=1.38m/s 的的初初速速在在A上上向向右右运运动动设设在在A上上移移动动了了y 距距离离后后停止在停止在A上，此时上，此时C 和和A 的速度为的速度为V2，如图示：如图示：ABCV2V1y由动量守恒得由动量守恒得 解得解得 V2 = 0.563 m/s 由功能关系得由功能关系得解得解得 y = 0.50 my 比比A 板的长度小，故小物块板的长度小，故小物块C 确实是停在确实是停在A 板上板上最后最后A、B、C 的速度分别为的速
35、度分别为: 题目题目 上页上页弹簧问题弹簧问题对两个（及两个以上）物体与弹簧组成对两个（及两个以上）物体与弹簧组成的系统在相互作用过程中的问题。的系统在相互作用过程中的问题。能量变化方面能量变化方面：若外力和除弹簧以外的内力不做功，：若外力和除弹簧以外的内力不做功，系统机械能守恒；若外力和除弹簧以外的内力做功，系统机械能守恒；若外力和除弹簧以外的内力做功，系统总机械能的改变量等于外力及上述内力的做功系统总机械能的改变量等于外力及上述内力的做功总和。总和。相互作用过程特征方面相互作用过程特征方面：弹簧压缩或伸长到最大程：弹簧压缩或伸长到最大程度时弹簧两端物体具有度时弹簧两端物体具有相同速度相同速
36、度。返回2005全国全国24题题如图，质量为的物体如图，质量为的物体A经一轻质弹簧与经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体下方地面上的质量为的物体B相连，弹簧的劲度系数相连，弹簧的劲度系数为为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为的物体在挂钩上升一质量为的物体C并从静止状态释放，已并从静止状态释放，已知它恰好能使知它恰好能使B离开地面但不继续上升
37、。若将离开地面但不继续上升。若将C换成另换成另一个质量为的物体一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次则这次B刚离地时刚离地时D的速度的大小是的速度的大小是多少？已知重力加速度为多少？已知重力加速度为g。解析：开始时，解析：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为静止，设弹簧压缩量为x1，有有kx1=m1g挂挂C并释放后，并释放后，C向下运动，向下运动，A向上运动，设向上运动，设B刚要离地刚要离地时弹簧伸长量为时弹簧伸长量为x2，有：有：kx2=m2gB不再上升，表示此时不再上升，表示此时A和和C的速度为零，的速度为零，C已降到其最已降到其最低点。由
38、机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为的增加量为E=m3g(x1+x2)m1g(x1+x2)C换成换成D后，当后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得同，由能量关系得由由式得式得由由式得式得图与弹簧关联的动量和能量问题的解题要点：与弹簧关联的动量和能量问题的解题要点：（4 4）判判断断系系统统全全过过程程动动量量和和机机械械能能是是否否守守恒恒，如如果果守守恒恒则对全对象全过程用动量守恒定律和机械能守恒定律。若则对全对象全过程用动量守恒定律和机械能守恒定律。若全全过过程程机机械械能能不不
39、守守恒恒，则则考考虑虑分分过过程程用用机机械械能能守守恒恒定定律律或或动能定理。动能定理。（1 1）首首先先要要准准确确地地分分析析每每个个物物体体在在运运动动过过程程中中的的受受力力及及其变化情况，准确地判断每个物体的运动情况。其变化情况，准确地判断每个物体的运动情况。（2 2）注注意意确确定定弹弹簧簧是是处处于于伸伸长长状状态态还还是是压压缩缩状状态态，从从而而确确定物体所受弹簧弹力的方向。定物体所受弹簧弹力的方向。总结与归纳总结与归纳（3 3）注意临界状态：弹簧最长或最短及弹簧恢复原长状态。）注意临界状态：弹簧最长或最短及弹簧恢复原长状态。 例例质量为质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接
40、的钢板与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地上弹簧下端固定在地上.平衡时平衡时,弹簧的压缩量为弹簧的压缩量为x0,如图所示如图所示.一物块从钢板正上方距离为一物块从钢板正上方距离为3x0的的A处自由落下处自由落下,打在钢板上并立刻与钢板一起向下打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动运动,但不粘连但不粘连.它们到达最低点后又向上运动它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量也为已知物块质量也为m时时,它们恰能回到它们恰能回到O点点.若物若物块质量为块质量为2m,仍从仍从A处自由落下处自由落下,则物块与钢板则物块与钢板回到回到O点时点时,还具有向上的速度还具有向上的速度.求物块向上运动求物块向上运动到
41、达的最高点与到达的最高点与O点的距离点的距离.返回x0AmmB3x0O下一题 例例：如如图所所示示，轻弹簧簧的的一一端端固固定定，另另一一端端与与滑滑块B相相连，B静静止止在在水水平平直直导轨上上，弹簧簧处在在原原长状状态。另另一一质量量与与B相相同同滑滑块A，从从导轨上上的的P点点以以某某一一初初速速度度向向B滑滑行行，当当A滑滑过距距离离l1时时，与与B相相碰碰，碰碰撞撞时时间间极极短短，碰碰后后A、B紧紧贴贴在在一一起起运运动动，但但互互不不粘粘连连。已已知知最最后后A恰恰好好返返回回出出发发点点P并并停停止止。滑滑块块A和和B与与导导轨轨的的滑滑动动摩摩擦擦因因数数都都为为，运运动动过
42、过程程中中弹弹簧簧最最大大形形变变量量为为l2，重重力力加加速速度度为为g。求。求A从从P出发时的初速度出发时的初速度v0。 ABl2l1p返回2000年高考年高考22、 在原子核物理中，研究核子与核关联的最有在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是效途径是“双电荷交换反应双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球述力学模型类似。两个小球A和和B用轻质弹簧相连，在光滑的水用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板挡板P，右边有一小球右边有一
43、小球C沿轨道以速度沿轨道以速度v0 射向射向 B球，如图所示。球，如图所示。C与与B发生碰撞并立即结成一个整体发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，然后，A球与挡板球与挡板P发生碰撞，碰后发生碰撞，碰后A、D都静止不动，都静止不动，A与与P接接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除定均无触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除定均无机械能损失）。已知机械能损失）。已知A、B、C三球的质量均为三球的质量均为m。（1）求弹簧长度刚被
44、锁定后求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。球的速度。（2）求在）求在A球离开挡板球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。弹性势能。v0BACPv0BACP（1）设）设C球与球与B球粘结成球粘结成D时，时，D的速度为的速度为v1，由动量由动量守恒，有守恒，有 v1ADPmv0 =(m+m)v 1 当弹簧压至最短时，当弹簧压至最短时，D与与A的速度相等，设此速的速度相等，设此速度为度为v2 ，由动量守恒，有由动量守恒，有DAPv22mv1 =3m v2 由由、两式得两式得A的速度的速度 v2=1/3 v0 题目题目 上页上页 下页下页（2）设弹簧长度被锁定后，贮存
45、在弹簧中的势能为）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为 EP ，由能量守恒，有由能量守恒，有撞击撞击P后，后，A与与D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D 的动能，设的动能，设D的速度为的速度为v3 ，则有则有 当弹簧伸长，当弹簧伸长，A球离开挡板球离开挡板P，并获得速度。当并获得速度。当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为v4 ，由由动量守恒，有动量守恒，有2mv3=3mv4 当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为当弹簧伸到最长时，其
46、势能最大，设此势能为 ，由能量守恒，有由能量守恒，有解以上各式得解以上各式得题目题目 上页上页v0BA 例例. 如图示，在光滑的水平面上，质量为如图示，在光滑的水平面上，质量为m的小球的小球B连连接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为2m的小球的小球A以以初初速度速度v0向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过了一运动，过了一段时间段时间A与弹簧分离与弹簧分离.（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能EP多大多大？ （2）若开始时在）若开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板，在球的右侧某位置固定一
47、块挡板，在A球与弹簧未分离前使球与弹簧未分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设即将挡板撤走，设B球与挡板的碰撞时间极短，碰后球与挡板的碰撞时间极短，碰后B球球的速度大小不变但方向相反，欲使此后弹簧被压缩到最的速度大小不变但方向相反，欲使此后弹簧被压缩到最短时，弹性势能达到第（短时，弹性势能达到第（1）问中）问中EP的的2.5倍，必须使倍，必须使B球球在速度多大时与挡板发生碰撞？在速度多大时与挡板发生碰撞？v0BA甲甲解：解： （1）当弹簧被压缩到最短时，）当弹簧被压缩到最短时，AB两球的速度两球的速度相等设为相等设为v，由动量守恒定律由动量守恒定律2
48、mv0=3mv 由机械能守恒定律由机械能守恒定律EP=1/22mv02 -1/23mv2 = mv2/3 （2）画出碰撞前后的几个过程图）画出碰撞前后的几个过程图v1BAv2乙乙v1BAv2丙丙VBA丁丁由甲乙图由甲乙图 2mv0=2mv1 +mv2 由丙丁图由丙丁图 2mv1- mv2 =3mV 由机械能守恒定律（碰撞过程不做功）由机械能守恒定律（碰撞过程不做功）1/22mv02 =1/23mV2 +2.5EP 解得解得v1=0.75v0 v2=0.5v0 V=v0/3 1 1、如图所示，光滑的水平轨道上，有一个质量为、如图所示，光滑的水平轨道上，有一个质量为M M的足够长的足够长长木板，一
49、个轻弹簧的左端固定在长木板的左端，右端连着长木板，一个轻弹簧的左端固定在长木板的左端，右端连着一个质量为一个质量为m m的物块，且物块与长木板光滑接触。开始时，的物块，且物块与长木板光滑接触。开始时，m m和和M M均静止，弹簧处于原长。现同时对均静止，弹簧处于原长。现同时对m m、M M施加等大反向的水施加等大反向的水平恒力平恒力F F1 1、F F2 2，从两物体开始运动以后的整个过程中，对从两物体开始运动以后的整个过程中，对m m、M M和弹簧组成的系统（弹簧形变不超过弹性限度），下列说法和弹簧组成的系统（弹簧形变不超过弹性限度），下列说法正确的是（正确的是（ ）A A、由于由于F F1
50、 1、F F2 2等大反向，故系统动量守恒等大反向，故系统动量守恒B B、由于由于F F1 1、F F2 2等大反向，故系统机械能守恒等大反向，故系统机械能守恒C C、由于由于F F1 1、F F2 2分别对分别对m m、M M做正功，故系统机械能不断增大做正功，故系统机械能不断增大D D、当弹簧弹力大小与当弹簧弹力大小与F F1 1、F F2 2大小相等时，大小相等时， m m、M M动能最大动能最大课堂练习课堂练习mF1F2M由于由于F F1和和F F2等大反向，对等大反向，对m m、M M和弹簧组成的和弹簧组成的系统，合外力为系统，合外力为0 0，故系统动量守恒。，故系统动量守恒。 由于
51、由于F F1和和F F2分别对分别对m m、M M做功，故系统机械能不守恒做功，故系统机械能不守恒析与解析与解mF1F2MFF开始弹簧弹力开始弹簧弹力F F小于拉小于拉力力 F F1和和F F2 ，mF1F2MFF当弹簧弹力当弹簧弹力F F大于拉力大于拉力 F F1和和F F2后，后，m m、M M分别向右、向左加速运动，系统弹性势能和分别向右、向左加速运动，系统弹性势能和总动能都变大，总机械能变大。总动能都变大，总机械能变大。m m、M M分别向右、向左减速运动，系统弹性势能变分别向右、向左减速运动，系统弹性势能变大，总动能变小，但总机械能变大。大，总动能变小，但总机械能变大。v1v1v2v
52、2所以系统机械能所以系统机械能不是一直变大。不是一直变大。 当当m m、M M速度减为速度减为0 0以后，以后，析与解析与解F1mF2MFFm m、M M分别向左、向右加速运动，分别向左、向右加速运动， 这时这时F F1和和F F2分别对分别对m m、M M做负功，系统机械能变小。做负功，系统机械能变小。 讨论：讨论： （1 1）系统总动能最大时总机械能是否最大？）系统总动能最大时总机械能是否最大？ 弹簧弹力弹簧弹力F F大小等于拉力大小等于拉力F F1 1和和F F2 2时时 m m、M M 速度最速度最大，系统总动能最大；大，系统总动能最大； 当当m m、M M 速度都为速度都为0 0时系
53、时系统总机械能最大。统总机械能最大。 （2 2）弹性势能最大时，系统的总机械能是否最大？）弹性势能最大时，系统的总机械能是否最大？ 当当m m、M M 速度都为速度都为0 0时系统总机械能和弹性势能都最大。时系统总机械能和弹性势能都最大。v1v2 2 2、如图所示，、如图所示，A A、B B、C C三物块质量均为三物块质量均为m m，置于光滑水平置于光滑水平面上。面上。B B、C C间间夹夹有原已完全压紧有原已完全压紧不能再压缩不能再压缩的弹簧，两物的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展。物块块用细绳相连，使弹簧不能伸展。物块A A以初速度以初速度v v沿沿B B、C C连线方向向连线方向向
54、B B运动，相碰后，运动，相碰后，A A与与B B、C C粘合在一起，然后连粘合在一起，然后连接接B B、C C的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C C与与A A、B B分离，脱离弹簧后分离，脱离弹簧后C C的速度为的速度为v v. .求弹簧所释放的势能求弹簧所释放的势能E.E.CV V0 0AB课堂练习课堂练习向右为正，对向右为正，对A A、B B、C C碰撞过程由系统动量碰撞过程由系统动量守恒：守恒： 析与解析与解CV V1 1ABmv0 =3mv1得得v1 =v0/3当弹簧恢复原长时，当弹簧恢复原长时，C C脱离弹簧，向右为正，对脱离弹簧
55、，向右为正，对A A、B B、C C全过程由系统动量守恒：全过程由系统动量守恒： mv0 =2mv2+ mv0 得得v2 =0对对A A、B B、C C碰撞以后的过程由机械能守恒：碰撞以后的过程由机械能守恒： 注意：注意：A A、B B碰撞过程有机械能损失！碰撞过程有机械能损失！ V V1 1 3 3、如图所示，、如图所示，A A、B B、C C三物块质量均为三物块质量均为m m，置于光滑水平置于光滑水平面上。面上。B B、C C用轻弹簧相用轻弹簧相连连处于静止状态。物块处于静止状态。物块A A以初速度以初速度v v沿沿B B、C C连线方向向连线方向向B B运动，相碰后，运动，相碰后，A A
56、与与B B粘合在一起。求：粘合在一起。求：（1 1）弹簧的最大弹性势能）弹簧的最大弹性势能EpEp. .（2 2）以后以后ABAB会不会向左运动？会不会向左运动？CV V0 0AB课堂练习课堂练习先分析先分析ABAB、C C的受力和运动情况：的受力和运动情况： 析与解析与解ABCV V1 1V V1 1V V2 2V V1 1FFV V2 2ABCABCV V1 1V V2 2ABCV V2 2V V1 1V V1 1V V2 2V V1 1 V V2 2 V V1 1 V V2 2 V V1 1V V2 2ABCFF小结：小结： （1 1）两物体速度相同时，弹簧最短（或最长），弹）两物体速度
57、相同时，弹簧最短（或最长），弹簧弹性势能最大，系统总动能最小。簧弹性势能最大，系统总动能最小。 （2 2）弹簧恢复原长时，两物体速度分别达到极限。）弹簧恢复原长时，两物体速度分别达到极限。（1 1）向右为正，对）向右为正，对A A、B B碰撞过程由动量守恒：碰撞过程由动量守恒： 析与解析与解mv0 =2mv1得得v1 =v0/2当当A A、B B、C C速度相同时，弹簧最短，弹性势能最大。速度相同时，弹簧最短，弹性势能最大。向右为正，对向右为正，对A A、B B、C C全过程由系统动量守恒：全过程由系统动量守恒： mv0 =3mv 得得v =v0/3对对A A、B B碰撞后到弹簧最短过程由机械
58、能守恒：碰撞后到弹簧最短过程由机械能守恒： 注意：注意：A A、B B碰撞过程有机械能损失！碰撞过程有机械能损失！ V V1 1FFV V2 2ABC（2 2）方法一：以向右为正，设某时）方法一：以向右为正，设某时ABAB的速度为的速度为v12v1而碰撞后系统总动能：而碰撞后系统总动能：2mv1 =mv2 得得v2 =2v1此时系统总动能：此时系统总动能：而碰撞后系统总动能：而碰撞后系统总动能：总机械能变大，则总机械能变大，则ABAB的速度不能为的速度不能为0 0，更不能为负，更不能为负（2 2）方法二：）方法二：弹簧恢复原长时，两物体速度达弹簧恢复原长时，两物体速度达到极限。求出这时两物体的
59、速度。到极限。求出这时两物体的速度。以向右为正，以向右为正，对系统由动量守恒：对系统由动量守恒： 2mv1 =2mv1+mv2 对系统由机械能守恒：对系统由机械能守恒：析与解析与解则则v1= v1 , v2=0（开始）开始）, 或或v1= v1 /30, v2=4v1 /30 (第一次恢复原长第一次恢复原长)当弹簧第一次恢复原长后当弹簧第一次恢复原长后,AB,AB的速度方向仍向右的速度方向仍向右, ,以以后将不可能向左后将不可能向左. . 4 4、光滑的水平轨道上，质量分别为、光滑的水平轨道上，质量分别为m m1 1=1Kg=1Kg和和m m2 2=2Kg=2Kg的小车的小车A A、B B用轻
60、弹簧连接静止，弹簧处于原长。现使用轻弹簧连接静止，弹簧处于原长。现使A A以速度以速度V V0 0=6 m/s=6 m/s沿沿轨道向右运动，求：轨道向右运动，求： （1 1）当弹簧第一次恢复原长时）当弹簧第一次恢复原长时A A和和B B的速度的速度（2 2）弹簧的最大弹性势能）弹簧的最大弹性势能ABV V0 0课堂练习课堂练习（1 1）以向右方向为正，对系统由动量守恒：）以向右方向为正，对系统由动量守恒： m1v0 =m1v1+m2v2 对系统由机械能守恒：对系统由机械能守恒：析与解析与解则则v1=6m/s, v2=0（开始）开始）, 或或v1=-2m/s, v2=4m/s （2 2）当）当A
61、 A、B B速度相同时，弹簧压缩（伸长）量最速度相同时，弹簧压缩（伸长）量最大，弹簧弹性势能最大。以向右方向为正，对系统大，弹簧弹性势能最大。以向右方向为正，对系统由动量守恒：由动量守恒： m1v0 =（m1+m2）v对系统由机械能守恒：对系统由机械能守恒： 则则v =2m/sABV V0 05 5、如图所示，光滑水平轨道上，质量分别为、如图所示，光滑水平轨道上，质量分别为m m1 1=2Kg=2Kg和和m m2 2=4Kg=4Kg小车小车A A、B B用轻弹簧连接将弹簧压缩后用细绳系在用轻弹簧连接将弹簧压缩后用细绳系在A A、B B上，然后使上，然后使A A、B B以速度以速度V V0 0=
62、6m/s=6m/s沿轨道向右运动，运动中沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到原长时，细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到原长时，A A的速度刚的速度刚好为好为0 0，求：，求：（1 1）被压缩的弹簧所具有的弹性势能）被压缩的弹簧所具有的弹性势能E Ep p（2 2）讨论在以后的运动过程中讨论在以后的运动过程中B B有没有速度为有没有速度为0 0的时刻的时刻ABV V0 0课堂练习课堂练习、图图中中，轻轻弹弹簧簧的的一一端端固固定定，另另一一端端与与滑滑块块B B相相连连，B B静静止止在在水水平平导导轨轨上上，弹弹簧簧处处在在原原长长状状态态。另另一一质质量量与与B B相相同同的
63、的滑滑块块A A，从从导导轨轨上上的的P P点点以以某某一一初初速速度度向向B B滑滑行行，当当A A滑滑过过距距离离l1 1时时，与与B B相相碰碰，碰碰撞撞时时间间极极短短，碰碰后后A A、B B紧紧贴贴在在一一起起运运动动，但但互互不不粘粘连连。已已知知最最后后A A恰恰好好返返回回出出发发点点P P并并停停止止。滑滑块块A A和和B B与与导导轨轨的的滑滑动动摩摩擦擦因因数数都都为为，运运动动过过程程中中弹弹簧簧最最大大形形变变量量为为l2 2 ，重重力力加加速速度度为为g g，求求A A从从P P出发时的初速度出发时的初速度v v0 0l2l1ABP例与练例与练l2l1ABP设设A
64、A、B B质量均为质量均为m,Am,A刚接触刚接触B B时速度为时速度为v v1 1（碰前）碰前）, ,对对A A碰前由动能定理：碰前由动能定理：设碰后设碰后A A、B B共同运动的速度为共同运动的速度为v v2 2 , ,向左为正，对向左为正，对A A、B B碰撞碰撞过程由动量守恒：过程由动量守恒：m v1 =2m v2 ( 2) 碰后碰后A A、B B先一起向左运动先一起向左运动, ,接着接着A A、B B一起被弹回一起被弹回, ,在弹簧恢复在弹簧恢复到原长时到原长时, ,设设A A、B B的共同速度为的共同速度为v v3 3，在这过程中，弹簧势能在这过程中，弹簧势能始末两态都为零，对始末
65、两态都为零，对A A、B B由动能定理：由动能定理：后后A A、B B分离，分离，A A单独向右滑到单独向右滑到P P点停下，对点停下，对A A由动能定理：由动能定理：由以上各式，解得：由以上各式，解得： 析与解析与解、两个小球、两个小球A A和和B B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P P，右右边有一小球边有一小球C C沿轨道以速度沿轨道以速度v v0 0 射向射向 B B球，如图所示。球，如图所示。C C与与B B发生发生碰撞并立即结成一个整体碰撞并立即结
66、成一个整体D D。在它们继续向左运动的过程中，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A A球与挡板球与挡板P P发生碰撞，碰后发生碰撞，碰后A A、D D都静止不动，都静止不动，A A与与P P接触而不接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除定均无机械粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除定均无机械能损失）。已知能损失）。已知A A、B B、C C三球的质量均为三球的质量均为m m。（1 1）求弹簧长度刚被锁定后求弹簧长度刚被锁定后A A球的速度。球的速度。（2 2）求在）求在A A
67、球离开挡板球离开挡板P P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。势能。v0BACP例与练例与练v0BACP（1 1）设）设C C球与球与B B球粘结成球粘结成D D时，时，D D的速度为的速度为v v1 1，由动量守恒，有由动量守恒，有 v1ADPmv0 =(m+m)v1 当弹簧压至最短时，当弹簧压至最短时，D D与与A A的速度相等，设此速度为的速度相等，设此速度为v v2 2 ，由动量守恒，有由动量守恒，有DAPv22mv1 =3m v2 由由、两式得两式得A A的速度的速度v v2 2= =v v0 0/3 /3 析与解析与解（2 2）设弹簧长度被锁定后，
68、贮存在弹簧中的势能）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为为E EP P ，由能量守恒，有由能量守恒，有撞击撞击P P后，后，A A与与D D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成复到自然长度时，势能全部转变成D D 的动能，设的动能，设D D的速度为的速度为v v3 3 ，则有则有当弹簧伸长，当弹簧伸长，A A球离开挡板球离开挡板P P，并获得速度。当并获得速度。当A A、D D的速度的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为v v4 4 ，由动量守由动量守恒，有恒，有2mv3=3mv4
69、当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为 ，由能，由能量守恒，有量守恒，有 解以上各式得解以上各式得析与解析与解、质质量量为为M=3kgM=3kg的的小小车车放放在在光光滑滑的的水水平平面面上上，物物块块A A和和B B的的质质量量为为m mA A= =m mB B=1kg=1kg，放放在在小小车车的的光光滑滑水水平平底底板板上上，物物块块A A和和小小车车右右侧侧壁壁用用一一根根轻轻弹弹簧簧连连接接起起来来，不不会会分分离离。物物块块A A和和B B并并排排靠靠在在一一起起，现现用用力力压压B B，并并保保持持小小车车静静止止，使使弹弹簧簧处处于于压压
70、缩缩状状态态，在在此此过过程程中中外外力力做做功功135J135J，如如右右图图所所示示。撤撤去去外外力力，当当B B和和A A分分开开后后，在在A A达达到到小小车车底底板板的的最最左左端端位位置之前，置之前，B B已从小车左端抛出。求已从小车左端抛出。求(1) B(1) B与与A A分离时分离时A A对对B B做了多少功做了多少功? ?(2) (2) 整个过程中，弹簧从压缩状态开始，各次恢复原长时，整个过程中，弹簧从压缩状态开始，各次恢复原长时，物块物块A A和小车的速度和小车的速度 MABmAmB例与练例与练MABmAmBE0=135J (1)(1) AB AB将分离时弹簧恢复原长将分离
71、时弹簧恢复原长, AB, AB的速度的速度为为V V0 0, ,小车速度为小车速度为V,V,对对A A、B B、M M系统，由动量系统，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：守恒定律和机械能守恒定律得：(mA+mB) V0 -MV=0(mA+mB) V0 2/2 + MV2/2 =E0即即 2 V0 -3V=0 V0 2+1.5V2 =135解得解得 V0 = 9m/s, V=6m/s WA对对B= mB V0 2/2 =40.5J 析与解析与解VvABM(2)B(2)B离开小车后，对小车和离开小车后，对小车和A A及弹簧系统由及弹簧系统由动量守恒定律和机械能守恒定律得（向右动量守恒定律和机械能守
72、恒定律得（向右为正）为正）mAv1+MV1=9mAv12 /2 + MV12/2 =E0 40.5即即 v1+3V1=9 v12+3V12 =189代入消元得代入消元得 2V12 9V1-18=0 解得解得 v1= 13.5m/s, V1=-1.5m/s 或或v1= -9m/s, V1=6m/s所所以以 B B与与A A分分离离时时A A对对B B做做了了多多少少功功40.5J 40.5J (2)(2)弹弹簧簧将将伸伸长长时时小小车车 和和A A 的速度分别为的速度分别为9m/s, 6m/s9m/s, 6m/s；将压缩时为将压缩时为13.5m/s, 1.5m/s13.5m/s, 1.5m/s析
73、与解析与解、如如下下图图所所示示，在在水水平平光光滑滑桌桌面面上上放放一一质质量量为为M M的的玩玩具具小小车车。在在小小车车的的平平台台（小小车车的的一一部部分分）上上有有一一质质量量可可以以忽忽略略的的弹弹簧簧，一一端端固固定定在在平平台台上上，另另一一端端用用质质量量为为m m的的小小球球将将弹弹簧簧压压缩缩一一定定距距离离用用细细线线捆捆住住。用用手手将将小小车车固固定定在在桌桌面面上上，然然后后烧烧断断细细线线，小小球球就就被被弹弹出出，落落在在车车上上A A点点，OA=sOA=s，如如果果小小车车不不固固定定而而烧烧断断细细线线，球球将将落落在在车车上上何何处处？设小车足够长，球不
74、至落在车外。？设小车足够长，球不至落在车外。AsO例与练例与练当当小小车车固固定定不不动动时时：设设平平台台高高h h、小小球球弹弹出出时的速度大小为时的速度大小为v v，则由平抛运动可知则由平抛运动可知v2 = gs2/2h （1）当小车不固定时：设小球弹出时相对于地面的速当小车不固定时：设小球弹出时相对于地面的速度大小为度大小为v v ，车速的大小为车速的大小为V V，由动量守恒：由动量守恒： m mv v =MV =MV （2 2）因为两次的总动能是相同的，所以有因为两次的总动能是相同的，所以有 析与解析与解s=s=v vt t设小球相对于小车的速度大小为设小球相对于小车的速度大小为vv
75、，则则 设小球落在车上设小球落在车上A A 处，处，由平抛运动可知：由平抛运动可知： 由（由（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）解得：）解得：析与解析与解、直立的轻弹簧的下端固定在地面上，上端位于、直立的轻弹簧的下端固定在地面上，上端位于O O点。点。将质量为将质量为m m的钢板与弹簧的上端连接，平衡时，弹簧的压的钢板与弹簧的上端连接，平衡时，弹簧的压缩量为缩量为x x0 0，如图。一物块从钢板的正上方距离为如图。一物块从钢板的正上方距离为3x3x0 0的的A A处处自由落下，打在钢板上并立即与钢板一起向下运动，但自由落下，打在钢板上并立即与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点
76、后又向上运动。若物块的质量不粘连。它们到达最低点后又向上运动。若物块的质量也为也为m m时，它们恰好回到时，它们恰好回到O O点。若物块质量为点。若物块质量为2m2m，仍从仍从A A点点自由落下，则物块与钢板回到自由落下，则物块与钢板回到O O点时，还具有向上的速度。点时，还具有向上的速度。求物块质量为求物块质量为2m2m时向上运动到最高点与时向上运动到最高点与O O点的距离。点的距离。 思考题思考题解决对多对象多过程的动量和能量问题的基本方法和思路：解决对多对象多过程的动量和能量问题的基本方法和思路：（1 1）首首先先考考虑虑全全对对象象全全过过程程动动量量是是否否守守恒恒，如如果果守守恒恒
77、则则对全对象全过程用动量守恒定律。对全对象全过程用动量守恒定律。（2 2）如如果果全全对对象象全全过过程程动动量量不不守守恒恒，再再考考虑虑对对全全对对象象全全过程用动量定理。过程用动量定理。要求每次系统动量变化要相同要求每次系统动量变化要相同。（3 3）如如果果每每次次系系统统动动量量变变化化不不相相同同。不不能能对对全全对对象象全全过过程用动量定理，则考虑用列举法。程用动量定理，则考虑用列举法。（4 4）如果用列举法不能列尽，则再考虑用归纳法。）如果用列举法不能列尽，则再考虑用归纳法。七、多对象多过程的动量和能量七、多对象多过程的动量和能量 、人人和和冰冰车车的的总总质质量量为为M M，人
78、人坐坐在在静静止止于于光光滑滑水水平平冰冰面面的的冰冰车车上上，以以相相对对地地的的速速率率v v 将将一一质质量量为为m m 的的木木球球沿沿冰冰面面推推向向正正前前方方的的竖竖直直固固定定挡挡板板。设设球球与与挡挡板板碰碰撞撞时时无无机机械械能能损损失失，碰碰撞撞后后球球以以速速率率v v反反弹弹回回来来。人人接接住住球球后后，再再以以同同样样的的相相对对于于地地的的速速率率v v 将将木木球球沿沿冰冰面面推推向向正正前前方方的的挡挡板板。已知已知M M：m=31m=31：2 2，求：求：（1 1）人第二次推出球后，冰车和人的速度大小。）人第二次推出球后，冰车和人的速度大小。（2 2）人推
79、球多少次后不能再接到球？）人推球多少次后不能再接到球？例与练例与练每每次次推推球球时时，对对冰冰车车、人人和和木木球球组组成成的的系系统统，动动量量守守恒恒，设设人人和和冰冰车车速速度度方方向向为为正正方方向向，每每次次推推球球后后人和冰车的速度分别为人和冰车的速度分别为v v1 1、v v2 2，则第一次推球后：则第一次推球后：MvMv1 1mvmv=0 =0 第一次接球后：（第一次接球后：（M M m m ）V V1 1= Mv= Mv1 1 + + mvmv 第二次推球后：第二次推球后： MvMv2 2mvmv = = （M M m m ）V V1 1 三式相加得三式相加得 MvMv2
80、2 = 3mv = 3mv vv2 2=3mv/M=6v/31=3mv/M=6v/31以此类推，第以此类推，第N N次推球后，人和冰车的速度次推球后，人和冰车的速度 v vN N=(2N=(2N1)mv/M1)mv/M当当v vN Nv v时，不再能接到球，即时，不再能接到球，即2N2N1 1M/m=31/2 NM/m=31/2 N8.258.25人推球人推球9 9次后不能再接到球次后不能再接到球析与解析与解、如图所示，一排人站在沿、如图所示，一排人站在沿x x 轴的水平轨道旁，原点轴的水平轨道旁，原点0 0两两侧的人的序号都记为侧的人的序号都记为n(n=1n(n=1，2 2，3 3) )。每
81、人只有一个沙袋，每人只有一个沙袋，x0x0一侧的每个沙袋质量为一侧的每个沙袋质量为m=14m=14千克，千克，x0x0x0的一侧：的一侧：第第1人扔袋：人扔袋：Mv0m2v0=(Mm)v1，第第2人扔袋：人扔袋：(Mm)v1m22v1 =(M2m)v2，第第n人扔袋：人扔袋：M(n1)mvn 1 m2nvn 1=(m+nm)vn要使车反向要使车反向,则要则要Vn0即：即：M(n1)m2nm0n=2.4，取整数即车上堆积有取整数即车上堆积有n=3n=3个沙袋时车将开始反向个沙袋时车将开始反向( (向左向左) )滑行。滑行。析与解析与解(2)(2)只只要要小小车车仍仍有有速速度度，都都将将会会有有
82、人人扔扔沙沙袋袋到到车车上上，因此到最后小车速度一定为零，在因此到最后小车速度一定为零，在x0x0的一侧：的一侧： 经负侧第经负侧第1 1人：人：(M3m)v3 m 2v3=(M3m+m)v ，经负侧第经负侧第2 2人：人：(M3mm)v4m 4v4=(M3m2 m )v5 经负侧第经负侧第n n 人人( (最后一次最后一次) )： MM3m3m(n(n 1)mv1)mvn n 1 1m 2n vm 2n vnn 1 1 =0=0n = 8 故车上最终共有故车上最终共有N=nN=nn n =3=38=11(8=11(个沙袋个沙袋) )3120123x、如如图图质质量量为为m=2kgm=2kg的
83、的平平板板车车( (车车身身足足够够长长) )的的左左端端放放一一质质量量为为M=3 M=3 kgkg的的铁铁块块, ,它它和和车车间间的的动动摩摩擦擦因因数数 =0.5.=0.5.开开始始时时, ,车车和和铁铁块块以以速速度度v vo o=3m/s=3m/s的的速速度度向向右右运运动动, ,与与墙墙碰碰撞撞, ,时间极短时间极短, ,且无机械能损失且无机械能损失. .求求: :车与墙第一次碰后车与墙第一次碰后, ,小车右端与墙的最大距离小车右端与墙的最大距离? ?车与墙第二次碰撞前车与墙第二次碰撞前, ,车和铁块的速度车和铁块的速度? ?铁铁块块最最终终距距车车的的左左端端多多远远?(?(车
84、车身身至至少少要要多多长长, ,铁铁块块才才不不会会从车上滑下从车上滑下?) ?) 例与练例与练(1)(1)车车从从第第一一次次碰碰到到速速度度为为零零时时( (此此时时铁铁块块速速度度仍仍向向右右),),距右端的距离最大距右端的距离最大. .对车用动能定理对车用动能定理: : (2)(2)如果车在与墙第二次碰前仍未与铁块相对静止如果车在与墙第二次碰前仍未与铁块相对静止, ,则车碰则车碰前的速度一定为前的速度一定为3m/s.3m/s.由系统在水平方向上动量守恒由系统在水平方向上动量守恒: : 可知可知, , 车在与墙第二次碰前车与铁块已相对静止以车在与墙第二次碰前车与铁块已相对静止以v v1
85、1=0.6m/s=0.6m/s速度运动速度运动。(3)(3)最后车与铁块一起静止在墙角最后车与铁块一起静止在墙角, ,对全过程对全过程, ,由能量守恒由能量守恒: : 即板至少要即板至少要1.5 m1.5 m铁块才不会从车上滑下铁块才不会从车上滑下析与解析与解、一一块块足足够够长长的的木木板板，放放在在光光滑滑水水平平面面上上，在在木木板板上上自自左左向向右右放放有有序序号号是是1 1，2 2，3 3，n n的的物物块块，所所有有物物块块的的质质量量均均为为m m，与与木木板板间间的的摩摩擦擦因因素素都都相相同同，开开始始时时，木木板板静静止止不不动动，第第1 1，2 2，3 3，n n号号物
86、物块块的的初初速速度度分分别别是是v v0 0，2 2 v v0 0，3 3 v v0 0，nvnv0 0，方方向向都都向向右右，木木板板的的质质量量木木块块的的总总质质量量相相等等，最最终终所所有有的的物物块块与与木木板板以以共共同同速速度度匀匀速速运运动动，设物块之间均无相互碰撞，木板足够长。试求：设物块之间均无相互碰撞，木板足够长。试求：（1 1）所有物块与木板一起匀速运动的速度）所有物块与木板一起匀速运动的速度v vn n （2 2）第）第1 1号物块与木板刚好相对静止时的速度号物块与木板刚好相对静止时的速度v v1 1（3 3）通通过过分分析析和和计计算算说说明明第第k k号号（k
87、kn n）物物块块的的最最小小速速度度v vk k 例与练例与练(1)(1)对所有木块和木板全过程由动量守恒对所有木块和木板全过程由动量守恒: : 析与解析与解 (2)(2)方法一方法一：第：第1 1号木块与木板刚好相对静止时，第号木块与木板刚好相对静止时，第1 1号木块与木板的速度都为号木块与木板的速度都为V V1 1所有木块动量减少为所有木块动量减少为nmnm（V V0 0-V-V1 1）, ,木板动量增加为木板动量增加为 nmVnmV1 1对所有木块和木板由动量守恒对所有木块和木板由动量守恒nmnm（V V0 0-V-V1 1）=nmV=nmV1 1动量守恒定律也可用动量变化的形式：动量
88、守恒定律也可用动量变化的形式： (2)(2)方法二方法二：第：第1 1号木块与木板刚好相对静止时，此时第号木块与木板刚好相对静止时，此时第1 1号木块与木板的速度都为号木块与木板的速度都为V V1 1 ，此时此时析与解析与解第第2 2号木块的速度为号木块的速度为2V2V0 0- -（V V0 0-V-V1 1）= V= V0 0+V+V1 1 ，第第3 3号木块的速度为号木块的速度为3V3V0 0- -（V V0 0-V-V1 1）= 2V= 2V0 0+V+V1 1 ，以此类推，第以此类推，第n n号木块的速度为号木块的速度为nVnV0 0- -（V V0 0-V-V1 1）= (n-1)V
89、= (n-1)V0 0+V+V1 1 对所有木块和木板由动量守恒对所有木块和木板由动量守恒: : 实际上，第实际上，第2 2、3 3n n号木块的速度比第号木块的速度比第1 1号木块速度分别大号木块速度分别大V V0 0、2V2V0 0 (n-1)V(n-1)V0 0 (3)(3) 第第k k号木块先是在木板上减速，当速度与木板的号木块先是在木板上减速，当速度与木板的速度相同后又将随木板加速。则当它相对于木板静止速度相同后又将随木板加速。则当它相对于木板静止时速度最小，设此时第时速度最小，设此时第k k号木块与木板速度为号木块与木板速度为V Vk k析与解析与解第第k+1k+1号木块的速度为号
90、木块的速度为V V0 0+V+Vk k ，第第k+2k+2号木块的速度为号木块的速度为2V2V0 0+V+Vk k ，以此类推，第以此类推，第n n号木块的速度为号木块的速度为 (n-k)V(n-k)V0 0+V+Vk k 对所有木块和木板由动量守恒对所有木块和木板由动量守恒: : 此时第此时第1 1号、第号、第2 2号、第号、第k-1k-1号木块速度都为号木块速度都为V Vk k、光滑水平面的一直线上，排列着一系列可视为质点、光滑水平面的一直线上，排列着一系列可视为质点的完全相同质量为的完全相同质量为m m的物体，分别用的物体，分别用1 1，2 2，3 3，标记，标记，如图所示。在如图所示。
91、在1 1之前，放一质量为之前，放一质量为M=4mM=4m的可视为质点的物的可视为质点的物体体A A，它们相邻间的距离均为它们相邻间的距离均为L L。现在，在所在物体都静现在，在所在物体都静止的情况下，用一水平恒力止的情况下，用一水平恒力F F推物体推物体A A，从而发生一系列从而发生一系列碰撞，设每次碰撞后物体都粘在一起运动。问：碰撞，设每次碰撞后物体都粘在一起运动。问： （1 1）当运动物体与第）当运动物体与第3 3个物体碰撞前的瞬间，其速度个物体碰撞前的瞬间，其速度是多少？是多少？ （2 2）当运动物体与第几个物体碰撞前的瞬间，运动物）当运动物体与第几个物体碰撞前的瞬间，运动物体会达到在整
92、个运动过程中的最大速度，此速度是多少体会达到在整个运动过程中的最大速度，此速度是多少？从开始运动到最大速度经历了多长时间？从开始运动到最大速度经历了多长时间？ 例与练例与练电电学学实实验验器器材材选选用用原原则则指选用的实验器件要能保证实验的正常进行。指选用的实验器件要能保证实验的正常进行。如如-线路中的限流电阻必须满足要求，线路中的限流电阻必须满足要求，确保电流不能超过允许值；确保电流不能超过允许值；通过安培表的电流或加在伏特表上的电压均不通过安培表的电流或加在伏特表上的电压均不能超过它们的使用量程；能超过它们的使用量程；通过电源、滑动变阻器的电流不能超过额定值。通过电源、滑动变阻器的电流不
93、能超过额定值。所有的器件都必须符合实验要求。所有的器件都必须符合实验要求。 1、可行、可行,即够用即够用是指选用的实验器件要考虑尽可能减小实验是指选用的实验器件要考虑尽可能减小实验误差。误差。如如-如果实验原理不考虑电源和安培表如果实验原理不考虑电源和安培表的内阻及伏特表的分流作用时，就必须选用的内阻及伏特表的分流作用时，就必须选用内阻小的电源和安培表及内阻大的伏特表；内阻小的电源和安培表及内阻大的伏特表；2、精确、精确 安培表、伏特表在使用时，要用尽可能使指针安培表、伏特表在使用时，要用尽可能使指针接近满刻度的量程接近满刻度的量程，因为这样可以减小读数的，因为这样可以减小读数的误差；误差；使
94、用欧姆表时宜选用使指针尽可能指在使用欧姆表时宜选用使指针尽可能指在中间刻中间刻度附近度附近的倍率档位；因为高阻值区的刻度较密，的倍率档位；因为高阻值区的刻度较密，电阻值不易读准，误差大，而接近零欧姆处虽电阻值不易读准，误差大，而接近零欧姆处虽然刻度较稀，读数误差小，但乘上相应的大倍然刻度较稀，读数误差小，但乘上相应的大倍率，误差同样会变大。率，误差同样会变大。 2、精确、精确指选用的实验器件要便于操作。指选用的实验器件要便于操作。如如-对于那种高限值滑动变阻器，尽管对于那种高限值滑动变阻器，尽管其额定电流值满足要求，但如果在实验中实其额定电流值满足要求，但如果在实验中实际使用时只用到其中很少一部分，不便于操际使用时只用到其中很少一部分，不便于操作，就不宜采用。作，就不宜采用。 3、方便、方便
