清华大学物理力学第3章动量与角动量ppt课件

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1、1 第第三三章章 动动量量与与角角动动量量 2往往关往往关怀过程中力的效果：程中力的效果：力力对时间和空和空间的的积累效累效应。力在力在时间上的上的积累效累效应：平平动 冲量冲量 动动量改量改动动转动 冲量矩冲量矩 角角动动量改量改动动力在空力在空间上的上的积累效累效应功功 能量改能量改动动牛牛顿定律是瞬定律是瞬时的的规律。律。在有些在有些问题如宏如宏观的碰撞、微的碰撞、微观的散射中，的散射中，33.1 冲量、冲量、动动量、量、质质点点动动量定理量定理3.2 质质点系点系动动量定理量定理 3.3 动动量守恒定律量守恒定律3.4 蜕变蜕变量系量系统统、火箭、火箭飞飞行原理行原理3.5 质质心心3

2、.6 质质心运心运动动定理定理3.7 质质点的角点的角动动量量3.8 角角动动量守恒定律量守恒定律3.9 质质点系的角点系的角动动量量3.10 质质心系中的角心系中的角动动量定理量定理第三章第三章 动量与角动量动量与角动量 43.1 冲量、冲量、动动量、量、质质点点动动量定理量定理定定义：力的冲量力的冲量 质点点动量量 质点点动量定理量定理微分方式微分方式积分方式分方式5平均冲力平均冲力 求：篮球对地的平均冲力求：篮球对地的平均冲力解：解：篮球到达地面的速率球到达地面的速率【TV】冲力演示】冲力演示Ft0 t【例】【例】质质量量为为 m = 0.58kg 的的篮篮球从球从 h = 2m 的的

3、高度下落，到达地面后以同高度下落，到达地面后以同样样速率反速率反弹弹，触，触 地地时间时间 t = 0.019s 。83.2 质质点系点系动动量定理量定理 ：质点：质点 i 受的合外力受的合外力：质点：质点 j 对对 i 的内力的内力：质点：质点 i 的动量的动量对质点点 i ：对质点系：点系：由牛由牛顿III定律有：定律有：i j质点系质点系9所以有：所以有：令令得：得：或或质点系动量定理质点系动量定理微分方式微分方式 质质点系点系动动量定理量定理 积积分方式分方式 用用质点系点系动量定理量定理处置置问题可避开内力。可避开内力。系系统总动量由外力的冲量决量由外力的冲量决议，与内力无关。，与内

4、力无关。103.3 动动量守恒定律量守恒定律 质质点系的点系的动动量守恒定律。量守恒定律。 几点几点阐阐明：明：质点系所受合外力点系所受合外力为零零时，质点系的点系的总动量量不随不随时间改改动3. 动动量假量假设设在某一在某一惯惯性系中守恒，那么在其性系中守恒，那么在其它一它一 切切惯惯性系中均守恒。性系中均守恒。1. 动动量守恒定律是牛量守恒定律是牛顿顿第三定律的必然推第三定律的必然推论论。2. 动动量定理及量定理及动动量守恒定律只适用于量守恒定律只适用于惯惯性系。性系。114. 假假设设某某个个方方向向上上合合外外力力为为零零，那那么么该该方方向向上上动动 量守恒，量守恒，虽虽然然总动总动

5、量能量能够够并不守恒。并不守恒。5. 当外力当外力 内力且作用内力且作用时间时间极短极短时时 如碰如碰 撞撞 ，可以，可以为动为动量近似守恒。量近似守恒。6. 动动量守恒定律是比牛量守恒定律是比牛顿顿定律更普遍、更基定律更普遍、更基 本的定律，它在宏本的定律，它在宏观观和微和微观领观领域均适用。域均适用。7. 用守恒定律作用守恒定律作题题，应应留意分析留意分析过过程、系程、系统统 和条件。和条件。 12 粘附粘附 主体的主体的质质量添加量添加 如如滚滚雪球雪球 低速低速v c情况下的两情况下的两类蜕变量量问题：下面以火箭下面以火箭飞行行为例，例，讨论蜕变量量问题。3.4 蜕变蜕变量系量系统统、

6、火箭、火箭飞飞行原理行原理 这属于相属于相对论质量量问题，此此处不不讨论。度改度改动 m = m(v)，还有一有一类蜕变量量问题是是发生在生在v c的情况下，的情况下，这时即使没有粘附和抛射，即使没有粘附和抛射， 抛射抛射 主体的主体的质质量减少量减少 如火箭如火箭发发射射 质量也可以随速量也可以随速13条件：燃料相条件：燃料相对箭体以恒速箭体以恒速 u 喷出出t 时时辰：辰： 一一. 火箭不受外力情形火箭不受外力情形 在自在空在自在空间飞间飞行行 1. 火箭的速度火箭的速度系系统：火箭壳体：火箭壳体 + 尚存燃料尚存燃料参考系：地面参考系：地面先分析一微先分析一微过程：程： t t + dt

7、t + dt 时时辰：辰：喷出燃料出燃料质量量 dm = dM喷出燃料速度出燃料速度 v u系系统质量量 M，速度，速度v ，动量量 Mv14剩余系剩余系统质量量 M dm = M + dM剩余系剩余系统速度速度 v + dv由由动量守恒有：量守恒有： 略去略去2阶小量得：小量得：Mdv = udM速度公式速度公式 t + dt 时时辰：辰：Mv = (M + dM)(v + dv) dM(v u) 15引入火箭引入火箭质量比：量比：得到得到提高提高 vf 的途径：的途径： 为有效提高有效提高 N，采用多，采用多级火箭，如火箭，如2、3级：v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln

8、N3(1) 提高提高 u 现现可达可达 u = 4.1 km/s (2) 增大增大 N 单级单级火箭火箭N 提得很高不合算提得很高不合算 16t + dt时时辰：辰：由由动量定理，量定理，dt 内内喷出气体所受冲量出气体所受冲量满足足 2. 火箭所受的反推力火箭所受的反推力研研讨对象：象：喷出气体出气体 dmt 时时辰：辰：速度速度v即主体速度，即主体速度，动量量 vdm F箭箭对对气气dt = dm(v u) vdm由此得火箭所受燃气的反推力由此得火箭所受燃气的反推力为= F气气对对箭箭dt速度速度 v u， 动量量 dm(v u)17二二. 重力场中的火箭发射重力场中的火箭发射 可得可得

9、t 时辰火箭的速度本人推导：时辰火箭的速度本人推导： 忽略地面附近重力加速度忽略地面附近重力加速度 g 的变化，的变化， Mt ： t 时辰火箭壳和尚存燃料的质量18一一. 质心的概念心的概念定定义质点系的点系的质心心 C 的位矢：的位矢：质心位置是心位置是质点位置以点位置以质量量为权重的平均重的平均值。3.5 质质心心mizyx0C19二二. 几种系几种系统的的质心心 两两质质点系点系统统 m1 r1 = m2 r2 延延续续体体m2m1r1r2CdmC0m zx y20R O rdx y O “小小线线度物体的度物体的质质心和重心重合心和重心重合 均匀杆、均匀杆、圆盘圆盘、环环、球的几何中

10、心是、球的几何中心是质质心心【例】如【例】如图图，求挖掉小，求挖掉小圆盘圆盘后系后系统质统质心坐心坐标标。 O rd由由对称性分析，称性分析，质心心 C 应在在 x 轴上。上。解：解：令令 为质量面密度，量面密度， CxC213.6 质质心运心运动动定理定理一一. 质心运心运动定理定理质点系的点系的总动量量 是是质点系点系“平均速度平均速度mizyx0C22由由 质质心运心运动动定理定理得得拉力拉力纸纸C球向哪球向哪边挪挪动？质心运心运动：像一个：像一个质点的运点的运动，该质点位于点位于 质心心处，且集中了整个，且集中了整个质点系的点系的 质量和所受外力。量和所受外力。【思索】【思索】通常所通

11、常所谓“物体的运物体的运动，实践上就是物体践上就是物体质心的运心的运动。23系系统内力不会影响内力不会影响质心的运心的运动： 运发动虽在空中翻转，质心仍做抛体运动。运发动虽在空中翻转，质心仍做抛体运动。 光滑程度面上滑动的扳手，质心做匀速光滑程度面上滑动的扳手，质心做匀速 直线运动。直线运动。24 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍 做抛物线运动。做抛物线运动。【TV】质心运动】质心运动1 质心运动质心运动2质心运动质心运动【演示】【演示】25假假设合外力合外力为零，零，二二. 动量守恒与量守恒与质心的运心的运动质点系点系动量守恒量守恒假假设合外力分量合外

12、力分量为零，零，质点系分点系分动量守恒量守恒质点系点系动量守恒和量守恒和质心匀速运心匀速运动等价！等价！那那么么那那么么质心相心相应分速度不分速度不变例如：例如：26质心系：运心系：运动速度等于速度等于质心速度的平心速度的平动 参考系。参考系。质心系不一定是心系不一定是惯性系，假性系，假设质心有加速度，心有加速度，那么那么质心系是平心系是平动非非惯性系。性系。质点系的复点系的复杂运运动可看成以下运可看成以下运动的的组合：合：这由由质心运心运动定理决定理决议。1. 质质点系整体随点系整体随质质心的平心的平动动：2. 各各质质点相点相对对于于质质心的运心的运动动： 三三. 质心系心系这需求在需求在

13、质心系中心系中调查质点系的运点系的运动。27质心系的重要特征：零心系的重要特征：零动量参考系量参考系即在即在质心系中，心系中，质点系的点系的总动量量为零。零。 是质点相对质心系的速度，是质点相对质心系的速度， 是质心系中质心的速度，等于零。是质心系中质心的速度，等于零。证：两两质点系点系统在其在其质心系中，心系中，总具有等具有等值、反向的、反向的动量。量。28解：解：【例】如图绳的线密度为【例】如图绳的线密度为 ，求：求： 1v 恒定，恒定，F = ?2a 恒定，恒定，F = ?aF y y软绳软绳v此此题可用可用蜕变量量问题或或动量定理求解，量定理求解，这里用里用质心运心运动定理求解。定理求

14、解。设绳长 l ，质心坐心坐标： y0y yC291v 恒定，恒定， 2a 恒定，恒定， 质心受力：心受力：支持力支持力拉力拉力F， 重力重力 lg ， (l-y)g为何？何？ y0y lgF (l-y)g yC根据根据质心运心运动定理有：定理有：30 一一. 角角动量的定量的定义 质点 m 对参考点 O的角的角动量定量定义为：单位：位：kg m2/s大小：大小：方向：方向：决议的平面右螺旋决议的平面右螺旋垂直于垂直于 留意：参考点O 是参考系内一固定点。3.7 质质点的角点的角动动量量mO31质点作匀速率点作匀速率圆周运周运动时，对圆心的角心的角动量的大小量的大小为：方向方向 圆面不面不变。

15、L = mvR，留意：参考点留意：参考点选择不同，角不同，角动量普通也不同，量普通也不同， 对角角动量必需明确参考点。量必需明确参考点。方向方向变化化方向方向竖直向上不直向上不变OlO 锥摆锥摆mmO32二二. 质点的角点的角动量定理、力矩量定理、力矩由由有有定定义力力对参考点参考点 O 的力矩：的力矩：称称为力臂力臂 是相对参考点是相对参考点 O 的位矢的位矢 mOr033 质质点角点角动动量定理量定理 微分方式微分方式 质质点角点角动动量定理量定理 积积分方式分方式 称称为冲量矩冲量矩 力矩力矩对时间对时间的的积积累作用累作用34【例】【例】锥摆锥摆的角的角动动量量对 O 点：点：合力矩不

16、合力矩不为零，角零，角动量量变化。化。对O 点：点：合力矩合力矩为零，角零，角动量大小、方向都不量大小、方向都不变。合力不合力不为零，零，动量改量改动！OlO 锥摆锥摆m35zMzr sin 三三. 质点点对定定轴的角的角动量定理量定理 1. 力力对轴对轴的力矩的力矩把把对O点的力矩向点的力矩向过O点的点的轴如如 z 轴投影：投影： 力力对轴对轴的力矩的力矩O 平面平面 z 轴轴362. 质质点点对轴对轴的角的角动动量量 质质点点对轴对轴的角的角动动量量3. 质质点点对对定定轴轴的角的角动动量定理量定理 质质点点对对定定轴轴的角的角动动量定理量定理 是固定方向是固定方向zLzr sin O 平

17、面平面 z 轴轴37质点角点角动量守恒定律：量守恒定律： 3.8 角角动动量守恒定律量守恒定律 经过参考点经过参考点 O，如有心力场，如有心力场的条件的条件 质质点点对轴对轴的角的角 动动量守恒定律量守恒定律角角动量守恒定律是物理学的根本定律之一。量守恒定律是物理学的根本定律之一。 假假设合力力矩合力力矩为零，那么零，那么质点角点角动量守恒。量守恒。38【讨论讨论】开普勒第二定律】开普勒第二定律质点在有心力作用下运动质点在有心力作用下运动离心节速器离心节速器【演示】【演示】1L = mvrsin = 常量常量2轨道在同一平面内道在同一平面内 S m有心力有心力O由于由于 经过经过 O 点：点：

18、掠面速度：掠面速度：rvF39【讨论讨论】 星云的星云的盘盘状构造状构造旋旋转转的的星星云云pc 秒差距，秒差距，1pc = 3.0861016m40 星球所需向心力：星球所需向心力：星球具有原始角星球具有原始角动量量但当但当 时，时，定性解定性解释：引力使引力使 r 减小，减小， r 就不就不变变了。了。在在 z 轴方向无此限制，可在引力下不断收方向无此限制，可在引力下不断收缩。引力可近似引力可近似为：vrr0v0zm413.9 质质点系的角点系的角动动量量 质质点系的角点系的角动动量量本人本人证42质点系角点系角动量守恒定律：假量守恒定律：假设外力矩的矢量和外力矩的矢量和为零，那么零，那么

19、质点系点系总角角动量守恒。量守恒。质点系角点系角动量和量和动量守恒相互独立量守恒相互独立吗？ 质质点系角点系角动动量定理量定理于是有：于是有：留意：一切留意：一切 和和 都是对同一参考点而言！都是对同一参考点而言！假假设外力矩的矢量和沿某一方向的分量外力矩的矢量和沿某一方向的分量为零，零，那么那么质点系点系总角角动量沿量沿该方向的分量守恒。方向的分量守恒。【思索】【思索】 43【例【例1】一一长为l 的的轻质杆端部固杆端部固结一小球一小球 m1 ，碰碰时重力和重力和轴力力经过 O ，解：解：选 m1含杆含杆+ m2为系系统另一小球另一小球m2以程度速度以程度速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部

20、并与杆粘合。求：碰撞后杆的角速度求：碰撞后杆的角速度 角角动量守恒：量守恒：lm1Ov0m2 解得：解得：m1+m2 的程度的程度动量能否守恒？量能否守恒？【思索】【思索】 44解：解：选 m1、m2、m3 为系系统，求：碰后求：碰后m1, m2, m3 速度，速度，m1和和m2的的质心速度心速度 【例【例2】光滑程度面上，】光滑程度面上，m1, m2 用长为用长为l 的轻杆连结，静止放的轻杆连结，静止放置，置，m3 以速度以速度 v0 垂直射向杆垂直射向杆中心中心 O，发生弹性碰撞。，发生弹性碰撞。Ov0m3m1m2C程度方向不受外力程度方向不受外力程度方向程度方向动量守恒量守恒弹性碰撞：性

21、碰撞：动能守恒能守恒设碰后碰后m1、m2、m3 的速度分的速度分别为v1、v2、v3垂直程度方向角垂直程度方向角动量守恒量守恒45动量守恒：量守恒：动能守恒：能守恒：角角动量守恒：量守恒：选与与 O 点重合的定点，点重合的定点，规定垂直定垂直页面向外面向外为正：正：假假设选与与质心心 C 重合的定点有：重合的定点有：v2Ov0m3m1m2Cv1v3 46v2Ov0m3m1m2Cv1v3解得：解得：假假设 m1 m2，v1 v2 ，碰后杆、，碰后杆、m1、m2系系统既平既平动又又转动角速度会求角速度会求吗？。？。47设 O 是是 S 系内一固定点，系内一固定点，在在 S 系中，系中，质点系点系对

22、 O 点的角点的角动量量为：3.10 质质心系中的角心系中的角动动量定理量定理一一. 质心系中的角心系中的角动量量 在在质心系中，心系中，质点系点系对质心心 C 的角的角动量量为：在在 S 系中，系中，质心心 C 对 O 点的角点的角动量量为：S C y x O zmi48利用关系：利用关系：可可证明明二二. 质点系点系对质心的角心的角动量定理量定理留意：留意： 是相对固定点是相对固定点 O 的矢量，的矢量， 是相对质心是相对质心 C 的矢量。的矢量。S C y x O zmi49 质质心系中心系中质质点系点系对对 质质心的角心的角动动量定理量定理所以所以50在在质心系中，心系中，质点系角点系

23、角动量定理成立，与量定理成立，与质心系能否是心系能否是惯性系无关。性系无关。由于假由于假设质心系是非心系是非惯性系，那么性系，那么惯性力性力对质心心的力矩的力矩为零：零：设质心加速度为设质心加速度为 那么有那么有假假设把把质点系在瞬点系在瞬间看成一整体，各看成一整体，各质点所受重力点所受重力对质心的力矩和等于什么？心的力矩和等于什么？【思索】【思索】 由此可知由此可知惯性力性力对质心的力矩心的力矩为零。零。51小小结：动量与角量与角动量的比量的比较角角动量量矢量矢量必需指定参考点必需指定参考点与内力矩无关与内力矩无关守恒条件守恒条件动量量矢量矢量与内力无关与内力无关守恒条件守恒条件无需指定参考点无需指定参考点52冲量冲量 impulse动量量 momentum动量守恒定律量守恒定律 law of conservation of momentum质心心 center of mass质心系心系 frame of center of mass角角动量量 angular momentum力矩力矩 moment of force中英文称号对照表中英文称号对照表 第三章终了第三章终了