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1、数列极限的性质数列极限的性质定理定理1 1 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证明证明例例1 在数列在数列 xn 中任意抽取无限多项并保持这些项在中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：定理定理2 2若数列若数列xn 收敛于收敛于a ，则它的任一子数列，则它的任一子数列也收敛，且极限也是也收敛，且极限也是a 这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛于不同的有两个子数列收敛于不同的极限值，
2、则极限值，则xn一定是发散的。一定是发散的。例例2对于数列对于数列xn， 例如例如,有界有界无界无界定义定义 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .证明：证明：定理定理3若若定理定理4，则存在正整数，则存在正整数当当 时，有时，有 推论推论对一切正整数对一切正整数 ，且且，则，则若若 ，定理定理5，则，则1）2）3）4）例例3定理定理6设设是非空有上界数集是非空有上界数集 ，且且推论推论设设是非空有界集是非空有界集 ，则，则存在互不相同的数列，存在互不相同的数列，使得使得小结小结收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性，唯一性，保号性等有界性，唯一性，保号性等练练 习习 题题
