多元函数微分学的几何应用

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1、 第八章第八章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面法平面.置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限位点法式可建立曲线的法平面方程利用点向式可建立曲线的切线方程 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况设

2、空间曲线 的参数方程为：(1)假设 (1) 的三个函数都在上可导，在上取对应于的一点及对应于的邻近一点 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 则得曲线 在点 M 处的法平面方程法平面方程 切线方程切线方程当沿趋于时，割线的极限位置就是曲线在点处的切线用除上式各分母得令趋于（此时 ） 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 切线的方向向量称为曲线的切向量.就是曲线 在点M处的一个切向量.所以 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1. 求曲线在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解：解：点(1, 1, 1) 对应于故点M 处的切向量为因此所求切线方

3、程为 法平面方程为即 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 取x为参数，则可表为参数方程的形式若空间曲线 的方程为法平面方程为切线方程 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2. 求曲线在处的切线和法平面方程。解： 两个方程左右两端分别对 x 求导得，所以切向量切线：法平面：即 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点, 且有 可表示为处的切向量为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有或 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 法平面方程法平面方程

4、目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例3. 求曲线在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解解 方程组两边对 x 求导, 得曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 切线方程法平面方程即点 M (1,2, 1) 处的切向量 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0 . 则 在且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面

5、上. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 证证:在 上,得令由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量的平面上 , 从而切平面存在 . 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 曲面 在点 M 的法向量法向量: 法线方程法线方程 切平面方程切平面方程 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线法线. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 曲面时, 则在点故当函数 法线方程法线方程令特别特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程切平面方程法向量法向量 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4. 求球面在点(1 , 2

6、, 3) 处的切平面及法线方程. 解解: 令所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例5. 求曲面在点(2 , 1 , 4) 处的切平面及法线方程. 解解:所以曲面在点 (2, 1 , 4) 处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 法向量法向量用将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向分别记为则向上,复习 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面

7、 切线方程法平面方程1) 参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结内容小结 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2) 一般式情况. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 空间光滑曲面曲面 在点法线方程法线方程1) 隐式情况 .的法向量法向量切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2) 显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 作业作业P45 1，4，5, 8 目录 上页 下页

8、返回 结束高等数学高等数学 思考与练习思考与练习1. 如果平面与椭球面相切,提示提示: 设切点为则(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上) 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点则通过此2. 设 f ( u ) 可微,第七节 证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 备用题备用题1. 证明曲面与定直线平行,证证: 曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立 .的所有切平面恒 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2. 求曲线在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.