投资学第三讲现值和内部收益率2

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1、投资学第三讲投资学第三讲 现值和内部收益率现值和内部收益率Present Value and Internal Rate of ReturnPresent Value and Present Value and Internal Rate of ReturnInternal Rate of ReturnPresent Value (PV)Internal Rate of Return (IRR)Cash Flow EvaluationDiscount factorSpot and forward ratePresent Value 现值现值用 x=(x0, x1, . , xn) 表示一个现金

2、流 。我们需要找到办法来比较不同的现金流。折现因子 Discount factors 和 利率 Interest rates 可以在时间轴上移动现金流.timex0x1x2x3x4x5x6timePV术语术语 Terminology现值 present value. timex0x1x2x3x4x5x6timePV终值 final value. timex0x1x2x3x4x5x6timeFVPresent Value and Present Value and Internal Rate of ReturnInternal Rate of ReturnPresent Value (PV)In

3、ternal Rate of Return (IRR)Cash Flow EvaluationDiscount factorSpot and forward rate折现因子折现因子 Discount factor 对应某特定期间的对应某特定期间的折现因子，折现因子，是指该期间结束时是指该期间结束时所收取所收取1 1元的现值。将元的现值。将t t年期的折现因子表示为年期的折现因子表示为d(t)d(t)。 d(0.5) d(0.5) 0.98250.9825 表示表示6 6个月后收取的个月后收取的1 1元，现值元，现值0.98250.9825元。元。 某证券某证券6 6个月后收取的个月后收取的1

4、05105元，现值多少？元，现值多少？ 105 d(0.5) 105 d(0.5) 1050.98251050.9825103.16103.16元。元。 当前投资当前投资1 1元，元，6 6个月后回收个月后回收 1/ d(0.5) =1.021/ d(0.5) =1.02元元Discount factor国债 Bonds 在以下的讨论里都是没有信用风险的（defaultfree）对于一般的国债，现金流包含3个要素：面值 face value or par value票息 coupon rate到期日 maturity day 在94年2月15日 购买了一种国债（付息债券），面值10000元，票

5、息4.375%, 到期日是96年8月15日。购买者在此之前每年收到利息，并在到期日收到10000元的本金。市场惯例，每年的利息分两次支付，即每6个月付218.75元。218.75218.75218.75218.7510218.7594.2.1594.8.1595.2.1595.8.1596.2.1596.8.15 票息率票息率 到期日到期日 价格价格6.875 94.8.15 101:206.875 94.8.15 101:20 5.5 95.2.15 101:18 5.5 95.2.15 101:184.625 95.8.15 100:214.625 95.8.15 100:214.625

6、96.2.15 100:124.625 96.2.15 100:124.375 96.8.15 99:154.375 96.8.15 99:15比如最后一行的债券，指比如最后一行的债券，指100100元的面值，当前价元的面值，当前价格为格为 999915/32=99.4687515/32=99.46875元元表3.1 报价日：94.2.15 折现因子可以由国债价格表计算折现因子可以由国债价格表计算：参考表：参考表3.13.1第一行第一行 第二行第二行 6 6个月后的收益：个月后的收益：2.75 2.75 1 1年后收益：年后收益： 1001002.752.75所以现值所以现值 可以算出可以算出

7、d(1)=0.9621 d(1)=0.9621 d(1.5)=?d(1.5)=? 表3.2 ：根据表3.1计算的折现因子 T d(t) 0.5 0.9825 1 0.9621 1.5 0.9399 2 0.9159 2.5 0.8920 d(t)d(t)1 10 0T T 年年28282020 图图3.1 3.1 3030年之年之后将收取的后将收取的1 1元，元，现值仅有现值仅有0.140.14元元Present Value and Present Value and Internal Rate of ReturnInternal Rate of ReturnPresent Value (PV

8、)Internal Rate of Return (IRR)Cash Flow EvaluationDiscount factorSpot and forward rate 即期利率与远期利率即期利率与远期利率 折现因子可以用来给资产定价，但使用更多的还是利率。 重点介绍即期利率 spot rate与远期利率 forward rate，并说明如何根据债券价格来计算这两个利率，及其功能。即期利率即期利率是指放款者在签约当时立即提供资金给借款者，所约定的利率。 t年的即期利率定义为 ，将其视为t年期每半年复利一次的名义利息率。由于多数债券是每半年支付票息一次，所以投资者关心半年一次的复利率。AA(

9、1+r/2)2ttime0t等于100元小于100元Spot rate已知折现因子d(t)表示t年之后的1元的现值，因此有：AA(1+r/2)2ttime0t 表3.3 根据表3.2折现因子所推算的即期利率 T d(t) % T d(t) % 0.5 0.9825 3.567 0.5 0.9825 3.567 1 0.9621 3.896 1 0.9621 3.896 1.5 0.9399 4.178 1.5 0.9399 4.178 2 0.9159 4.443 2 0.9159 4.443 2.5 0.8920 4.622 2.5 0.8920 4.622 Spot rateSpot ra

10、te10%10%0 0T T 年年282820204%4%4 41212图图3.2 94.2.153.2 94.2.15的即期利率的即期利率即期利率与到期期间的关系，通常被成为即期利率与到期期间的关系，通常被成为“即期利率的期限结构即期利率的期限结构” term structure of spot rate根据图3.2显示，即期利率最初具有斜率向上的期限结构，但大约到第23年后，即期利率具有斜率向下的趋势 downward sloping零息债券零息债券 零息债券 zero coupon bond 指只在到期日支付面值的债券。 零息债券的价格相当于折现因子。 零息债券的收益率相当于即期利率。

11、零息债券可以通过票息债券 coupon bond的组合获得 经分割的现金流：52.552.5 52.5 100094.2.1594.8.1595.2.1595.8.15把票息债券组合成零息债券把票息债券组合成零息债券价格:票息:面值:可以组合一个 zero coupon bond, 使C0=0, F0=$100这个组合要满足3个公式:解出x和y.组合而成的零息债券的价格 xP1+yP2ExampleBond 1: 10 year, 10% coupon, P1=98.72元Bond 2: 10 year, 8% coupon, P2=85.89元 面值100元Portfolio: x Bond

12、 1, y Bond 2.构建的零息债券价格:x = - 4, y = 5Coupon: x(10) + y(8) = 0Face: x(100) + y(100) = 100Create a zero:Spot Rate:xP1+yP2=34.57元 面值100元票息4.625到期日95.8.15的债券，用折现因子表示，在94.2.15日的价格为 2.3125d(0.5)+2.3125d(1)+102.3125d(1.5) 2.3125d(0.5)+2.3125d(1)+102.3125d(1.5)使用即期利率，则债券现值又可以表示为 以这种方式表示，说明现金流量根据发生当时的即期利率来折现

13、。换句话说，投资者对于不同时期发生的现金流量，将赚取不同的报酬率 表3.3 根据表3.2折现因子所推算的即期利率 T d(t) % T d(t) % 0.5 0.9825 3.567 0.5 0.9825 3.567 1 0.9621 3.896 1 0.9621 3.896 1.5 0.9399 4.178 1.5 0.9399 4.178 2 0.9159 4.443 2 0.9159 4.443 2.5 0.8920 4.622 2.5 0.8920 4.622远期利率远期利率 forward rate （一）六个月期的债券 收益率 A(1+ 3.567%2) 一年期的债券 前六个月的收

14、益率 A(1+ 3.896%2)（二） 一年期债券 收益率 A(1+ 3.896%2)2 两年期债券 第一年的收益率 A(1+ 4.443%2)2 购买1年期债券的投资者，在前6个月获得较高的年利率3.896%，是因为相当于承诺在6个月结束时，继续将贷款延展半年。这种隐含的承诺就是一个远期贷款。 远期贷款，在未来某日期开始放款的契约。在远期贷款签约当时（而不是放款的当时），所定的利率称为“远期利率” forward interest。 我们定义r(t)为目前对于由第t-0.5年起算而至第t年之贷款所适用的年利率。 r(1.5)就是指由第1年起算的6个月期远期年利率。 r(0.5)94.2.15

15、94.8.1595.2.1595.8.15 r(1) r(1.5)96.2.15 r(2) 远期利率的计算方法：(1)(2)(3)(4)表表3.4 根据表根据表3.3的即期利率推算远期利率的即期利率推算远期利率 T % r(t) % T % r(t) % 0.5 3.567 3.567 0.5 3.567 3.567 1 3.896 4.226 1 3.896 4.226 1.5 4.178 4.743 1.5 4.178 4.743 2 4.443 5.239 2 4.443 5.239 2.5 4.622 5.342 2.5 4.622 5.342图图3.3 即期利率与远期利率曲线即期利率

16、与远期利率曲线 raterate10%10%0 0T T 年年282820204%4%4 41212即期利率即期利率即期利率即期利率远期利率远期利率远期利率远期利率 面值面值100100元票息元票息4.6254.625到期日到期日95.8.15 95.8.15 的债券，的债券，在在94.2.1594.2.15日价格可以表示为日价格可以表示为 1 1、 2.3125d(0.5)+2.3125d(1)+102.3125d(1.5)2.3125d(0.5)+2.3125d(1)+102.3125d(1.5) 2 2、 3 3、Present Value and Present Value and I

17、nternal Rate of ReturnInternal Rate of ReturnPresent Value (PV)Internal Rate of Return (IRR)Cash Flow EvaluationDiscount factorSpot and forward rate内部收益率内部收益率 Internal Rate of Return用 x=(x0, x1, . , xn) 表示现金流. 内部收益率指能够满足下式的r为了解出 r, 通常会设:and solveExample对现金流 (-2,1,1,1)，它的内部收益率是多少?Solve:Question: 这个多项

18、式只有惟一的正解吗?Answer: This can be a problem.关于关于 IRR的一个重要结论的一个重要结论Proof: plotf(c)cx0increasing.如果现金流 x=(x0, x1, ., xn) 有x0 0 至少有一项是正的. 那么对以下方程式就有惟一的正解: 内部报酬率实际上就是到期收益率 (yield to maturity)到期收益率的作用：1、债券报价的另一种形式2、判断债券是折价还是溢价3、判断债券价格低估还是高估 由到期收益率的定义，假定T年期国债的面值为1元，票息率为c，则价格为上式又可以表示为，1、如果 c=y，则P=1。票息利率等于到期收益率

19、，则债券价格等于面值。2、如果cy，则P1。票息利率大于到期收益率，则债券将有溢价 premium3、如果cy，则P1。债券将有折价discount4、对于长期债券，T非常大，价格接近c/y。永续债券 perpetuityPresent Value and Present Value and Internal Rate of ReturnInternal Rate of ReturnPresent Value (PV)Internal Rate of Return (IRR)Cash Flow EvaluationDiscount factorSpot and forward rateExam

20、ple：When to cut a tree？种树为了卖木材赚钱，有两种砍伐方案:(1) After 1 year: Cash Flow: (-1,2) (2) After 2 years: Cash Flow: (-1,0,3) 如果r1 is 10% r2 is 12%,你会选哪个?NPV Solution(1) NPV = -1 + 2/1.1 = 0.82(2) NPV = -1 + 3/(1.2)2 = 1.083NPV says choose option (2). IRR SolutionChoose the one with the greatest internal rate

21、 of return. Solution:IRR says choose option (1)(1) IRR: -1+2c=0 c=0.5 r=1.0(2) IRR: -1+3c2=0 c=0.577 r=0.7 三种债券的现金流量、价格与IRR债券债券 0.50.5年年 1.51.5年年 2.52.5年年 价格价格 IRRIRRA 100 1 1 100.8 3.628%A 100 1 1 100.8 3.628%B 1 100 1 95.86 4.183%B 1 100 1 95.86 4.183%C 1 1 100 91.13 4.617%C 1 1 100 91.13 4.617% 根

22、据表3.2的折现因子可以计算现在的价格；利用这些价格，可以分别计算它们的内部收益率。以A为例 PA A=0.98251000.939910.8921 =100.08元 A的IRR为 3.628%,因为 三种债券的IRR与即期收益率的比较债券债券 0.50.5年年 1.51.5年年 2.52.5年年 IRR IRR SRSRA 100 1 1 3.628% A 100 1 1 3.628% 3.567%3.567%B 1 100 1 4.183% B 1 100 1 4.183% 4.178%4.178%C 1 1 100 4.617% C 1 1 100 4.617% 4.622%4.622%

23、表表3.4 根据表根据表3.3的即期利率推算远期利率的即期利率推算远期利率 T % r(t) % T % r(t) % 0.5 3.567 3.567 0.5 3.567 3.567 1 3.896 4.226 1 3.896 4.226 1.5 4.178 4.743 1.5 4.178 4.743 2 4.443 5.239 2 4.443 5.239 2.5 4.622 5.342 2.5 4.622 5.342 B债券的价值主要来自第1.5年的现金流量，所以它的IRR 4.183%接近第1.5年的即期利率4.178%。 结论：在到期日相同的债券中，并不能说内部收益率高的品种优于其他。上

24、述三种债券都有合理的定价。C的到期收益率最高，仅是因为它的大部分现金流量是以最高的即期利率折现。IRR是实现的报酬率是实现的报酬率?票息4.625到期日96.2.15的债券如果持有债券至到期日，则到期收益率是否就是实际得到的报酬率？ 上式两边同乘以(1y/2)4 则有这个式子的左侧可以解释为，在94.8.15获得第一笔票息2.3125元，根据到期收益率y再投资至到期日，收益为2.3125(1+y/2)3 。以次类推，假定再投资利率为y，在到期日收取的所有金额就是100.375(1+y/2)4 ，如此则到期收益率代表了实现的债券收益率。 但是，并不能保证债券的票息可以根据最初的到期收益率进行再投

25、资。票息的再投资取决于不确定的未来利率，这被称为 再投资风险 reinvestment risk2.312594.2.1594.8.1595.2.1595.8.1596.2.152.31252.3125102.3125NPV and IRR比例变化 Scaling:Cash FlowsCash Flows (-1,2)(-1,2)10 10 (-1,2)(-1,2)PV ( PV ( 10%10% ) )0.8180.8188.188.18IRRIRRr = 1.0r = 1.0r = 1.0r = 1.0IRR 体现不了变化, NPV可以 NPV and IRR重复 RepetitionCa

26、sh FlowsCash Flows(-1,2)(-1,2)(-1,2,-1,2,.)(-1,2,-1,2,.)PV ( PV ( 10%10% ) )0.8180.8184.714.71IRRIRRr=1.0r=1.0r=1.0r=1.0NPV可以区分现金流是否重复, IRR 不能Summary of IRR and NPVNPV和IRR不一定得到相同的结论。IRR也并不能有效区分债券的收益高低。NPV可以体现现金流的多种情况，所以在评价现金流的时候比IRR更好。 作业作业 Problems 下表是各年期零息债券（面值1000元）的报价期限期限价格价格即期利率即期利率远期利率远期利率0.50

27、.5年年943.4943.41 1年年898.47898.471.51.5年年847.62847.622 2年年792.16792.161、请填写表中空格。此处均为半年复利一次的名义利率。2、现金流x=(x0,x0.5,x1,x1.5)为(-1020,85,85,1085) 根据上表计算它的净现值和内部收益率。Appendix 1等比数列加总等比数列加总Appendix 2利率期限结构的解释利率期限结构的解释Q: Why does the term structure shape like this?Three Explanations1 期望理论 Expectations Theory2 流

28、动性偏好 Liquidity Preference3 市场分割 Market SegmentationExpectations Theory即期利率是由对利率的市场预期决定的。Spot rates are determined by the expectations of what interest rates will be.Ex: If the spot rate curve slopes upward, that is because people expect interest rates to increase in the future. Liquidity PreferenceI

29、nvestors prefer short term securities over long term securities because long term securities “tie-up” capitalthat may be needed before maturity. However, there are well developed markets for short and long term securities. Hence investors can easily get out.More likely, long term investments are mor

30、e sensitive to interest rates. To lessen risk, investors would prefershort term securities.Market SegmentationFixed income market is segmented by maturity dates. The rate for each maturity date is determined by the group of investors interested in that maturity date. Hence, simple supply and demand among those investors determines the interest rate.