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1、第一节第一节第一节第一节 向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数第一节第一节 向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算一一 向量的概念向量的概念二二 向量的线性运算向量的线性运算1 1第一节第一节第一节第一节 向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数一一 向量的概念向量的概念向量向量：既有
2、大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量. .零向量零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .| | |向量的模向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量单位向量：或或或或或或规定零向量的方向是任意的规定零向量的方向是任意的。2 2第一节第一节第一节第一节 向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数自由向量自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量相等向量：大小相等且
3、方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .3 3第一节第一节第一节第一节 向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数二二 向量的线性运算向量的线性运算1 1 加法加法平行四边形法则平行四边形法则特殊地：若特殊地：若分为同向和反向分为同向和反向三角形法则三角形法则4 4第一节第一节第一节第一节 向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算第第
4、第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数向量的加法符合下列运算规律向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3 3）2 2 减法减法5 5第一节第一节第一节第一节 向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数设设是一个数，向量是一个数，向量与与的乘积的乘积规定为规定为3 向量与数的乘法向量与数的乘法6 6第一节第一节第一节第一节 向量
5、的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系7 7第一节第一节第一节第一节 向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数证证充分性显然；充分性显然；
6、必要性必要性两式相减，得两式相减，得8 8第一节第一节第一节第一节 向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量. .9 9第一节第一节第一节第一节 向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例1 1 化简化简解解 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形 必是平行四边形必是平行四边形. .证证与与 平行且相等平行且相等, ,结论得证结论得证. .1010
