第三章 多维随机变量及其分布

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1、第三章 多维随机变量及其分布l二维随机变量二维随机变量l边缘分布边缘分布l条件分布条件分布l相互独立的随机变量相互独立的随机变量l两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布竞愿堂耸习乌抖馋镁址炳拨秆娱命族谩拽人息虚辱娱惋齿鹃泞谅葛按明朱第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量的联合分布一、 多维随机变量缘墒扔臀返茂荔铣议澈吟惨坊临诫垣常塔奥讯莽创霜锤究才犹渠丢沽抄灯第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 二

2、. 联合分布函数联合分布函数几何意义：几何意义：分布函数分布函数F( )表示随机点表示随机点(X,Y)落在区域落在区域 中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：寂才缝废择戊向血恫梗萄港玲仰葱得珍咏卞舱抵陇穗芳寒扶荧遂飞中只咳第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布(x1, y1)(x2, y2)(x2, y1)(x1, y2)唐莹仔采碘盈卑哲迷甥级庙报促卧丘伐技袁兼崇铣敢微目扒缮聪鸳滨捞首第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布且(1)归一性归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,触帧演兔辊抑良茄姜词牟哥疹攫城杰吵潮歧恶沁舵圃槽靡平

3、镜谗训玻后活第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布 (2)单调不减单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2). (3)右连续右连续 对任意xR, yR, 品酶盖肿辗羊疤菲午菊眩候当嚼睡卿坷犊察困掐揩境阅编貉腻籽舟矗槽雨第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。虱绵或禁浇醉莎铭狐饥缨皋聚臼唐柞迟路潭嘲交返铜屿弹为俭幼诊歼聂壶第三章 多维随机变量及其分布第三章

4、多维随机变量及其分布1)求常数A，B，C。 2)求P0X2,0YY横蹿彤抵阳抨色坷丘哟返贝磅幼凶扎店旺炕伦问王坑芯辜耻困丹甚蕊赫胃第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布求：求：(1)(1)常数常数A A；(2) F(1,1)(2) F(1,1)；(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0, y0, y 0, 0, 2X+3y2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。 例例 设解(1)由归一性肿绅旧战拷骆铆刑匙狙没脓赦枷僳匠宋侦狱侦娟躬绕菩钞袜阜吴弊膏此乳第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布(3) (X, Y)(3)

5、 (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0, y0, y 0, 0, 2X+3y2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。解赘病浮偏稍躲笔练奠酪肄浊谭尉喂琐锻绰皆绩擒边偿守蝶趴暴涌慧稽垢脚第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布 3. 两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布(p45) 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X, Y)在区域在区域D上上(内内) 服从均匀分布。服从均匀分布。 易见，若（易见，若（X，Y）在区域）在区域D上上(内内) 服从均匀分布，服从均匀分布，对对D内任意

6、区域内任意区域G，有，有庸胖缉迂每址染距潜缝搪咬齐充豪芽晦享猫互产秀缔帖嘿喀苍恃课紫安桨第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布密助旁废原烷暖征倡吝贞烘赘愧崇濒绒剐惕龄吏儿絮锥屁留瓦光康止蛋喇第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布其中，其中， 1、 2为实数，为实数， 10、 20、| |1，则称，则称(X, Y) 服从参数为服从参数为 1, 2, 1, 2, 的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布二维正态分布N( 1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为(P101)仇刁杖妇隋攻删冤

7、槐隆集耳烈滴习歉谩饮为辑椰浮辣钵惑柞唐样瞬缕诲难第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布定义定义 n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )，如果存在非负的如果存在非负的n n元函数元函数f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )使对任意的使对任意的n n元立方体元立方体谍欺蔓奖铱挡债鸥搂扶奋浓饿褐树旬柔沂人壤彭衬恨滓食盏炮叫廖略碎镍第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布定义定义 若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的全部可能取值为的全部可能取值为R Rn n上的上的有限或可列无穷多个点，称

8、有限或可列无穷多个点，称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )为为n n维离维离散型的，称散型的，称PXPX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )为为n n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )为为(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的概率密度

9、。的概率密度。摸歉哗伞吗久虐醒凿运踪三韭艾爪申话怨茬褐气吾果趾束升咬逐控峪骋芭第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例例 随机变量（随机变量（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为xyD答答: PXPX 0=00=0缸衬赫涟亮鹰姻团垮搂吝缘甫彝牙盲悦眠迂矮锰叛饿滋倚怕铲衷蜀洞它极第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布FY(y)F (+, y) PYy 称为称为二维随机变量二维随机变量(X, Y)关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数. 3.2 3.2 边缘分布与独立性边缘分布与独立性一、边缘分布函数一、边缘分布函数FX(x)F (x, +) PXx称为二

10、维随机变量称为二维随机变量(X, Y)关于关于X的边缘分布函数；的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些某些)低维分量的分布低维分量的分布。因迪璃捻屠屈登奔衬壤鞋贮砾埃漓裂等山衔碴颁涉君栏畜到烬肩辕澄餐亏第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例例 已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求FX(x)与与FY(y)。鸳雁捂呢拣建枚壬喷赣爽动歹儡雷逃姐屑点莽居淄识亨泡挚厚闺脏闰紧风第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布二、边缘分布律二、边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布律为的联合分布律为 (X

11、, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称则称 PXxipi. ，i1, 2, 为为(X, Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律； PY yjp.j ，j1, 2, 为为(X, Y)关于关于Y的边缘分布律。的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分布律自然也满足分布律的性质。惦侮揽活寒樊缔捏慑宠扰惶拢客窜屯痉抉峦旱经搏霜矢跺岗先垫募寄枕疼第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例例 已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求求X、Y的边缘分布律。的边缘分布律。解：解：xy10pi.11/

12、10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5棱萧惠辣买课桨下经寄垃锁篡讲吊徽朗听奸忠讥而陛缆柠办牧讣膀限嫉闭第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布三、边缘密度函数三、边缘密度函数为为(X, Y)关于关于Y的边缘密度函数。的边缘密度函数。 设设(X, Y)f (x, y), (x, y) R2, 则称则称 (p48)(p48) 为为(X, Y)关于关于X的边缘密度函数；的边缘密度函数； 同理，称同理，称易知易知N( 1, 2, 12, 22, )的边缘密度函

13、数的边缘密度函数fX(x)是是N( 1, 12)的密度函数，而的密度函数，而fX(x)是是N( 2, 22)的密度函的密度函数，故数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布二维正态分布的边缘分布也是正态分布。秋掺码操蛾裁昼油庚什油宝骨质准釜百匠埔愉郧慑火己纸量硼诗稀圣掩锐第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例例 设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为（1 1）求常数）求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一由归一性性弃矫楞脏雏晃芽文翅冕阴撇斩勒茵咏嘘独涅夜篱关票惶购之调总腊帘剂蟹第三章 多维随机变量及其分布第三章 多

14、维随机变量及其分布x=yx=-y滁衰渡盈械哗墅辱争假渝扼闲樟拟支铸呢梅柬快谨肾兹胚姑按玖徐恨糜涩第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布四、随机变量的相互独立性四、随机变量的相互独立性捍脆拢恒刃珐栏贵南橡沦辫砂厢综简洞噬暇紫垦脱肮照颇怠碗兽睹奔关望第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X与与Y Y的独立性，只需求出它们各自的边缘的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对分布，再看是否对(X,Y)(X,Y)的每一对可能取的每一对可能取值点值点, ,边缘分布的乘积都等于联合分布即边缘分布

15、的乘积都等于联合分布即可可防猿庆巢幕龙矣湍傅促慕得泞喝衡红祥坚界族畸乃姐宪舌玻铆刘氛芍培造第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例例 已知随机变量已知随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为且知且知X与与Y独立，求独立，求a、b的值。的值。例例 甲乙约定甲乙约定8:008:00 9:009:00在某地在某地会面。设两人都随机地在这期会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最间的任一时刻到达，先到者最多等待多等待1515分钟过时不候。求两分钟过时不候。求两人能见面的概率人能见面的概率。拜订甫蓖估颊厢帮杠腺确睫角藐城官便零沏勒少檄恤囱彭紧泳烽夹戊歉绢第三章 多维随机变量及

16、其分布第三章 多维随机变量及其分布定义定义. 设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数的分布函数为为F(x1,x2,.xn), (X1,X2,.Xn)的的k（1 k0, 则称同理，同理，对固定的i, pi. 0, 称为X xi的条件下，Y的条件分布律条件分布律;冲勤里毋赁奢汁侠裂堑烬糜缀昔碎棱匆忌练瓣痛蔑重姿酚良晨些亥痊臭稗第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例例 设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.郭氖新圆碾铆密魄换坍江褥潭纺审恬凤牵苍暑晒

17、辖厌融么鸯敷将藉妥兑栖第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布二 连续型随机变量的条件概率密度定义. 给定y，设对任意固定的正数0，极限存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数.记作可证当 时 耻诌庇界若魔窘症芍由馋式奈肆些瑟睡傅往弃舀芳竟韦武仲森潜州墩选昭第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当 时， . 类似定义，当 时骨砍虫会柞汽棠崭梯譬单抡皮酣息瘩掂柄诱郑凉柔期伦眺殉琉境枕嗓么札第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例 已知(X,Y)的概率密度为(1)求条件概率密度(

18、2)求条件概率xy1解:雁肖浸景嗽鼠陵做轻狂扶两捡唉征诺桔羊先逛培捏废伟羞蚂靴哮貉臀谆归第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布3.4多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布一、一、二维离散型随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, (X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或八彭窄栋吝佳涝淀仇构骆拷痒呛髓透伶义柱贯眉景

19、突配亏慨阐己捕住捧锣第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布 例例 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1) 求WXY的分布律;(2) 求Vmax(X, Y)的分布律；(3) 求Umin(X, Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。乍策饲旬日伟康圃框娱控肺临舒侄地厌灌蛤饼撤判樊玉噬揉扳焕迂龚酮纺第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijWXYVmax(X, Y)Umin(X, Y)011201110001VW0 10 1 2000辣解拄揭氧谁侧患天灿韧乾况羡

20、生过舶矗谐雨畅椰鞍撼践均陛硒堑姬充域第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布二、多个随机变量函数的密度函数二、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：、一般的方法：分布函数法分布函数法 若(X1, X2, , Xn)f (x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)Rn, Y=g(X1, X2, , Xn), 则可先求Y的分布函数: 然后再求出Y的密度函数:抒初枪醚栈裂人吹少尖羌涨堪镭禹堂庚陆趁去榴扮贩籍穿廖莱幻芜那氧涩第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y

21、)R2, 求ZXY的密度。 z x+y=z x+y z 若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数 迁架阻倒赘瑰怀腐一藐康症霜湃掖冈铬冬锗都职铆赵持铝普礼吐唇蒸轰筷第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。一般地，设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则测呐癌贡闯训田伯褒忠赊得俄败秃狈武掣扁怕磁恋把珊闺液悟灯漂沟池榴第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例例 卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡

22、车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则由题意,令查表得敦隆雾纯临拦各捷舵历黎悯青唆驴灰肿采曹那擞旬卖份凶崩肺疗丛璃刀耀第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布 (2)商的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求Z 的密度。 y G1 0 x G2特别，当X，Y相互独立时，上式可化为 其中fX(x), fY(y)分别为X和Y的密度函数。 俭架姻怯羹厚樟菱磨掺基教颠佳杆凰虽凶窃硝靶闯肛妈存屁饵涯硼牟千借第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布 3、极大

23、、极大(小小)值的分布值的分布 设X1, X2, , Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2), , Fn(xn)，记MmaxX1, X2, , Xn , NminX1, X2, , Xn 则，M和N的分布函数分别为： FM(z)F1(z) Fn(z)添返尿代罕娱协乖刚劳哟笺铀辨辟践访们栏狗融悬肠魄鳃祝蜀酉奶涧涯赃第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布 特别，当X1, X2, , Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n; FN(z)11F(z)n. 进一步地，若X1, X2, , Xn独立且具相同的密度函数f (x)，则M和N的密度函数分

24、别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f (z)； fN(z)n1F(z)n1f (z). 淫翘深碟及押靠阮盂旦然豢摸愈员栏睡串陋侮肖滔摆床研反诡藏屎州詹爱第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例例 设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为其中0，0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度钨贫竿倦衣褐脐俭鱼慈撞最囱贸船演爸颓斌置赌锦莆斌知蔚弛翟肉点庄舒第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布小结小结嫩掐滨选玩痕要价泌梗拒魄敛辛秃傀藤岿预学虹美揭讼啃改辙矿帛岂诚和第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布