智能控制智能控制4.1.3 模糊关系与模糊矩阵模糊关系与模糊矩阵上海大学自动化系上海大学自动化系---杜鑫杜鑫4. 模糊数学与模糊控制模糊数学与模糊控制1. 4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵Ü4.1.3.1 普通关系普通关系Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系Ü4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示Ü4.1.3.4 模糊关系的运算模糊关系的运算Ü4.1.3.5 模糊向量模糊向量 4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵Ü4.1.3.1 普通关系普通关系Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系Ü4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示Ü4.1.3.4 模糊关系的运算模糊关系的运算Ü4.1.3.5 模糊向量模糊向量 Ü4.1.3.1 普通关系普通关系v常见的常见的普通普通关系关系 >普通关系是用数学方法来描述普通集合中的元素普通关系是用数学方法来描述普通集合中的元素 之间有无关联之间有无关联>普通关系的定义：集合普通关系的定义：集合A和和B的的直积直积A B的一个的一个 子集子集R，称作，称作A到到B有二元关系，简称关系有二元关系，简称关系 由两个集合由两个集合U与与V的各自元素的各自元素u U及及v V构成的序构成的序偶（偶（u，，v）的集合，称为）的集合，称为U与与V的直积。
的直积笛卡尔积笛卡尔积)直积（笛卡尔积）直积（笛卡尔积）v普通普通关系的定义关系的定义Ü4.1.3.1 普通关系普通关系 4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵Ü4.1.3.1 普通关系普通关系Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系Ü4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示Ü4.1.3.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 v常见的常见的模糊模糊关系关系Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系 l定定义义模模糊糊集集A和和B的的直直积积A B的的一一个个模模糊糊子子集集R称称为为A 到到B的二元模糊关系，其序偶的二元模糊关系，其序偶(a,b)的隶属度为的隶属度为 l模糊集的直积运算法则与普通集合的直积运算相同模糊集的直积运算法则与普通集合的直积运算相同为为n元模糊关系元模糊关系l若论域为若论域为n个集合的直积，则称个集合的直积，则称 Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系v模糊模糊关系的定义关系的定义 例例1：： 设设X为为横横轴轴，，Y为为纵纵轴轴，，直直积积X×Y是是什什么么？其上的？其上的普通普通关系关系x>y是什么？是什么？YXY=XR:X>Y0Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系v模糊模糊关系关系 && && 普通普通关系关系 当当x-y=1时，时，R(x,y)=0.0099Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系v模糊模糊关系关系 && && 普通普通关系关系例例2：：设设X为为横横轴轴，，Y为为纵纵轴轴，，直直积积X×Y是是整整个个平平面面，，其其上上的的模模糊糊关关系系R=“x远远大大于于y”，，怎怎么么表示？表示？ 当当x-y=10时，时，R(x,y)=0.5Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系v模糊模糊关系关系 && && 普通普通关系关系例例2：：设设X为为横横轴轴，，Y为为纵纵轴轴，，直直积积X×Y是是整整个个平平面面，，其其上上的的模模糊糊关关系系R=“x远远大大于于y”，，怎怎么么表示？表示？ 当当x-y=100时，时，R(x,y)=0.99Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系v模糊模糊关系关系 && && 普通普通关系关系例例2：：设设X为为横横轴轴，，Y为为纵纵轴轴，，直直积积X×Y是是整整个个平平面面，，其其上上的的模模糊糊关关系系R=“x远远大大于于y”，，怎怎么么表示？表示？ 学学生生甲甲、、乙乙、、丙丙参参加加艺艺术术五五项项全全能能比比赛赛，，各各项项均以均以20分为满分，比赛结果如表所示分为满分，比赛结果如表所示。
学生学生唱歌唱歌跳舞跳舞乐器乐器小品小品绘画绘画甲甲1814191315乙乙1618121911丙丙1910151218v模糊模糊关系关系 && && 普通普通关系关系Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系 若令若令18分以上为优，可写出分以上为优，可写出A到到B的普通关系为：的普通关系为：（（0-1矩阵形式给出矩阵形式给出））学学生生甲甲、、乙乙、、丙丙参参加加艺艺术术五五项项全全能能比比赛赛，，各各项项均以均以20分为满分，比赛结果如表所示分为满分，比赛结果如表所示v模糊模糊关系关系 && && 普通普通关系关系Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系 若若我我们们用用20分分除除各各分分数数，，得得到到的的数数值值作作为为“优优”的的隶隶属属函函数数，，可可求求出出甲甲、、乙乙、、丙丙与与“成成绩绩优优”的的模模糊糊关系为：关系为： 唱歌唱歌跳舞跳舞乐器乐器小品小品绘画绘画甲甲0．．90．．70．．950．．650．．75乙乙0．．80．．90．．60．．950．．55丙丙0．．950．．50．．750．．60．．9学学生生甲甲、、乙乙、、丙丙参参加加艺艺术术五五项项全全能能比比赛赛，，各各项项均以均以20分为满分，比赛结果如表所示分为满分，比赛结果如表所示。
v模糊模糊关系关系 && && 普通普通关系关系Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系 若若我我们们用用20分分除除各各分分数数，，得得到到的的数数值值作作为为“优优”的的隶隶属属函函数数，，可可求求出出甲甲、、乙乙、、丙丙与与“成成绩绩优优”的的模模糊糊关系为关系为（以模糊矩阵形式给出）（以模糊矩阵形式给出）：：学学生生甲甲、、乙乙、、丙丙参参加加艺艺术术五五项项全全能能比比赛赛，，各各项项均以均以20分为满分，比赛结果如表所示分为满分，比赛结果如表所示v模糊模糊关系关系 && && 普通普通关系关系Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系 4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵Ü4.1.3.1 普通关系普通关系Ü4.1.2.2 模糊关系模糊关系Ü4.1.2.3 模糊关系的模糊关系的(矩阵矩阵)表示表示Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 若若论论域域X×Y是是连连续续或或无无限限的的，，则则该该论论域域上上的的关关系系不不能能用用矩矩阵阵来来表表示示，，通通常常用用隶隶属属函函数数来表示来表示v模糊关系的表示模糊关系的表示Ü4.1.2.3 模糊关系的模糊关系的(矩阵矩阵)表示表示 若若论论域域X×Y是是有有限限集集，，（（普普通通））模模糊糊关关系系可可以以表表示示为为（（0-1））模模糊糊矩矩阵阵，，也也可可用用图图表表法来表示法来表示 模糊矩阵模糊矩阵Ü4.1.2.3 模糊关系的模糊关系的(矩阵矩阵)表示表示v模糊矩阵模糊矩阵 【【例例】】子女和父母子女和父母“相像相像”的关系可以有以下的的关系可以有以下的模糊矩阵模糊矩阵表示：表示：父父 母母v模糊矩阵模糊矩阵Ü4.1.2.3 模糊关系的模糊关系的(矩阵矩阵)表示表示 [例例] 设设X=Y={1,2,3,4,5,6}, X×Y中的中的X>Y的一般关系的一般关系以及以及 X>>Y的模糊关系的模糊关系可分别表示为：可分别表示为：Ü4.1.2.3 模糊关系的模糊关系的(矩阵矩阵)表示表示v一般关系矩阵一般关系矩阵 vs vs 模糊关系矩阵模糊关系矩阵X>YX>>Y 4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵Ü4.1.3.1 普通关系普通关系Ü4.1.2.2 模糊关系模糊关系Ü4.1.2.3 模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (交，并，补运算交，并，补运算) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 【【例例】】给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (交，并，补运算交，并，补运算) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 【【例例】】给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (交，并，补运算交，并，补运算) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 定义为定义为例：给定模糊矩阵例：给定模糊矩阵则：则：Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (截阵截阵) ) l在在日日常常生生活活中中，，两两个个单单纯纯关关系系的的组组合合，， 可可以以构构一一种种新新的的合合成成关关系系。
例例如如，，有有u,v,w 三三个个人人，，若若u是是v的的妹妹妹妹，，而而 v又又是是w 的的丈丈夫夫，，则则 与与 就就是是一一种种新新的的关关系系，，即即姑姑嫂嫂关关系系用用关关系系式式表表示示的的话话,可可写写作作姑姑嫂嫂=兄兄妹妹*夫妻夫妻,其中是其中是*合成运算符合成运算符v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 l模模糊糊关关系系合合成成是是指指，，有有第第一一个个集集合合和和第第二二个个集集合合之之间间的的模模糊糊关关系系及及第第二二个个集集合合和和第第三三个个集集合合之之间间的的模模糊糊关关系系得得到到第第一一个个集集合合和和第第三三个个集集合合之之间间的的模模糊糊关关系的一种运算系的一种运算l模模糊糊关关系系的的合合成成，，因因使使用用的的运运算算不不同同而而有有各各种种定定义义，，我们这里介绍最为常有的我们这里介绍最为常有的max-min合成法合成法v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 R1=“x与与y相关相关”R2=“y与与z相关相关”X={1，，2，，3}，，Y={y1,y2,y3,y4},Z={a,b}R1= R2=R3（（2，，a））= max(min(0.4,0.9),……min(0.9,0.7))X=2Z=a例：例：v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 123y1y2y3y4ab0.40.20.80.90.90.20.50.7v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 运算规则：运算规则：按矩阵运算规则按矩阵运算规则§元素相乘时，隶属度元素相乘时，隶属度“取小取小”；；(MIN)§元素相加时，隶属度元素相加时，隶属度“取大取大”。
MAX)v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 【【例例】】：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 【【例例】】：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 模糊矩阵的合成不满足交换律：模糊矩阵的合成不满足交换律：v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 例例:某家中子女与父母的长像相似关系某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，为模糊关系，可表示为可表示为也可以用模糊矩阵也可以用模糊矩阵R来表示来表示R父母子0.20.8女0.60.1v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 S祖父祖母父0.50.7母0.10v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为可表示为用模糊矩阵用模糊矩阵S S可表示为可表示为 这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程度为度为0.2、、0.2；而孙女与祖父、祖母的相似程；而孙女与祖父、祖母的相似程度为度为0.5、、0.6。
v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 •对称性、对称性、•传递性、传递性、模糊矩阵的模糊矩阵的合成运算合成运算满足下列性质：满足下列性质：v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) )Ü4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵Ü4.1.3.1 普通关系普通关系Ü4.1.3.2 模糊关系模糊关系Ü4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示Ü4.1.3.4 模糊关系的运算模糊关系的运算Ü4.1.3.5 模糊向量模糊向量 若对任意的若对任意的i i( (i i=1,2,=1,2,…, ,n n) )，都有 ，都有 ，则称向量 ，则称向量 为模糊向量其转置称为列向量，即为模糊向量其转置称为列向量，即Ü4.1.3.5 模糊向量模糊向量v模糊向量的定义模糊向量的定义 v模糊向量的叉积（模糊向量的叉积（笛卡尔乘积笛卡尔乘积））Ü4.1.3.5 模糊向量模糊向量 例：已知两个模糊向量分别为：例：已知两个模糊向量分别为：试计算它们的笛卡尔乘积试计算它们的笛卡尔乘积解：解：v模糊向量的叉积（模糊向量的叉积（笛卡尔乘积笛卡尔乘积））Ü4.1.3.5 模糊向量模糊向量 v模糊向量模糊向量叉叉 积积的的意义意义在实际应用中，考虑如下情况：在实际应用中，考虑如下情况：分别是同一概分别是同一概念念在不同在不同论域论域上的表上的表现，把现，把按照模糊关系的合成运算，应有按照模糊关系的合成运算，应有即即 表现了论域的转换关系，用不同论域表现同一概念时，这表现了论域的转换关系，用不同论域表现同一概念时，这两个论域的元素之间便发生了一定的联系，两个论域的元素之间便发生了一定的联系，就表现了论域就表现了论域和和元素间存在的联系（关系）。
元素间存在的联系（关系）理解为模糊关系理解为模糊关系Ü4.1.3.5 模糊向量模糊向量 v模糊向量的模糊向量的内积内积 定义定义：： 设设记记叫做叫做与与 的内积一般的有一般的有Ü4.1.3.5 模糊向量模糊向量 设有两个模糊概念设有两个模糊概念，它们在同一论域，它们在同一论域上表现为两个模糊子集上表现为两个模糊子集 和和 ，将，将 都看作模糊关都看作模糊关系矩阵，表现模糊关系系矩阵，表现模糊关系 按模糊关系合成的意义，应有按模糊关系合成的意义，应有 因此因此 和和 的内积表示同一论域的两个模糊概念之间的相关程度的内积表示同一论域的两个模糊概念之间的相关程度v模糊向量模糊向量内积内积的的意义意义Ü4.1.3.5 模糊向量模糊向量 。