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1、第八章 选举与决策v第一节第一节 选举方法选举方法v第二节第二节 如何决策如何决策第一节第一节 选举方法选举方法选举的重要意义在于体现某种程度的选举的重要意义在于体现某种程度的公平公平性，即多数人满意。性，即多数人满意。但对专家来说，有这样的问题：多数是不但对专家来说，有这样的问题：多数是不是意味着绝大多数是意味着绝大多数?有没有一个使全社会都有没有一个使全社会都满意的选举方法满意的选举方法?如果没有，则是否可以设如果没有，则是否可以设计一种最完美的选举方法，使得每一个参计一种最完美的选举方法，使得每一个参加选举的成员都感到满意加选举的成员都感到满意? 罗马元老院面临的选择罗马元老院面临的选择
2、 两千多年前，一位名叫泊林尼两千多年前，一位名叫泊林尼(Pliny)的罗马历的罗马历史学家，讲述了这么一个有趣的故事史学家，讲述了这么一个有趣的故事 有一天，罗马元老院出现一场争论，事情涉及有一天，罗马元老院出现一场争论，事情涉及一位突然死亡的大公狄克斯特一位突然死亡的大公狄克斯特(Dexter)所拥有的所拥有的自由奴的生死，因为元老院始终不能确定，大公自由奴的生死，因为元老院始终不能确定，大公狄克斯特是自杀，还是死于自由奴之手狄克斯特是自杀，还是死于自由奴之手 一切问题都围绕在大公的死因上即使自由奴一切问题都围绕在大公的死因上即使自由奴真的杀了他们的大公，也不清楚是否是出于大公真的杀了他们的
3、大公，也不清楚是否是出于大公本人精神上的原因，自由奴由于服从才杀了他，本人精神上的原因，自由奴由于服从才杀了他，因而是一种安乐死行为因而是一种安乐死行为(按照当时罗马法律，自由按照当时罗马法律，自由奴必须被放逐），还是一场真正的谋杀奴必须被放逐），还是一场真正的谋杀(此时自由此时自由奴必须处死奴必须处死)当然，大公也可能是自杀当然，大公也可能是自杀(自由奴自由奴当然无罪释放当然无罪释放) 大公之死大公之死 自杀自杀 他杀他杀 (无罪释放无罪释放) (有罪惩罚有罪惩罚) 安乐死安乐死 谋杀谋杀 (放逐罪放逐罪) (死罪死罪)元老也有三种意见：元老也有三种意见：甲组甲组他们相信自由奴无罪，应予释放
4、；他们相信自由奴无罪，应予释放；乙组乙组他们认为自由奴犯有轻罪，应予放逐；他们认为自由奴犯有轻罪，应予放逐；丙组丙组他们确信自由奴犯有谋杀罪，应处死刑他们确信自由奴犯有谋杀罪，应处死刑现在，自由奴的命运完全取决于元老们的表决现在，自由奴的命运完全取决于元老们的表决方式，我们可以分几种情况来讨论方式，我们可以分几种情况来讨论多数原则多数原则以最多票者的意向为决议。以最多票者的意向为决议。注意，得胜方未必是全体元老的大多数注意，得胜方未必是全体元老的大多数 组别组别甲甲 乙乙 丙丙预设预设A （无罪释放）（无罪释放） B（安乐死）（安乐死） C（死罪）（死罪）百分比百分比 40 35 25非真诚表
5、决：带有谋略的表决。非真诚表决：带有谋略的表决。比方说，丙组的人出于对死刑的顾虑，在表决时比方说，丙组的人出于对死刑的顾虑，在表决时不投不投C票，而改投了票，而改投了B票结果是，票结果是，A只得只得40的的票，而票，而B却得了却得了35+2560的多数票，于是流的多数票，于是流放在等待着自由奴们放在等待着自由奴们!谋略表决谋略表决组别组别甲甲 乙乙 丙丙第一选择第一选择第二选择第二选择第三选择第三选择A B CB A BC C A百分比百分比40 35 25甲组选择甲组选择 A丙组选择丙组选择A B C乙组选择乙组选择 A B C A A AA B AA A C现在假定甲组的元老们仍然坚持选择
6、现在假定甲组的元老们仍然坚持选择A，而乙组，而乙组和丙组的元老们则可任意选择，这时可得到最后和丙组的元老们则可任意选择，这时可得到最后的表决结果。的表决结果。真诚选举：真诚选举：以个人最偏爱的选择进行表决的选举以个人最偏爱的选择进行表决的选举通过分析，建议丙组进行非真诚选举，即选择通过分析，建议丙组进行非真诚选举，即选择B逐轮选举逐轮选举即要求每一步表决都服从于即要求每一步表决都服从于大多数原则大多数原则( (要求半数要求半数以上通过以上通过) )。 4040 6060 A A 非非A A 75 75 2525 B CB C 多数原则：非真诚是最佳策略多数原则：非真诚是最佳策略大多数原则：真诚
7、选举是最佳策略大多数原则：真诚选举是最佳策略现在我们假定，在第一轮表决中要求先确定给予现在我们假定，在第一轮表决中要求先确定给予惩罚惩罚B或或C，又会有什么结果呢？，又会有什么结果呢？ 75 25% B C 40% 60% A B但甲组元老们如果采取策略表决，情况又会不同但甲组元老们如果采取策略表决，情况又会不同 35% 65% B C 75 25 A C捉对表决捉对表决 让每一对候选人对象面对面地进行一次表决（让让每一对候选人对象面对面地进行一次表决（让A对对B，B对对C和和C对对A）。）。于是，在于是，在真诚选举真诚选举的情况下，的情况下，B将以将以60比比40挫挫败败A，B又以又以75比
8、比25挫败挫败 C，而，而A又以又以75比比25挫败挫败C，自然可以把，自然可以把B视为赢家，因为他挫败了所视为赢家，因为他挫败了所有对手。有对手。鹰派赢家：鹰派赢家：一个候选对象，如果能在面对面的捉一个候选对象，如果能在面对面的捉对表决中胜出每一个别的候选对象。对表决中胜出每一个别的候选对象。但如果在但如果在非真诚表决非真诚表决的情况下，会得出一个非常惊的情况下，会得出一个非常惊讶的结论：有时候鹰派赢家可能不存在。讶的结论：有时候鹰派赢家可能不存在。如甲为了抑制如甲为了抑制B的胜出，再一次施行策略表决，即的胜出，再一次施行策略表决，即把原先的意向次序把原先的意向次序A，B，C改成改成A，C，
9、B在在B与与C进行表决时，倒向进行表决时，倒向C的一边，结果就变成为：的一边，结果就变成为：B以以60比比40赢了赢了A； A以以75比比25赢了赢了C； C以以65比比35赢了赢了B选举悖论：选举悖论：B赢了赢了A，A赢了赢了C，C赢了赢了B的循环现的循环现象。象。递推律：递推律：x x在在y y之前，之前，y y在在z z之前，则之前，则x x一定在一定在z z之前之前等级与计分等级与计分波达波达(Borda)记分法：记分法：以递降方式给候选对象打分以递降方式给候选对象打分并累计分，以排出诸对象次序的方法。并累计分，以排出诸对象次序的方法。现在我们用波达记分法来考虑泊林尼的问题，依现在我们
10、用波达记分法来考虑泊林尼的问题，依规则，每位元老以规则，每位元老以3分、分、2分和分和1分来给他们的第一分来给他们的第一（A）、第二（）、第二（B）和第三（）和第三（C）选择记分这样，）选择记分这样，3个议案的得分情况如下个议案的得分情况如下（甲：（甲：ABC，乙：，乙：BAC，丙：，丙：CBA） ：A：(3)(40)+(2)(35)+(1)(25)2.15：B：(3)(35)+(2)(40)+(2)(25)2.35：C：(3)(25)+(1)(40)+(1)(35)1.50 结论是，结论是，B为赢家，为赢家，A其次，其次，C最末最末表面看来，这个方法很公平，但如果出现策表面看来，这个方法很公
11、平，但如果出现策略选举时，波达计分略选举时，波达计分法相当不稳定。法相当不稳定。25位专家对清华大学、北京大学、中国人民位专家对清华大学、北京大学、中国人民大学及北京师范大学大学及北京师范大学4所大学进行综合评估所大学进行综合评估专家们分别以专家们分别以3分、分、2分、分、1分和分和0分给他们分给他们心目中的首席、次席、三席和末席打分，并心目中的首席、次席、三席和末席打分，并要求将要求将4所大学排出次序所大学排出次序注意共有注意共有24种排列法种排列法假定专家共分成假定专家共分成5个组，他们的意向表如下：个组，他们的意向表如下：专家人数专家人数选择选择 8 6 5 4 2第一第一 清清 北北
12、人人 师师 北北第二第二 北北 清清 清清 人人 人人第三第三 人人 师师 北北 清清 师师第四第四 师师 人人 师师 北北 清清现在算出各个大学的得分：现在算出各个大学的得分： 清：清：(3)(8)+(2)(6)+(2)(5)+(1)(4)十十(0)(2)50； 北：北：(3)(6)+(3)(2)+(2)(8)+(1)(5)+(0)(4)45； 人：人：(3)(5)+(2)(4)+(2)(2)+(1)(8)+(0)(6)55； 师：师：(3)(4)+(1)(6)+(1)(2)+(0)(8)+(0)(5)20 评估结果是：评估结果是：(1)清华大学；清华大学；(2)北京大学分；北京大学分；(3
13、)中国人民大学；中国人民大学；(4)北京师范大学北京师范大学波达计分法中，即使每个人都保证实行真诚选举，波达计分法中，即使每个人都保证实行真诚选举，但表决结果往往会因为分制的取法而大相径庭。但表决结果往往会因为分制的取法而大相径庭。某赛马场够得红玉、白雪、如意、和飞驹某赛马场够得红玉、白雪、如意、和飞驹4匹匹良种马，业主为对它们进行估价，决定进行良种马，业主为对它们进行估价，决定进行4次比赛结果如下；次比赛结果如下；比赛轮次比赛轮次 1 2 3 4红玉红玉 第一第一 第三第三 第二第二 第三第三白雪白雪 第二第二 第一第一 第四第四 第二第二如意如意 第四第四 第四第四 第一第一 第一第一飞驹
14、飞驹 第三第三 第二第二 第三第三 第四第四如果我们用如果我们用3分、分、2分、分、1分和分和0分来记第一、第二、分来记第一、第二、第三和第四，我们可以算出：第三和第四，我们可以算出： 红玉：红玉：(3)(1)+(2)(1)+(1)(2)7：第一第一 白雪：白雪：(3)(1)+(2)(2)+(1)(0)7；第一第一 如意：如意：(3)(2)+(2)(O)+(1)(0)6； 飞驹：飞驹：(3)(0)+(2)(1)+(1)(2)4如我们用如我们用5分、分、3分、分、1分和分和0分来记名次，则有分来记名次，则有 红玉：红玉：(5)(1)+(3)(1)+(1)(2)10： 白雪：白雪：(5)(1)+(
15、3)(2)+(1)(O)1l； 如意：如意：(5)(2)+(3)(0)+(1)(0)10； 飞驹：飞驹：(5)(0)十十(3)(1)+(1)(2)5人人是赢家人人是赢家选举方法的选择，表决议程的安排，以及种种策选举方法的选择，表决议程的安排，以及种种策略的实施略的实施，对于表决结果常常是举足轻重的。，对于表决结果常常是举足轻重的。某国内阁某国内阁55位成员要在位成员要在5个党派的提名代表中确个党派的提名代表中确定一位担任总统假定定一位担任总统假定55位成员的意向表如下：位成员的意向表如下：内阁成员内阁成员 18 12 10 9 4 2第一选择第一选择 A B C D E E第二选择第二选择 D
16、 E B C B C第三选择第三选择 E D E E D D第四选择第四选择 C C D B C B第五选择第五选择 B A A A A A现假定每个内阁人员都已严格宣誓实施真诚现假定每个内阁人员都已严格宣誓实施真诚选举。选举。(1)多数原则多数原则显然，候选人显然，候选人A以最多首席票以最多首席票18票当选总统，尽管票当选总统，尽管得票数不足内阁成员的三分之得票数不足内阁成员的三分之(2)逐轮选举之一逐轮选举之一 赢家决胜赢家决胜内阁决定在两位首票领先的候选人中，内阁决定在两位首票领先的候选人中，用用“大多数原则大多数原则”进行一轮决胜表决。则进行一轮决胜表决。则B为总统。为总统。(2)逐轮
17、选举之二逐轮选举之二逐轮淘汰。逐轮淘汰。进行一系列表决，淘汰最少首席得票进行一系列表决，淘汰最少首席得票者。则者。则C为总统。为总统。波达计分法波达计分法: :若以若以5 5分、分、4 4分、分、分别记首席、次席分别记首席、次席，则可以得到各候选人得分如下：，则可以得到各候选人得分如下：A:(5)(18)+(1)(12+lo+9+4+2)l27分；分；B: (5)(12)+(4)(10+4)+(2)(2+9)+(1)(18)156分；分；C: (5)(10)+(4)(9+2)+(2)(18+12+4)162分；分；D:(5)(9)+(4)(18)+(3)(12十十4+2)+(2)(10)191
18、分；分；E:(5)(4+2)+(4)(12)+(3)(18+10+9)189分分.因此，因此，D为总统。为总统。（5）捉对表决）捉对表决每两位候选人进行一次面对面的表决，故共需进行每两位候选人进行一次面对面的表决，故共需进行10次表决，每位候选人各参加次表决，每位候选人各参加4次，在真诚选举的条次，在真诚选举的条件下，件下，E以以37票赢了票赢了A，以，以33票比票比22票赢了票赢了B，以，以36票比票比19票赢了票赢了C，以，以28票比票比27赢了赢了D.这一回，这一回，E将当将当上总统上总统策略选举或非真诚选举策略选举或非真诚选举，事情才变得很复杂。，事情才变得很复杂。阿罗不可能性定理：阿
19、罗不可能性定理：绝对公平的选举系统是不存绝对公平的选举系统是不存在的。在的。第二节第二节 如何决策如何决策To be or not to To be or not to be,Thisbe,This is a question. is a question. Hamlet约会问题约会问题贾斯廷和汤姆在互相竞争中贾斯廷和汤姆在互相竞争中, ,他们两人都热恋着一个他们两人都热恋着一个叫做萨利的女孩子，两人都想在星期六与她举行约叫做萨利的女孩子，两人都想在星期六与她举行约会，困难在于他们之中只有一人会成功，也许两人会，困难在于他们之中只有一人会成功，也许两人都会失败，萨利并不特别喜欢他们中任何一个，
20、而都会失败，萨利并不特别喜欢他们中任何一个，而且并无偏爱，她在下午且并无偏爱，她在下午4 4时离开学校回家，贾斯廷和时离开学校回家，贾斯廷和汤姆都能做下面两件事情之一汤姆都能做下面两件事情之一: :下午下午4 4时她一回家，就打电话给她；或时她一回家，就打电话给她；或亲自到她家去邀请她亲自到她家去邀请她. .如果他们各自在下午如果他们各自在下午4时打电话给她，谁先打通时打电话给她，谁先打通的机会是的机会是50比比50.贾斯廷的家离她家很近，他可以在贾斯廷的家离她家很近，他可以在4：15亲自访亲自访问她，但是汤姆在问她，但是汤姆在4：30前不能赶到，因为他要前不能赶到，因为他要乘公共汽车，乘公共
21、汽车，这里的难题是：他们都认为如果亲自访问她的话，这里的难题是：他们都认为如果亲自访问她的话，她有她有90%可能接受约会（只要她没有先接受那另可能接受约会（只要她没有先接受那另一人）；然而他们认为如果打电话给她的话，她一人）；然而他们认为如果打电话给她的话，她只有只有30%可能接受约会。可能接受约会。那么贾斯廷和汤姆该怎么办呢？那么贾斯廷和汤姆该怎么办呢？清算矩阵清算矩阵 贾斯廷打电话贾斯廷打电话贾斯廷亲自去贾斯廷亲自去而汤姆先打电话而汤姆先打电话 贾斯廷的机会非贾斯廷的机会非常低常低 贾斯廷的机会贾斯廷的机会相当高相当高而汤姆后打电话而汤姆后打电话贾斯廷的机会相贾斯廷的机会相当低当低 汤姆的
22、机会相当汤姆的机会相当高高而汤姆亲自去而汤姆亲自去 贾斯廷的机会相贾斯廷的机会相当低当低贾斯廷的机会非贾斯廷的机会非常高常高 优势策略：优势策略：以贾斯廷的来看，亲自去总是值得的，以贾斯廷的来看，亲自去总是值得的，即不管汤姆怎样决策，右列得分都高于左列。注：即不管汤姆怎样决策，右列得分都高于左列。注：非常高为非常高为90，相当高为，相当高为63，相当低为，相当低为30，非常低为非常低为30，极端低为，极端低为9。汤姆打电话汤姆打电话汤姆亲自去汤姆亲自去而贾斯廷先打电而贾斯廷先打电话话汤姆的机会非常汤姆的机会非常低低 汤姆的机会相汤姆的机会相当高当高而贾斯廷后打电而贾斯廷后打电话话汤姆的机会相当
23、汤姆的机会相当低低 汤姆的机会相汤姆的机会相当高当高而贾斯廷亲自去而贾斯廷亲自去 汤姆的机会相当汤姆的机会相当低低汤姆的机会极汤姆的机会极端低端低所以从汤姆的观点来看，他的优势策略是所以从汤姆的观点来看，他的优势策略是打电话。打电话。分粥问题分粥问题有七个理性人生活在一个孤岛上，他们需有七个理性人生活在一个孤岛上，他们需要在没有任何量具的情况下分一锅粥，要要在没有任何量具的情况下分一锅粥，要求分的平均，问怎样实行？求分的平均，问怎样实行？ 1.一开始，他们抓阄决定谁来分粥，每天轮一开始，他们抓阄决定谁来分粥，每天轮一个一个 。2.推选出一个道德高尚的人出来分粥推选出一个道德高尚的人出来分粥 。
24、3组成三人的分粥委员会及四人的评选委员组成三人的分粥委员会及四人的评选委员会会 。4.轮流分粥，但分粥的人要等其它人都挑完轮流分粥，但分粥的人要等其它人都挑完后拿剩下的最后一碗后拿剩下的最后一碗 。剪刀石头布剪刀石头布游戏规则如下：游戏规则如下：如果一个玩耍者胜了一轮，就得如果一个玩耍者胜了一轮，就得一分，如果平局，则不得分，可以用一分，如果平局，则不得分，可以用清算矩阵清算矩阵来来表示这游戏表示这游戏锡德出布锡德出布锡德出剪刀锡德出剪刀锡德出石头锡德出石头爱丽丝出布爱丽丝出布平局平局锡德胜锡德胜爱丽丝胜爱丽丝胜爱丽丝出剪刀爱丽丝出剪刀 爱丽丝胜爱丽丝胜平局平局锡德胜锡德胜爱丽丝出石头爱丽丝出
25、石头 锡德胜锡德胜爱丽丝胜爱丽丝胜平局平局最佳策略：最佳策略：随机出手随机出手广告比赛广告比赛总的市场规模是相当固定的，只有市场份额会改总的市场规模是相当固定的，只有市场份额会改变假想只有两种牙膏商标：变假想只有两种牙膏商标：“牙洁牙洁”和和“白鲜白鲜”，无需广告的时候两家都能获利，无需广告的时候两家都能获利2百万英镑。但百万英镑。但如果有家公司去做广告而另家不做的话那么将会如果有家公司去做广告而另家不做的话那么将会得到暴利。广告的费用是每年得到暴利。广告的费用是每年1百万英镑。百万英镑。现假定一家作广告另外一家不做广告，那么后者现假定一家作广告另外一家不做广告，那么后者失去全部的赢利。如果是
26、两家都做，结果是相互失去全部的赢利。如果是两家都做，结果是相互影响的抵消，同时每家因广告失去影响的抵消，同时每家因广告失去1百万英镑。百万英镑。作为销售经理，他们该如何选择？作为销售经理，他们该如何选择？牙洁作广告牙洁作广告 牙洁不做广告牙洁不做广告白鲜做广告白鲜做广告各得到各得到1百万百万 白鲜得白鲜得3百万百万白鲜不做广告白鲜不做广告 牙洁得牙洁得3百万百万各得利各得利2百万百万牙洁作广告牙洁作广告 牙洁不做广告牙洁不做广告白鲜做广告白鲜做广告各得到各得到1百万百万 白鲜得白鲜得3百万百万白鲜不做广告白鲜不做广告 牙洁得牙洁得3百万百万各得利各得利2百万百万那么白鲜的销售经理会想：如果牙洁
27、公司做广告，那么白鲜的销售经理会想：如果牙洁公司做广告，我做广告而获利我做广告而获利1百万，不做的话没有获利；如果百万，不做的话没有获利；如果牙洁公司不做广告，我做广告会得利牙洁公司不做广告，我做广告会得利3百万，不做百万，不做的话获利的话获利2百万，所以不管牙洁公司如何，我做广百万，所以不管牙洁公司如何，我做广告总是有利的。告总是有利的。同样，牙洁公司也会得到同样的结论！同样，牙洁公司也会得到同样的结论！牙膏悖论牙膏悖论的产生是的产生是因为两家公司相互竞争而不愿因为两家公司相互竞争而不愿坐下来相互合作。坐下来相互合作。电视大赛中的重大决策电视大赛中的重大决策输的起吗？输的起吗？大赛奖金规则如
28、下：大赛奖金规则如下：开始时，参赛者是一无所有的，在他们每一次答开始时，参赛者是一无所有的，在他们每一次答对了问题以后，他们将逐步上升到下一个奖金水对了问题以后，他们将逐步上升到下一个奖金水平。平。1000(第一条保险底线第一条保险底线) 32000(第二条保险底线第二条保险底线)2000 640004000 1250008000 25000016000 500000怎样当上参赛者怎样当上参赛者胡搅蛮缠胡搅蛮缠被邀请到演播室去的机会微平其微，但即使被邀被邀请到演播室去的机会微平其微，但即使被邀请到了，还需同其他请到了，还需同其他九名九名候选人竞争，那么怎样候选人竞争，那么怎样才能坐到参赛者的位
29、子上去，但如果你认为其他才能坐到参赛者的位子上去，但如果你认为其他竞争者都比你更有知识，那么你就遇到麻烦了。竞争者都比你更有知识，那么你就遇到麻烦了。一点点数学知识就能帮助帮上忙。比如，题目要一点点数学知识就能帮助帮上忙。比如，题目要求从从西至东将下列城市排序：求从从西至东将下列城市排序：(A)巴黎，巴黎，(B)伦敦，伦敦，(C)诺维契，诺维契，(D)布赖顿布赖顿如果这个时候你觉得面临着强大的竞争，此时最如果这个时候你觉得面临着强大的竞争，此时最佳策略是任意的排列，越快越好，这样可保证你佳策略是任意的排列，越快越好，这样可保证你是第一个交卷的，而得到正确答案的机会是是第一个交卷的，而得到正确答
30、案的机会是1/24.但如果有三次这样的机会，这个时候被选中的概但如果有三次这样的机会，这个时候被选中的概率就为：率就为：1(23/24)3,近似为近似为1/7.设想目前已有了设想目前已有了64 000如果你答对下一个问题，如果你答对下一个问题，还将赢得还将赢得125 000英镑，但如果你答错，那么就要英镑，但如果你答错，那么就要失去失去32 000英镑，问题如下：英镑，问题如下：卡儿卡儿.马克思曾为哪家报纸定期撰写专栏文章？马克思曾为哪家报纸定期撰写专栏文章？A 曼彻斯特卫报曼彻斯特卫报 B 纽约先驱论坛报纽约先驱论坛报C 伦敦泰晤士报伦敦泰晤士报 D 法国世界报法国世界报无法肯定正确答案，这
31、个时候可选择锦囊无法肯定正确答案，这个时候可选择锦囊去去掉两个错误答案，此时还有掉两个错误答案，此时还有B和和C。那么此时该如何决策呢？那么此时该如何决策呢？如果对马克思的情况一无所知，可以做如下的决如果对马克思的情况一无所知，可以做如下的决策树：策树：马克思的报纸马克思的报纸50 伦敦泰晤士报伦敦泰晤士报 50 纽约先驱论坛报纽约先驱论坛报但如果对正确答案略有所知，情况会复杂些但如果对正确答案略有所知，情况会复杂些马克思的报纸马克思的报纸 75 伦敦泰晤士报伦敦泰晤士报 25 纽约先驱论坛报纽约先驱论坛报这个时候这些概率只不过是心中的主观感觉而已。这个时候这些概率只不过是心中的主观感觉而已。
32、其实心里面都明白，要么其实心里面都明白，要么100说对，要么说对，要么100说错。说错。如果根据这个时候的主观感觉，这个险值得冒吗如果根据这个时候的主观感觉，这个险值得冒吗？期望值期望值0.51250000.53200078500实际上，只要是实际上，只要是50对对50的机会，在这样的电视大的机会，在这样的电视大赛中，都是值得一赌的。即便是获取赛中，都是值得一赌的。即便是获取50万在手，万在手，也是应该去争取百万英镑的。也是应该去争取百万英镑的。但这么做是否值得呢？这个时候就取决于你的想但这么做是否值得呢？这个时候就取决于你的想法。换句话说，当奖金数额较大时候，决策树上法。换句话说，当奖金数额
33、较大时候，决策树上的价值将受到干扰，那么此时考虑问题必须用的价值将受到干扰，那么此时考虑问题必须用效效用价值用价值来取代来取代货币价值货币价值。为搞清楚效用大小取决于不同对象的问题，下面为搞清楚效用大小取决于不同对象的问题，下面来看三个典型的人物：来看三个典型的人物：安琪：欠债，安琪：欠债，8 0008 000英镑会改变她的一生；英镑会改变她的一生；布瑞安：日子过得相当舒服，但布瑞安：日子过得相当舒服，但50 00050 000英镑能使英镑能使他还清抵押贷款；他还清抵押贷款；克拉丽莎：很有钱，但一百万英镑将能使她向往克拉丽莎：很有钱，但一百万英镑将能使她向往的游艇过户。的游艇过户。下图就为三个
34、的效用图下图就为三个的效用图你是最薄弱环节吗？你是最薄弱环节吗？标准的标准的“最薄弱环节最薄弱环节”大赛，开始时有九个参赛大赛，开始时有九个参赛者，每人都要轮流回答一个问题如果答对了，者，每人都要轮流回答一个问题如果答对了，团队所得的奖金就要上一个台阶但在回答问题团队所得的奖金就要上一个台阶但在回答问题以前，参赛者也可以大喊一声以前，参赛者也可以大喊一声“存银行存银行”，于是，于是就把到那时为止赢得的钱统统存入公有的钱袋，就把到那时为止赢得的钱统统存入公有的钱袋，而下一个问题的货币价值就将跌回初始水平。而下一个问题的货币价值就将跌回初始水平。第第1个问题答对了个问题答对了 可获奖金可获奖金20
35、英镑英镑第第2个问题答对了个问题答对了 可获奖金可获奖金50英镑英镑第第3个问题答对了个问题答对了 可获奖金可获奖金100英镑英镑第第4个问题答对了个问题答对了 可获奖金可获奖金200英镑英镑第第5个问题答对了个问题答对了 可获奖金可获奖金300英镑英镑第第6个问题答对了个问题答对了 可获奖金可获奖金450英镑英镑第第7个问题答对了个问题答对了 可获奖金可获奖金600英镑英镑第第8个问题答对了个问题答对了 可获奖金可获奖金800英镑英镑第第9个问题答对了个问题答对了 可获奖金可获奖金1000英镑英镑什么时候存银行最好？什么时候存银行最好？最基本的策略：最基本的策略：每次答对问题之后，就立即把钱
36、每次答对问题之后，就立即把钱“存银行存银行”，这样一来，每次稳赚，这样一来，每次稳赚20英镑。英镑。另一个策略：另一个策略：手上有手上有50块钱后再去存银行。块钱后再去存银行。现假定每次答对的概率都是为现假定每次答对的概率都是为50，那种策略好，那种策略好？最基本策略期望值：最基本策略期望值：0.5200.5010。另个策略的期望值：另个策略的期望值：0.50.5500.50.500.50.5200.50.5017.5。事实表明，不论进行多少轮，只要是在答对概率事实表明，不论进行多少轮，只要是在答对概率为为50的情况下，前一种策略要比后一种好。的情况下，前一种策略要比后一种好。尽管最优的尽管最
37、优的“存银行存银行”额度随着团队的技额度随着团队的技术水平而上台阶，但是还是可以把术水平而上台阶，但是还是可以把“最薄最薄弱环节弱环节”的最优策略粗略地归纳成三条基的最优策略粗略地归纳成三条基本规则：本规则：如果有一半把握能答对，那么就必须奉行有如果有一半把握能答对，那么就必须奉行有20英英镑就镑就“存银行存银行”的方针。的方针。 如果你们有三分之二把握能答对问题那么到了如果你们有三分之二把握能答对问题那么到了200英镑再英镑再“存银行存银行”，在此之前不存。，在此之前不存。 如果答对问题的把握可达如果答对问题的把握可达90%以上，那么你们可以上，那么你们可把目标定为把目标定为1000英镑，而
38、且根本不必英镑，而且根本不必“存银行存银行” 。蒙特蒙特.霍尔问题霍尔问题 有一个非常著名的决策问题，虽然在电视节目单有一个非常著名的决策问题，虽然在电视节目单上表现平平，但对其正确答案的争议却持续不断，上表现平平，但对其正确答案的争议却持续不断，莫衷一是一位参赛者看到他的面前有三扇门，莫衷一是一位参赛者看到他的面前有三扇门，要求他从中选择一扇门，在某一扇门的背后有着要求他从中选择一扇门，在某一扇门的背后有着一个特别奖，譬如说，一辆汽车，而在另一扇门一个特别奖，譬如说，一辆汽车，而在另一扇门背后的奖品价值微不足道，譬如说，它只是一只背后的奖品价值微不足道，譬如说，它只是一只山羊。不妨假定你就是
39、那位参赛者，而你挑中了山羊。不妨假定你就是那位参赛者，而你挑中了一扇门（一扇门（3号门）但在打开它之前，节目主持人号门）但在打开它之前，节目主持人打开了另外两扇门中的一扇（打开了另外两扇门中的一扇（2号门），让你看到号门），让你看到了山羊，现在还剩下两扇门了，其中一扇门的背了山羊，现在还剩下两扇门了，其中一扇门的背后藏着汽车节目主持人问你，要不要改变一下后藏着汽车节目主持人问你，要不要改变一下选择？也就是说，你是要坚持选择？也就是说，你是要坚持3号门呢？还是换成号门呢？还是换成1号门？号门？百分之九十九的人会坚持他们原来的选择。认为百分之九十九的人会坚持他们原来的选择。认为是是50对对50的机
40、会，干吗要换？的机会，干吗要换？真的是真的是50的概率吗？其实，这里面主持人打开的概率吗？其实，这里面主持人打开门的时候就是一个小小的花招，因为他是知道所门的时候就是一个小小的花招，因为他是知道所有门后面的东西的。其结果并不是有门后面的东西的。其结果并不是0.5，而是，而是2/3.参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。转换将失败。 如果没有最初选择，主持人随便打开一扇是羊的如果没有最初选择，主持人随便打开一扇是羊的门，这个时候转换不转换的概率都是门，这个时候转换不转换的概率都是0.5
