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1、连续性定理连续性定理可微性定理可微性定理可积性定理可积性定理例题例题上的连续函数上的连续函数, 则积分则积分确定了一个定义在确定了一个定义在a, b上的函数上的函数, 记作记作x 称为参变量称为参变量, 上式称为含参变量的积分上式称为含参变量的积分. 一般地，设一般地，设 f (x, y ) 为区域为区域上的二元函数上的二元函数, c ( x ), d ( x ) 在在 a, b 连续，定义连续，定义含参量的积分含参量的积分下面讨论含参量积分的连续性、下面讨论含参量积分的连续性、可微性和可积性可微性和可积性.定理定理19.1 (连续性连续性) 上连续上连续, 则函数则函数在在a, b上连续上连
2、续.若若 在矩形区域在矩形区域 分析分析对任何对任何 x a, b, 要证：要证：连续性定理连续性定理就有就有 即即(积分号下取极限积分号下取极限)证证设设 x, x+x a, b,在闭区域在闭区域 R 上连续上连续, 所以一致连续所以一致连续,由于由于即即只要只要就有就有就有就有 这说明这说明所以，所以，同理可证同理可证, 续续, 则含参变量的积分则含参变量的积分定理定理19.1 表明表明,即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序是可交换的，或说可在积分号下取极限是可交换的，或说可在积分号下取极限 .若若 上连续上连续, 则则在矩形区域在矩形区域
3、在在a, b上连续上连续.定理定理19.2（连续性）（连续性） 如果函数如果函数 在区域在区域上连续，又函数上连续，又函数 与与 在区间在区间 上连续，上连续，则函数则函数在在 a, b 上连续上连续. .证证对积分用换元积分法，令对积分用换元积分法，令于是于是从而从而因为因为在矩形在矩形 a, b 0, 1 上连续，由定理上连续，由定理 得得在在 a, b 上连续上连续例例1求求解解记记因为因为都是都是的连续函数的连续函数所以所以在在连续，从而连续，从而定理定理19.3 (可微性可微性)都在都在可微性定理可微性定理（积分号下求导数（积分号下求导数)分析分析: 要证：要证：即即使得当使得当时，
4、有时，有对任意的对任意的由拉格朗日中值定理，存在由拉格朗日中值定理，存在使得使得证证: 所以所以因此因此从而一致连续，即从而一致连续，即只要只要，有，有因此因此故故 I ( x ) 在在 x 可导，且可导，且由由 x 的任意性，及定理的任意性，及定理 知知I ( x ) 在在 a, b有连续的导函数有连续的导函数. 在定理的条件下在定理的条件下,求导和求积分可交换次序求导和求积分可交换次序,也说可在积分号下求导数也说可在积分号下求导数例例2.解解: 考虑含参变量考虑含参变量 t 的积分所确定的函数的积分所确定的函数显然显然, 于是由定理于是由定理故故因此得因此得定理（定理（可微性可微性）如果函
5、数如果函数在矩形在矩形上连续，上连续， 在在 a, b 上可微，且上可微，且证证: 把把 F ( x )看作复合函数：看作复合函数： 由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有 例例.解解: 例例.验证当验证当 | x | 充分小时充分小时, 函数函数的的 n 阶导数存在阶导数存在, 且且证证: 令令 在原点的某个闭矩形邻域内连续在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理由定理19.4 可得可得即即同理同理当当 x = 0 时，有时，有定理定理19.5 (可积性可积性) 上连续上连续, 则函数则函数在在a, b上可积上可积.若若 在矩形区域在矩形区
6、域 在在c, d上可积上可积.可积性定理可积性定理记记统称为累次积分或二次积分统称为累次积分或二次积分.问：累次积分与积分顺序有关吗？即是否有问：累次积分与积分顺序有关吗？即是否有定理定理19.6 上连续上连续, 则则若若 在矩形区域在矩形区域 证证 记记 其中其中 （积分交换顺序）（积分交换顺序） 于是于是 所以所以 从而从而 ( k 为常数为常数 )当当 u = a 时，时，于是，于是，k = 0 即得即得 取取 u = b , 就得就得 例例4.解解: 由被积函数的特点想到积分由被积函数的特点想到积分:内容小结内容小结上连续上连续, 则函数则函数在在a, b上连续、可积上连续、可积.若若 在矩形区域在矩形区域 在在c, d上连续、可积上连续、可积.且且上连续上连续, 则函数则函数在在a, b上可微，且上可微，且.若若 在矩形区域在矩形区域 在在c, d上可微，且上可微，且.上连续上连续, 则函数则函数若若 在矩形区域在矩形区域
