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1、第四节 控制系统根轨迹的绘制 前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则性质），这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点 “ ”； 画出n-m条渐进线。其与实轴的交点称为重心和倾角分别为： 确定实轴上的根迹区间； 计算极点处的出射角和零点处入射角： 计算根轨迹和虚轴的交点； 计算会合点和分离点： 利用前几步得到的信息绘制根轨迹。注意： 后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。一、 单回路负反馈系统的根轨迹 前面所讨论的根轨迹180度根轨迹是基于单回路负反馈系统的。例开环传递函数为： ，画根轨迹。实轴上根轨迹区间是：-2，0；渐进线倾
2、角： 与实轴的交点为：解 ：标出四个开环极点：0，-2， 。有四条根轨迹。-3+4j处的出射角 ：根据对称性，可知-3-j4处的出射角 为：与虚轴的交点：闭环特征方程为：劳斯阵为：当劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时， 。辅助方程为： ，解得共轭虚根为：即为根轨迹与虚轴的交点。会合点与分离点重根点）：分离角为由 得： 由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：我们知道，分离点在负实轴-2，0区间上，所以当s在实数范围内变化时， 最大时为分离点。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.
3、0-0.8-0.6-0.4-0.2 s可见分离点在-0.8-1.0之间，近似取-0.9。绘制根轨迹，如下图所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345Real AxisImag Axis解：开环零点 ，开环极点根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。一支在无穷远处。实轴上根轨迹区间：例4-4中已求得，分别为分离点=-0.33,会合点=-1.67，分离角分离点和会合点：绘制根轨迹。例4-7设开环系统传递函数为：试绘制根轨迹。例4-8设系统开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。解：开环零，极点分别为：根轨迹有四支。渐近线倾角重心：实轴上根轨迹区间实轴上无分离点和会合点。与虚
4、轴的交点：闭环系统的特征方程为：劳斯阵列：劳斯阵有一行全为0，表示有共轭虚根。令：辅助方程为：出射角：对绘制根轨迹图，见下图-4-3-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5Real AxisImag Axis特殊情况：对于开环传递函数 有零极点相对消的情况。-如：那么： ，引起特征方程阶数的下降。处理方法见下图：-式中：以开环传递函数 绘制根轨迹可得 的极点。闭环 系统 的极点由 和 组合而成。 由零极点相对消减少的极点由 的极点来补充。见下页图。二、 多回路系统的根轨迹 简单处理办法：将多回路系统等效为单回路系统，再绘制180度根轨迹或参量根轨迹。三、 正反馈系
5、统的根轨迹 以上我们讨论的都是闭环负反馈系统的根轨迹绘制准则。在实际的复杂系统中，可能有局部的正反馈的结构。正反馈系统的根轨迹绘制准则与负反馈系统根轨迹略有不同。如下图所示系统：+开环传递函数为：闭环传递函数为：相应的跟轨迹方程为：幅值条件和相角条件为： 与负反馈系统根轨迹比较，幅值条件相同，相角条件不同。负反馈系统的相角条件 是180度等相角条件；而正反馈系统的相角条件 是0度等相角条件。注意： 负反馈系统根轨迹称为180度根轨迹或简称为根轨迹； 正反馈系统根轨迹称为0度根轨迹。绘制0度根轨迹的基本准则：v 对称性和连续性同常规根轨迹；v 起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹；v 渐进线：与实
6、轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，v为： ，有n-m个角度。v 实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零极点之和为偶数包括0的区域。v分离点、会合点和分离角：同常规根轨迹；v 与虚轴的交点：同常规根轨迹；v 闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。v 出射角和入射角：例4-9：设单位正反馈系统的开环传递函数为：，试绘制系统的根轨迹。v 起点在0，-1，-5处，终点在无穷远处。有3支根轨迹。v 渐进线：与实轴的交点倾角：v 实轴上根轨迹区间：-5，-1，0， ）v 分离角点）：由 得：显然， ，不在根轨迹上。分离点为： 。解：比较正负反馈的根轨迹方程：若开环传递函数为： 则正负反馈的根轨迹方程分别为：可见，正反馈根轨迹相当与负反馈根轨迹的 从 时的根轨迹。所以，可将正负反馈系统的根轨迹合并，得 时的整个区间的根轨迹，请阅读p135,图4-29及下页比较图。 左图为正反馈0度根轨迹图；右图为负反馈180度根轨迹图；将例4-9的给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：作业：4-2 a,b，4-3a，4-4小结v 手工绘制180度根轨迹的步骤(单回路负反馈系统和多回路系统根轨迹的绘制)；v 手工绘制0度根轨迹的步骤(单回路正反馈系统根轨迹的绘制)；v 180度根轨迹和0度根轨迹的关系；
