《第三章多维随机变量ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章多维随机变量ppt课件（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1结结束束第三章第三章多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布2结结束束到如今为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布到如今为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 飞机的重心在空中的位置是由飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量三个随机变量(三个坐标来确定三个坐标来确定的等等的等等.但有些随机景象用一个随机变量来描画还不够，而但有些随机景象用一个随机变量来描画还不够，而需求用几个随机变量来描画需求用几个随机变量来描画.如如: 在打靶时在打靶时, 命中点的位置是由命中点的位置是由一对随机变量一对随机变量(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.因此需进一步讨论由多个随机变量构成的随机向量因此需进一步
2、讨论由多个随机变量构成的随机向量.其处置思绪及方法与一维情形一样其处置思绪及方法与一维情形一样, 但方式较一维但方式较一维复杂复杂; 学习时应留意与一维情形的对照学习时应留意与一维情形的对照.3结结束束 设 为实验 E 的的样本空本空间, 假假设对 中中的任一的任一根身手件根身手件 e , 都有独一确定的都有独一确定的 n 个个实数数 X1(e) , , Xn(e) 与之与之对应, 那么叫那么叫 (X1(e) , , Xn(e)为 n 维随机随机变量量, 由于从二维推行到多维普通没有本质性的困难由于从二维推行到多维普通没有本质性的困难,我们重点讨论二维随机变量我们重点讨论二维随机变量 . 定义
3、定义:简记为 ( X1 , , Xn ). 二维随机变量普通用二维随机变量普通用 ( X, Y ) 来表示来表示 . 4结结束束 3.1和和3.2二维随机变量二维随机变量3.1.1 二维随机变量的结合分布与边缘分布二维随机变量的结合分布与边缘分布一、一、X与与 Y 的结合分布函数及边缘分布函数的结合分布函数及边缘分布函数 X 的分布函数的分布函数二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 的分布函数为的分布函数为也叫也叫 X与与 Y 的结合分布函数的结合分布函数.5结结束束 几何表示几何表示: ( X, Y ) 的分布函数的分布函数yx0.(x, y). (X, Y )F (x, y) 为随机
4、点为随机点 (X, Y )落在图中阴影落在图中阴影区域内的概率区域内的概率.6结结束束 容易看出随机点容易看出随机点X，Y落在矩形区域落在矩形区域 的概率为的概率为yx0y1y2x1x2D17结结束束 对二维随机变量对二维随机变量F(x ,y ) ,有如下性质有如下性质:2) F(x,y)是变量是变量x和和y的不减函数的不减函数;3) F(x,y)关于关于x右延续右延续, F(x,y)关于关于y右延续右延续;1)对于恣意的实数对于恣意的实数x ,y ,有有48结结束束 在二维随机变量在二维随机变量( X , Y ) 中中:X 的分布函数称为的分布函数称为 ( X , Y ) 关于关于 X 的边
5、缘分布函数的边缘分布函数, Y 的分布函数称为的分布函数称为 ( X , Y ) 关于关于 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数; 由结合分布函数可确定边缘分布函数由结合分布函数可确定边缘分布函数, 对此有对此有:9结结束束 进一步可定一步可定义 n 维随机随机变量量 (X1 , , Xn ) 的的分布函数分布函数:及关于及关于 Xi ( i = 1, , n ) 的的边缘分布函数分布函数:10结结束束 二、二维离散型随机变量的分布律及边缘分布律二、二维离散型随机变量的分布律及边缘分布律X 的分布律的分布律对二维离散型随机变量对二维离散型随机变量( X, Y ):为为 ( X, Y ) 的分布律，
6、或的分布律，或 X与与 Y 的结合分布律的结合分布律.( X, Y ) 的分布律的性质的分布律的性质:可列表表示可列表表示:(1) 非负非负性性(2) 归一性归一性 XY x1 x2 xi y1yj p11 p21 pi 1 p1 j p2 j pi j 11结结束束 在二维离散型随机变量在二维离散型随机变量( X , Y ) 中中, 称称X 的分布律为的分布律为( X , Y ) 关于关于 X 的边缘分布律的边缘分布律, Y 的分布律为的分布律为( X , Y ) 关于关于 Y 的边缘分布律的边缘分布律; 由结合分布律可确定边缘分布律由结合分布律可确定边缘分布律, 对此有对此有:关于关于 X
7、 的边缘分布律为的边缘分布律为关于关于 Y 的边缘分布律为的边缘分布律为( X, Y ) 的分布律的分布律12结结束束由结合分布律确定边缘分布律由结合分布律确定边缘分布律, 也可列表给出也可列表给出:PX= xi1PY= yj XY x1 x2 xi y1yj p11 p21 pi 1 p1 j p2 j pi j 13结结束束例例1: 一整数一整数 N 等能等能够地在地在1, 2, , 6十个十个值中取一中取一个个值, D=D(N)是能整除是能整除 N 的正整数的个数的正整数的个数, F=F(N)是能整是能整除除 N 的的素数的个数素数的个数, 试确定确定 D 和和 F 的的结合分布律及合分
8、布律及边缘分分布律布律. 解解: 先由先由 N 的取值确定的取值确定 D 和和 F 的取值的取值: 1 2 3 4 5 6NDF102121312142D的能够取值的能够取值 为为1, 2, 3, 4;F 的能够取值的能够取值为为0, 1, 2 ; 再确定取值的概率再确定取值的概率, ,如如: : 等等等等. .可得可得D 和和 F 的的结合分布律及结合分布律及边缘分布律为边缘分布律为:1/ 64/ 61/ 61/ 6 3/ 6 1/ 6 1/ 61D 0 3/6 1/ 6 0F012 1 2 3 4 1/6 0 0 0 0 0 0 1/ 614结结束束 例例2: 将一实验在同一条件下独立地反
9、复进展，直到将一实验在同一条件下独立地反复进展，直到胜利两次胜利两次 为止。设每次实验胜利的概率为为止。设每次实验胜利的概率为p，令，令X为第一次胜利之为第一次胜利之前失败的次数，前失败的次数，Y为两次胜利之间的失败次数，求为两次胜利之间的失败次数，求X 和和Y 的结合分布律及边缘分布律的结合分布律及边缘分布律. 解解: 依题意，依题意，X，Y均服从几何分布，其概率分布为均服从几何分布，其概率分布为 依依题意，意，“X=i“X=i与与“Y=j“Y=j相互独立，那么相互独立，那么其中其中q=1-p,即为所求即为所求X和和Y的结合分布律的结合分布律15结结束束X 的边缘分布律为：的边缘分布律为：Y
10、的边缘分布律为：的边缘分布律为：16结结束束 三、二维延续型随机变量的三、二维延续型随机变量的 概率密度与边缘概率密度概率密度与边缘概率密度 X 的概率密度的概率密度 fX (x) ： 对二维延续型随机变量对二维延续型随机变量( X, Y )有有: f (x, y) 称为称为 ( X, Y ) 的概率密度的概率密度, 或称为或称为 X与与Y 的结合概率密度的结合概率密度.yx0.(x, y). (X, Y )即即: 随机点随机点 (X, Y ) 落在图中落在图中 阴影区域内的概率为阴影区域内的概率为 f (x, y) 在该区域上的积分在该区域上的积分.17结结束束 f (x, y) 为为 (
11、X, Y ) 的概率密度的概率密度, 那那么么(1)非负性非负性(2)归一性归一性概率密度的性质概率密度的性质:(3)对对 xoy 面上的任一区域面上的任一区域 G ,(4)在在 f (x, y) 的延续点上的延续点上, 18结结束束在几何上，在几何上，Z=f(x,y)表示三维空间的一个曲面，性质表示三维空间的一个曲面，性质1阐明，该曲面在阐明，该曲面在xoy面的上方：面的上方：性质性质2阐明，由曲面阐明，由曲面Z=f(x,y) 和和xoy面所包围成的面所包围成的空间区域的体积为空间区域的体积为1；性质性质3阐明，阐明，f(x,y) 在在x,y处的值放映了处的值放映了(X,Y) 在在x,y附近
12、取值的能够性的大小；附近取值的能够性的大小；性性质4阐明，明，P(X,Y) G的的值等于以等于以G为底底,以以Z=f(x,y)为顶的柱体的体的柱体的体积。19结结束束 在二维延续型随机变量在二维延续型随机变量( X , Y ) 中中:X 的概率密度称为的概率密度称为( X , Y ) 关于关于 X 的边缘概率密度的边缘概率密度, Y 的概率密度称为的概率密度称为( X , Y ) 关于关于 Y 的边缘概率密度的边缘概率密度. 由结合概率密度可确定边缘概率密度由结合概率密度可确定边缘概率密度, 对此有对此有:20结结束束解解: 例例1:1:设设 (X, Y) 的分布函数为：的分布函数为：试求试求
13、 (1) a (1) a 、 b b、c , (2) (X, Y ) c , (2) (X, Y ) 的的概率密度概率密度. . (1) 根据分布函数的性质可得根据分布函数的性质可得: (2) 故故 21结结束束例例2 设设 (X, Y) 的概率密度：的概率密度：试求试求 (1) k , (2)(3) 边缘概率密度边缘概率密度 fX ( x ), fY ( y ).解解: (1) 由归一性可得由归一性可得: (2) 故故 xy01作作 f (x, y) 非零区域的图形非零区域的图形, 结合图形进展处置非常有用结合图形进展处置非常有用 22结结束束例例2 设设 (X, Y) 的概率密度的概率密度
14、为为:试求试求 (2) (2)解解: xy01x+y=1xy01y = x最终的积分区域为最终的积分区域为 f (x, y)的非零区域与区域的非零区域与区域 的公共部分的公共部分23结结束束解解: 例例3:3:设设 (X, Y) 的概率密度为：的概率密度为：试求试求 (3) 边缘概率密度边缘概率密度 f X ( x ), f Y ( y ).xy01xy24结结束束四、两个常见的二维延续型随机变量的分布四、两个常见的二维延续型随机变量的分布(一一) 均匀分布均匀分布设设 G 是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为 A; 假设二维随机变量假设二维随机变量 ( X,Y ) 的概率
15、密度为的概率密度为那么称那么称X, Y在在G上服从均匀分上服从均匀分布布.例如例如: 向平面上有界区域向平面上有界区域 G 上任投一质点上任投一质点, 假设质假设质点点落在落在 G内任一小区域内任一小区域 B 的概率与小区域的面积成的概率与小区域的面积成正比正比, 而与而与 B 的外形及位置无关的外形及位置无关. 那么质点的坐标那么质点的坐标 (X, Y ) 在在 G 上服从均匀分布上服从均匀分布.25结结束束(二二) 二维正态分布二维正态分布假设二维随机变量假设二维随机变量 (X, Y ) 的概率密度为的概率密度为那么称那么称 (X, Y) 服从参数为服从参数为其中其中均为常数均为常数, 且
16、且的二维正态分布的二维正态分布.记作记作 (X, Y ) 26结结束束可以证明可以证明: 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布. 那那么么 假设假设 (X, Y ) 留意留意: 由结合分布可以确定边缘分布由结合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布普通不能确定结合分布但由边缘分布普通不能确定结合分布.27结结束束 3.2.2 条件分布条件分布1.离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布例例 设随机变量设随机变量(X,Y)分布律为分布律为 0 1 2Pi. p.jY1X20求求Y=1条件下随机变量条件下随机变量X的分布律的分布律X|Y=128
17、结结束束 解解: P(X=i|Y=1)= 设 离离 散散 型型 随随 机机 变 量量 (X,Y)结 合合 分分 布布 律律P(X=xi,Y=yj)=Pij,i,j=1,2,假假设P(Y=yi)0,那那么么Y=yj条条件件下下,随随机机变量量X的分布律的分布律为:X|Y=1 0 1 2 P(X=xi,|Y=yj) =Pij/p.j i=1,2,29结结束束 即即X|Y=yj x1 x2 xn 同理同理 P(Y =yj, |X =xi) =Pij/pi. j=1,2,30结结束束定义定义: 给定的给定的X=x的条件下的条件下,随机变量随机变量Y的条件分布函的条件分布函数定义为数定义为:2 延续型随
18、机变量的条件分布延续型随机变量的条件分布也记为也记为:31结结束束32结结束束同理可得同理可得假设记假设记 X=x条件下关于条件下关于Y的条件密度函的条件密度函数数33结结束束 例例 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y) 求求解解34结结束束 3.2.3 随机变量的独立性随机变量的独立性P(AB)=P(A)P(B) 事件事件A, B独立独立也就是也就是:定义定义: 假设对恣意的假设对恣意的 x, y 都都有有那么叫随机变量那么叫随机变量 X与与 Y 相互独相互独立立. X 与与 Y 相互独立相互独立对恣意的对恣意的 x, y 有有对二维离散型随机变量对二维离散型随机变量 ( X, Y ):
19、X 与与 Y 相互独立相互独立 对对 ( X, Y )的一切能够取的一切能够取值值 ( xi , yj ),35结结束束例例: :设设 ( X, Y ) 的分布律为的分布律为 而而 X 与与 Y 相互独立相互独立, 试确定试确定 a 和和 b ? 1 2 3X b 1/8 1/16 Y013/16 3/8 a解解: 由归一性得由归一性得 再由独立性列出其它式子再由独立性列出其它式子, , 为此需确定边缘分布为此需确定边缘分布: : 取一式取一式, 如如a+9/16b+3/16b+3/16 1/2 a+1/16 1 1 2 3X b 1/8 1/16 Y01 3/16 3/8 a解得解得36结结
20、束束对二维延续型随机变量对二维延续型随机变量 ( X, Y ):几乎处处成立几乎处处成立对恣意的对恣意的 x, y, X 与与 Y 相互独立相互独立(“几乎几乎处处成立的含成立的含义是：在平面上除去面是：在平面上除去面积 为0的集合外，的集合外，处处成立成立)推论推论 设设X，Y是延续型随机变量，是延续型随机变量，f(x,y)为为X，Y的概率密度函数，那么随机变量的概率密度函数，那么随机变量X，Y独立的充分必要独立的充分必要条件为条件为 f(x,y)=h(x)g(y) 其中其中h(x)，g(y)分别为分别为x,y函数。函数。37结结束束例例: 假设假设 那么那么 X 与与 Y 相互独立相互独立
21、证明证明必要性必要性 X，Y的概率密度函数为：的概率密度函数为：由由X及及Y的边缘概率密度为：的边缘概率密度为：38结结束束因因X，Y相互独立，那么相互独立，那么当当x=1, y=2时，有有即即 充分性充分性 当当=0时，显然然f(x,y)=fX(x)fY(y)对恣意的恣意的x,y均成立，那么均成立，那么X，Y相互独立相互独立39结结束束 例例 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问 X 和和 Y 能否独立？能否独立？解：解：xy0xy对一切对一切x, y, 均有均有 故故 X 与与 Y 相互独立相互独立.40结结束束例例 甲甲到到达达办办公公室室的的时时间间均均匀匀分分布布在在8到到12
22、点点. 乙乙到到达达时时间间均均匀匀分分布布在在7到到9点点. 假假设设他他俩俩到到达达时时间间相相互互独立独立, 试求试求:到达的时间相差不超越到达的时间相差不超越5分钟的概率分钟的概率. 解解:设设 X 为甲到达时辰为甲到达时辰, Y 为乙到达时辰为乙到达时辰,依题意依题意: XU(8, 12), YU(7, 9), 应求应求;41结结束束G结合图形可求出结合图形可求出: 知知 求求 (G 的面积的面积)42结结束束3.3 3.3 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 如何由如何由 (X , Y )的分布求出的分布求出 Z = g (X, Y )的分布的分布?( 设设 g 为延
23、续函数为延续函数)例例1: 设设X,Y)的分布律为的分布律为一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形解解: 求求 Z=X+Y 的概率分布的概率分布. 4/20 3/20 2/20 6/ 20 -1 0 1 2 2/20 0 2/20 1/ 20YX-1 2以概率分布表的方式给出结果如下表以概率分布表的方式给出结果如下表:43结结束束4/20 3/20 2/20 6/ 20 2/20 0 2/20 1/ 20概率概率(X,Y)X+Y(-1,-1) (-1,0)(-1,1) (-1,2)(2,-1) (2,0) (2,1) (2,2)-2 -1 0 1 1 2 3 4由此得到由此得到X+Y的概率分
24、布为的概率分布为4/20 3/20 2/20 8/ 20 2/20 1/ 20PX+Y-2 -1 0 1 3 444结结束束例例2: 设XP(1) , YP(2) ,且且X与与Y相互独立相互独立. 求求证 X+Y P(1 +2).解解: 那么那么X+Y 一切能一切能够取取值为0,1,2,且且45结结束束因因X与与Y相互独立相互独立该结论称为泊松分布的加法性质该结论称为泊松分布的加法性质.46结结束束二、延续型分布的情形二、延续型分布的情形例例 : : 设设 X X 和和 Y Y 的结合密度为的结合密度为 f (x, y), f (x, y), 求求 Z=X+Y Z=X+Y 的密度的密度知知 (
25、X , Y )的概率密度为的概率密度为 f (x, y), 欲求欲求 Z=g (X, Y )的密度的密度?普通可经过分布函数法来处置普通可经过分布函数法来处置.Z=X+Y 的分布函数是的分布函数是: xy0x+y=z令令 x=uy交换积分次序交换积分次序解解:47结结束束由概率密度与分布函数的关系由概率密度与分布函数的关系, 即得即得 Z=X+Y 的概率密度为的概率密度为:由由 X 和和 Y 的对称性的对称性, fZ (z) 又可写成又可写成特别，当特别，当 X 与与 Y 独立时，那么上述两式化为独立时，那么上述两式化为: 这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式 .已得已得 Z=X+Y
26、的分布函数的分布函数48结结束束留意此例的结论：留意此例的结论： 假设假设 X 和和 Y 独立独立, 具有一样的分布具有一样的分布 N(0, 1), 那么那么 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0, 2).假设假设 X 与与 Y 独立独立,结论又如何呢结论又如何呢? 用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: 此结论可以推行到此结论可以推行到 n 个独立随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形.49结结束束 有限个独立正态变量的线性组合服从正态分布有限个独立正态变量的线性组合服从正态分布:假假设设且它们相互独立且它们相互独立, 那么那么50结结束束例例: 假设假设(X, Y ) 的概
27、率密度的概率密度为为求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.解解:Z 的分布函数是的分布函数是:当当时时,yx0112x+y =zz.当当时时,yx0112x+y =zz.51结结束束求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.续解续解:当当时时,当当时时,yx0112x+y =zz.x=z1x+y =zz.yx011252结结束束求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.已求出已求出续解续解:故故53结结束束多多维随随机机变量量及及其其分分布布多维随机变量的多维随机变量的结合分布函数结合分布函数及边缘分布函数及边缘分布函数离散型随机变量的离散型随机变量的结合分布律及边缘分布律结合分布律及边缘分布律延续型随机变量延续型随机变量结合概率密度及结合概率密度及边缘概率密度边缘概率密度随机变量随机变量的独立性的独立性 密度函数密度函数的性质的性质常见的常见的延续型分布延续型分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布 多维随机变量多维随机变量函数的分布函数的分布
