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1、第六章第六章 相似理论与量纲分析相似理论与量纲分析 流体力学的研究方法中实验研究既是理论流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析的依据,同时也是检验理论的准绳,分析的依据,同时也是检验理论的准绳,具有很重要的作用。具有很重要的作用。 本章将探讨实验研究的理论基础:本章将探讨实验研究的理论基础: 相似理论相似理论量纲分析量纲分析模型实验模型实验的基础的基础进行探索性研究的实验基进行探索性研究的实验基础础水电站模型水电站模型常见的模型实验常见的模型实验飞机模型的风洞实验飞机模型的风洞实验第一节第一节 相似理论相似理论 为了保证为了保证模型流动模型流动和和原型流动(或称为实型流动)原型流动(或称为实
2、型流动)具有相同的流动规律,并能从模型流动预测出原具有相同的流动规律,并能从模型流动预测出原型流动的结果,就必须使两者在流动上相似,即型流动的结果,就必须使两者在流动上相似,即保持力学相似关系。保持力学相似关系。 力学相似的定义力学相似的定义:指模型流动和原型流动在对应指模型流动和原型流动在对应点上对应物理量具有一定的比例关系。点上对应物理量具有一定的比例关系。具体来说,具体来说,应满足应满足几何相似几何相似 、运动相似运动相似、动力相似动力相似 。一、力学相似(流动相似)一、力学相似(流动相似)1. 1. 几何相似(空间相似)几何相似(空间相似) 定义:定义: 两流动的对应边长成同一比例,对
3、两流动的对应边长成同一比例,对应角相等。应角相等。模型流动用下标模型流动用下标m表示,原型流动用下标表示,原型流动用下标p表示表示面积比尺面积比尺 长度比尺长度比尺 体积比尺体积比尺 比尺比尺-模型和原型对应参数的比值模型和原型对应参数的比值 2.2.运动相似(时间相似)运动相似(时间相似) 定义:定义:两流动在对应时刻对应点上的流体两流动在对应时刻对应点上的流体速度方向相同,大小成同一比例。速度方向相同,大小成同一比例。运动学物理量运动学物理量的比尺都可以表示为的比尺都可以表示为长度比尺长度比尺和和时间比尺时间比尺的不同组合形式。的不同组合形式。的单位是m2/s加速度比尺加速度比尺速度比尺速
4、度比尺流量比尺流量比尺运动粘度比尺运动粘度比尺kv=klkt-1 ka=klkt-2 kQ=klkt-3 k =kl2kt-1 3. 3. 动力相似(受力相似)动力相似(受力相似) 定义:定义:两流动的对应部位上两流动的对应部位上同种力同种力方向相同,方向相同,大小成同一比例。大小成同一比例。kF称为称为力的比尺力的比尺因为因为得到得到力学物理量力学物理量的比尺也可以表示为的比尺也可以表示为密度比尺、长密度比尺、长度比尺和速度比尺度比尺和速度比尺的不同组合形式的不同组合形式力矩比尺力矩比尺压强比尺压强比尺动力粘度比尺动力粘度比尺 综上所述,要使模型流动和原型流动相似,综上所述,要使模型流动和原
5、型流动相似,需要需要两者在时空相似的条件下动力相似两者在时空相似的条件下动力相似。动力。动力相似用相似用相似准则(相似准数)相似准则(相似准数)的形式来表示,的形式来表示,即:要使模型流动和原型流动相似,两个流动即:要使模型流动和原型流动相似,两个流动必须满足几何相似、运动相似和各相似准则。必须满足几何相似、运动相似和各相似准则。二、相似准则二、相似准则相似准则:指受力学基本定律限制的比尺之相似准则:指受力学基本定律限制的比尺之间的约束关系。间的约束关系。下面分别介绍下面分别介绍单项力单项力作用下的相似准则。作用下的相似准则。1. 1. 雷诺雷诺(Renolds)(Renolds)相似准则相似
6、准则当流动所受当流动所受粘性力粘性力T T相似相似时,满足雷诺相似准则时,满足雷诺相似准则上式称为雷诺相似准则,该式表明上式称为雷诺相似准则,该式表明两流动的粘性力相两流动的粘性力相似时,模型与原型流动的雷诺数相等似时,模型与原型流动的雷诺数相等。引入引入雷诺数雷诺数达朗贝尔原理达朗贝尔原理: : 流体惯性力流体惯性力I I的大小等于流体的质量的大小等于流体的质量与加速度的乘积,方向与流体加速度方向相反,即与加速度的乘积,方向与流体加速度方向相反,即雷诺数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和粘雷诺数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和粘性力之比性力之比2. 2. 弗劳德弗劳德(Froude)(
7、Froude)相似准则相似准则当流动所受当流动所受重力重力G G相似相似时,满足弗劳德相似准则时,满足弗劳德相似准则引入引入弗劳德数弗劳德数上式称为弗劳德相似准则,表明两流动的上式称为弗劳德相似准则,表明两流动的重重力相似时,模型与原型流动的弗劳德数相等力相似时,模型与原型流动的弗劳德数相等。弗劳德数的物理意义在于它反映了流动中弗劳德数的物理意义在于它反映了流动中惯惯性力和重力之比。性力和重力之比。3. 3. 欧拉欧拉(Euler)(Euler)相似准则相似准则当流动所受当流动所受压力压力P P相似相似时,满足欧拉相似准则时,满足欧拉相似准则引入引入欧拉数欧拉数上式称为欧拉相似准则,表明两流动
8、的上式称为欧拉相似准则,表明两流动的压力相似时,压力相似时,模型与原型流动的欧拉数相等模型与原型流动的欧拉数相等。欧拉数的物理意义在于它反映了流动中欧拉数的物理意义在于它反映了流动中压力和惯性压力和惯性力之比。力之比。 或注意:欧拉相似准则不是独立的准则,当雷诺相似注意:欧拉相似准则不是独立的准则,当雷诺相似准则和弗劳德相似准则得到满足时,欧拉相似准则准则和弗劳德相似准则得到满足时,欧拉相似准则将自动满足。将自动满足。4. 4. 斯特劳哈尔斯特劳哈尔(Strouhal)(Strouhal)相似准则相似准则斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数斯特劳哈尔相似准则表明两流动的斯特劳哈尔相似准则表明两流动的时变惯
9、性力相似时变惯性力相似时,模型与原型流动的韦伯数相等时,模型与原型流动的韦伯数相等。韦伯数的物理意义在于它反映了流动中韦伯数的物理意义在于它反映了流动中时变惯性力时变惯性力和位变惯性力之比。和位变惯性力之比。该准则用于非定该准则用于非定常流动常流动5. 5. 韦伯相似准则韦伯相似准则韦伯数韦伯数韦伯相似准则表明两流动的韦伯相似准则表明两流动的表面张力相似时,模型表面张力相似时,模型与原型流动的韦伯数相等与原型流动的韦伯数相等。韦伯数的物理意义在于它反映了流动中韦伯数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和表惯性力和表面张力之比。面张力之比。6. 6. 柯西相似准则柯西相似准则柯西数柯西数柯西相似准
10、则表明两流动的柯西相似准则表明两流动的弹性力相似时,模型与弹性力相似时,模型与原型流动的柯西数相等原型流动的柯西数相等。柯西数的物理意义在于它反映了流动中柯西数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹惯性力和弹性力之比。性力之比。注意:柯西相似准则适用于可压缩液体。注意:柯西相似准则适用于可压缩液体。7. 7. 马赫相似准则马赫相似准则马赫数马赫数马赫相似准则表明马赫相似准则表明两可压缩气体流动两可压缩气体流动的的弹性力相似弹性力相似时,模型与原型流动的马赫数相等时,模型与原型流动的马赫数相等。马赫数的物理意义在于它反映了流动中马赫数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹惯性力和弹性力之比。性力
11、之比。cc当地声速当地声速动力相似可以用相似准则表示,若原型和模型动力相似可以用相似准则表示,若原型和模型流动流动完全动力相似完全动力相似,需满足各相似准则。事实,需满足各相似准则。事实上,上,不是所有的相似准则之间都是相容的不是所有的相似准则之间都是相容的,满,满足了甲,不一定就能满足乙。足了甲,不一定就能满足乙。如:若满足雷诺相似准则如:若满足雷诺相似准则若满足弗劳德相似准则若满足弗劳德相似准则三、近似模型法三、近似模型法若同时满足以上两个相似准则,有若同时满足以上两个相似准则,有1. 1. 当模型与原型采用当模型与原型采用同种流体同种流体,温度也,温度也相同时,得相同时,得模型实验已失去
12、了意义模型实验已失去了意义2. 2. 当模型与原型采用当模型与原型采用不同种流体不同种流体,得,得实验用流体很难找到实验用流体很难找到 因此,模型实验要做到因此,模型实验要做到完全相似完全相似是比较是比较困难的,一般只能达到困难的,一般只能达到近似相似近似相似,也就是说,也就是说只能保证对流动起主要作用的力相似只能保证对流动起主要作用的力相似。 近似模型法近似模型法是指在进行模型设计时,选是指在进行模型设计时,选择合理的相似准则以保证对主要的力学相似。择合理的相似准则以保证对主要的力学相似。近似模型法的第一种近似模型法的第一种弗劳德模型法弗劳德模型法:重力重力占主要地位,通常出现在明占主要地位
13、,通常出现在明渠流、堰流等水利工程中。渠流、堰流等水利工程中。选取弗劳德相似准则选取弗劳德相似准则近似模型法的第二种近似模型法的第二种雷诺模型法雷诺模型法:粘性力粘性力占主要地位,通常出现在有占主要地位,通常出现在有压管流、潜体绕流、水力机械内流动中。压管流、潜体绕流、水力机械内流动中。选取雷诺相似准则选取雷诺相似准则近似模型法的第三种近似模型法的第三种粘性流动中,当雷诺数增大到一定界限后,继粘性流动中,当雷诺数增大到一定界限后,继续提高雷诺数粘性效果是一样的,称为续提高雷诺数粘性效果是一样的,称为自动模自动模型化型化,如圆管流动的阻力平方区。,如圆管流动的阻力平方区。欧拉模型法欧拉模型法:处
14、于自动模型区的粘性流动,会自:处于自动模型区的粘性流动,会自动出现粘性力相似,动出现粘性力相似,自动满足欧拉准则自动满足欧拉准则。名 称比 尺雷诺模型法弗劳德模型法k=1k1流速比尺kvkl-1kkl-1kl1/2力的比尺kFkk2kkl3k流量比尺kQklkklkl5/2时间比尺ktkl2k-1kl2kl1/2近似模型法中常见物理量比尺与近似模型法中常见物理量比尺与基本比尺(基本比尺(k kl l、 k k 、k k )之间的关系之间的关系 例例1 1 有一轿车,高,在公路上行驶,设计时速有一轿车,高,在公路上行驶,设计时速v=108km/h,试用模型实验求出其迎面空气阻力,试用模型实验求出
15、其迎面空气阻力F F。(设在风洞内风速为。(设在风洞内风速为v vm m=45m/s=45m/s,测得模型轿,测得模型轿车的迎面空气阻力车的迎面空气阻力F Fm m=1500N=1500N)解解: 采用雷诺模型法采用雷诺模型法 , Rem=Rep 得到得到 kv=kkl-1 kF=kkl2kv2=kk因为模型实验段内气流温度与轿车在公路上因为模型实验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同,行驶时的温度相同,k=1, k=1,所以所以 kF=1得到轿车在公路上行驶时迎面空气阻力得到轿车在公路上行驶时迎面空气阻力 F=1500N 第二节第二节 量纲分析量纲分析一、量纲分析的基本概念一、量纲分析
16、的基本概念二、量纲和谐性原理二、量纲和谐性原理三、量纲分析法三、量纲分析法瑞利法瑞利法 定理定理 一、一、 量纲分析的基本概念量纲分析的基本概念(一)(一) 量纲量纲物理量单位的种类称为量纲或因次,如长度量纲物理量单位的种类称为量纲或因次,如长度量纲L L。通常用。通常用x表示物理量表示物理量x的量纲。的量纲。用用 表示物理量的量纲,表示物理量的量纲,用(用( )表示物理量的单位)表示物理量的单位(二)基本量纲(二)基本量纲 导出量纲导出量纲基本量纲基本量纲是指具有是指具有独立性独立性的,不能由其它基本量纲的,不能由其它基本量纲的组合来表示的量纲。流体力学的基本量纲共有四的组合来表示的量纲。流
17、体力学的基本量纲共有四个:长度量纲个:长度量纲L L、时间量纲、时间量纲T T、质量量纲、质量量纲MM和温度量和温度量纲纲 。对不可压缩流体,则只需对不可压缩流体,则只需L L、T T、MM三个基本三个基本量纲。量纲。由基本量纲组合来表示的量纲称为由基本量纲组合来表示的量纲称为导出量纲导出量纲。任意一个物理量任意一个物理量x x的量纲都可以用的量纲都可以用L L、T T、MM这三个基本量纲的指数乘积来表示,即这三个基本量纲的指数乘积来表示,即当当00, 0 0, 0 0,x x为为几何学量几何学量;当当00,00, 0 0,x x为为运动学量运动学量;当当00,00,00,x x为为动力学量动
18、力学量。A=v=Q=F=N=p=L2LT-1L3T-1L2T-1ML-3MLT-2ML-1T-2ML2T-3ML-1T-11. 1. 无量纲量的数值大小与所采用的单位制无无量纲量的数值大小与所采用的单位制无关。关。2. 2. 无量纲量可进行无量纲量可进行超越函数的运算超越函数的运算(如对数、(如对数、指数、三角函数的运算)。指数、三角函数的运算)。无量纲量的特点无量纲量的特点如:气体等温压缩所作的功如:气体等温压缩所作的功WW,可写成对数形式,可写成对数形式(三)无量纲量(三)无量纲量当上式中各量纲的指数为零,即当上式中各量纲的指数为零,即 0 0时,时,称称x x为无量纲量。为无量纲量。二、
19、二、 量纲和谐性原理量纲和谐性原理 量纲和谐性原理量纲和谐性原理(或(或量纲一致性原理量纲一致性原理、量纲齐次性量纲齐次性原理原理)是指一个正确、完善的反映客观规律的)是指一个正确、完善的反映客观规律的物理物理方程式方程式中,方程中中,方程中每项每项的量纲应该是的量纲应该是一致一致的。的。如:如: 工程技术中由实验或观测资料整理而得的工程技术中由实验或观测资料整理而得的经验公式经验公式可以可以不不符合该原理。符合该原理。三、量纲分析法三、量纲分析法 当流动问题所涉及的物理量较多时,可以通当流动问题所涉及的物理量较多时,可以通过量纲分析法将变量结合,以便于实验和了解问过量纲分析法将变量结合,以便
20、于实验和了解问题的本质。题的本质。 在量纲和谐性原理基础上发展起来的量纲分在量纲和谐性原理基础上发展起来的量纲分析法有两种:析法有两种:一种为一种为瑞利法瑞利法,适用于比较简单的问题;,适用于比较简单的问题;一种为一种为 定理(布金汉定理(布金汉 定理)定理),是一种具有普,是一种具有普遍性的方法。遍性的方法。(一)瑞利(一)瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)法法确定待定指数确定待定指数a1、a2、an物理方程物理方程量纲和谐性量纲和谐性原理原理 用瑞利法推求物理过程的方程式,在用瑞利法推求物理过程的方程式,在有关有关物理量不超过物理量不超过4 4个个,待求的量纲指数不待求的量纲指数
21、不超过超过3 3个时个时,可直接根据量纲和谐原理,求,可直接根据量纲和谐原理,求得各量纲指数,建立方程式。得各量纲指数,建立方程式。 当有关当有关物理量超过物理量超过4 4个个时,则需采用时,则需采用 定定理理进行分析。进行分析。 (二)布金汉(二)布金汉(BuckinghamBuckingham) 定理定理 对于某个物理现象或过程,如果对于某个物理现象或过程,如果n n个变量存在以个变量存在以下函数关系,下函数关系, f(x1,x2, xn)=0而这些变量含有而这些变量含有m个个基本量基本量,可把这,可把这n n个变量转换个变量转换成为有成为有(n-m)个无量纲量的函数关系式个无量纲量的函数
22、关系式 F( 1, 2, n-m)=0 这样可以表达出物理方程的明确的量间关系,并把这样可以表达出物理方程的明确的量间关系,并把方程中的变量数减少了方程中的变量数减少了m个,更为概括集中表示物个,更为概括集中表示物理过程或物理现象的内在关系。理过程或物理现象的内在关系。应用步骤应用步骤(1 1)确定物理过程的有关物理量)确定物理过程的有关物理量f(x1,x2, xn)=0(2 2)从)从n n个物理量中选取个物理量中选取m m个个基本量基本量。(3 3)基本量依次与其余物理量组成()基本量依次与其余物理量组成(n nm m)个)个无量无量纲纲 项项(4 4)根据量纲和谐原理,确定各)根据量纲和
23、谐原理,确定各 项基本量的指数项基本量的指数a ai i、b bi i、c ci i,求出,求出 1 1、 2 2、n n3 3。(5 5)整理方程式)整理方程式 F( 1, 2, n-m)=0 基本量和基本量和 导出量导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本量和一个物理问题中诸多的物理量分成基本量和导出量,后者可由前者通过某种关系得出。导出量,后者可由前者通过某种关系得出。基本基本量指互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲量指互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲个数个数,所取定的基本量必须包括三个基本量纲在,所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内。内。基本量选取的技巧:几何学量、运动学量
24、、动力基本量选取的技巧:几何学量、运动学量、动力学量各取一个,学量各取一个,即相应的指数行列式不等于即相应的指数行列式不等于0 例例4 4 不可压缩粘性流体在水平圆管内流动,试用不可压缩粘性流体在水平圆管内流动,试用 定定理导出其压强损失理导出其压强损失pp的表达式。的表达式。(1 1)确定有关物理量。)确定有关物理量。根据实验可知,压强损失根据实验可知,压强损失pp与管径与管径d d,管长,管长l l,管壁粗糙度,管壁粗糙度 ,断面平均流速,断面平均流速v v,流体的动力粘度,流体的动力粘度和管内流体密度和管内流体密度有关,即有关,即(2 2)选取基本量。)选取基本量。在有关物理量中选取在有
25、关物理量中选取d d、v v、为为基本量基本量解:解:(3 3)组成)组成 项项, (4 4)确定各)确定各 项基本量的指数,项基本量的指数, L L:a a1 1b b1 13c3c1 11 = 01 = 0,T T:b b1 1 = 0 = 0,MM:c c1 1 = 0 = 0得得 a a1 1 = =1 1,b b1 1 = 0= 0,c c1 1 = 0= 0,同理可得同理可得(5 5)整理方程式。)整理方程式。则则进一步整理进一步整理注意区别达西公式,式中达西公式,式中 称为沿称为沿程阻力系数,与雷诺数程阻力系数,与雷诺数ReRe和相对粗糙度和相对粗糙度/d/d有关,有关,可由实验确定。可由实验确定。综上所述,利用量纲分析方法,可以在综上所述,利用量纲分析方法,可以在仅知与物仅知与物理过程有关物理量的情况下,求出表达该物理过理过程有关物理量的情况下,求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。程关系式的基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数,这个系数要通过实验来确定。而系数,这个系数要通过实验来确定。而量纲分析量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因。因此,量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。此,量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。