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1、第六节第六节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数三、函数的幂级数展开式的应用三、函数的幂级数展开式的应用一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题上节例题存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?证明证明泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数问题问题定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)
2、?不一定不一定.可见可见在在x=0点任意可导点任意可导,证明证明必要性必要性充分性充分性证明证明二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:例例1解解由于由于M的任意性的任意性,即得即得例例2解解例例3解解两边积分两边积分得得即即牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意注意: :双阶乘双阶乘根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.例如例如例例4解解三、函数的幂级数展开式的应用三、函数的幂级数
3、展开式的应用两类问题两类问题: :1.给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关健关健: :通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.1 1、近似计算、近似计算常用方法常用方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之使之成为等比级数或其它易求和的级数成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其从而求出其和和.例例1 1解解余和余和:例例2 2解解其误差不超过其误差不超过 .2 2、计算定积分、计算定积分解法
4、解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数第四项第四项取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得例例3 3解解收敛的交错级数收敛的交错级数3 3、求数项级数的和、求数项级数的和1.1.利用级数和的定义求和利用级数和的定义求和: :(1)直接法直接法;(2)拆项法拆项法;(3)递推法递推法.例例4 4解解2.2.阿贝尔法阿贝尔法( (构造幂级数法构造幂级数法):):(逐项积分、逐项求导逐项积分、逐项求导)例例4 4解解例例5 5解解3 3、欧拉公式、欧拉公式复数项级数复数项级数:复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开
5、式三个基本展开式 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系一种关系. .欧拉公式欧拉公式三、小结三、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.小结小结、近似计算、近似计算,求不可积类函数的定积分，求不可积类函数的定积分，、微分方程的幂级数的解法、微分方程的幂级数的解法(第十二节介绍第十二节介绍)求数项级数的和，欧拉公式的证明；求数项级数的和，欧拉公式的证明；思考题思考题什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？思考题解答思考题解答 从已知的展开式出发从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数求出给定函数展开式的方法称之展开式的方法称之.思考题思考题利用幂级数展开式利用幂级数展开式, 求极限求极限思考题解答思考题解答将上两式代入将上两式代入原式原式=练练 习习 题题练习题答案练习题答案
