《版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形10第8讲解三角形应用举例课件文新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形10第8讲解三角形应用举例课件文新人教A版（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章第四章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 第第 8 讲讲 解三角形应用举例解三角形应用举例 1实际问题中的常用术语实际问题中的常用术语 术语名称术语名称 术语意义术语意义 在目标视线与水平视线所成在目标视线与水平视线所成仰角仰角 与俯角与俯角 的角中，的角中，目标视线在水平视线目标视线在水平视线上方的叫做仰角，上方的叫做仰角，目标视线在目标视线在水平视线下方的叫做俯角水平视线下方的叫做俯角 图形表示图形表示 术语名称术语名称 术语意义术语意义 从某点的指北方向线起按顺从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角方位的水平夹角叫做方位角方
2、位角角 的范围是的范围是 0360 图形表示图形表示 方位角方位角 术语名称术语名称 术语意义术语意义 图形表示图形表示 正北或正南方向线与目标方正北或正南方向线与目标方方向角方向角 向线所成的锐角，通常表达为向线所成的锐角，通常表达为北北(南南)偏东偏东(西西)度度 2解三角形应用题的一般步骤解三角形应用题的一般步骤 判断正误判断正误(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”“” ) (1)从从 A 处望处望 B处的仰角为处的仰角为 ， 从从 B 处望处望 A 处的俯角为处的俯角为 ， 则则 ，的关系为的关系为 180.( ) ? ? ?(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为俯角是铅
3、垂线与视线所成的角，其范围为? ?0，2? ?.( ? ? ? ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系之间的位置关系 ( ) (4)方位角大小的范围是方位角大小的范围是0，2)，方向角大小的范围一般是，方向角大小的范围一般是? ? ? ?0，? ?.( 2? ? ? ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 若点若点 A 在点在点 C 的北偏东的北偏东 30，点，点 B 在点在点 C 的南偏东的南偏东 60，且且 ACBC，则点，则点 A 在点在点 B 的的( ) A北偏东北偏东 15 B北偏西北偏
4、西 15 C北偏东北偏东 10 D北偏西北偏西 10 解析：选解析：选 B.如图所示，如图所示，ACB90， 又又 ACBC， 所以所以CBA45， 而而 30， 所以所以 90453015. 所以点所以点 A 在点在点 B 的北偏西的北偏西 15. 为了在一条河上建一座桥，为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图如图)，要测量，要测量 A，B 两点的距离，测量人员在岸边定出两点的距离，测量人员在岸边定出基线基线 BC，测得，测得 BC50 m，ABC105，BCA45.可可以计算出以计算出 A，B 两点的距离为两点的距离为 ( ) A50
5、2 m C25 2 m B50 3 m 25 2D m 2ABBC解析：选解析：选 A.由正弦定理得由正弦定理得， sin BCAsin CAB250BCsin BCA2所以所以 AB50 2 m. 1sin CAB2 (教材习题改编教材习题改编 )如图，如图，一艘船上午一艘船上午 9： 30在在 A处测得灯塔处测得灯塔 S 在它的北偏东在它的北偏东 30的方向，之后的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达到达B 处，此时又测得灯塔处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东在它的北偏东 75的的方向，方向，且与它相距且与它相距 8 2 n mile，
6、 则此船的航速是则此船的航速是_n mile/h. 解析：设航速为解析：设航速为 v n mile/h ， 1在在ABS中中 AB v，BS8 2，BSA45，由正弦定理得由正弦定理得21v28 2，则，则 v32. sin 30 sin 45 答案：答案：32 如图所示，如图所示， D，C，B 三点在地面的同一直线上，三点在地面的同一直线上， DCa，从从 C，D 两点测得两点测得 A 点的仰角分别为点的仰角分别为 60，30，则则 A 点离地点离地面的高度面的高度 AB_ 解析：因为解析：因为D30，ACB60， 则则CAD30，所以，所以 CACDa， 3所以所以 ABasin 60 a
7、. 23答案：答案：a 2测量距离测量距离(典例迁移典例迁移) 如图所示，某旅游景点有一座风如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道和一条索道 AC，小王和小李打算不，小王和小李打算不坐索道，而是花坐索道，而是花 2 个小时的时间进行徒步攀登，已知个小时的时间进行徒步攀登，已知 ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时李徒步攀登的速度为每小时 1 250米，请问：两位登山爱好者米，请问：两位登山爱好者能否在能否在 2 个小时内徒步登上山峰？个小时内徒步登上山峰
8、？ (即从即从 B 点出发到达点出发到达 C 点点) 【解】【解】 在在ABD 中，由题意知，中，由题意知，ADBBAD30，所，所AB以以 ABBD1，因为，因为ABD120，由正弦定理得，由正弦定理得sinADBAD，解得，解得 AD 3， sinABD在在ACD 中，中， 由由 AC AD CD 2ADCDcos 150 ， 3得得 93CD 2 3CD， 22222333即即 CD 3CD60，解得，解得 CD， 22331BCBDCD， 22 个小时小王和小李可徒步攀登个小时小王和小李可徒步攀登 1 25022 500米，即米，即 2.5千千3313615米，而米，而 2.5， 22
9、2所以两位登山爱好者可以在所以两位登山爱好者可以在 2 个小时内徒步登上山峰个小时内徒步登上山峰 迁移探究迁移探究 (变条件变条件)若本例条件若本例条件“ BD1 km，AC3 km”变变为为“BD200 m，CD300 m” ，其他条件不变，则这条索道，其他条件不变，则这条索道AC长为长为_ 解析：在解析：在ABD中，中，BD200，ABD120. 因为因为ADB30，所以，所以DAB30. BDAD由正弦定理，得由正弦定理，得， sinDABsinABD200AD所以所以. sin 30 sin 120 200sin 120 所以所以 AD200 3(m) sin 30 在在ADC 中，中
10、，DC300 m，ADC150， 所以所以 AC AD DC 2ADDCcos ADC (200 3) 300 2200 3300cos 150 390 000 ，所以，所以 AC100 39. 故这条索道故这条索道 AC长为长为 100 39 m. 22222答案：答案：100 39 m 测量距离问题的解法测量距离问题的解法 选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解 提醒提醒 解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的解三角形时，为避免误
11、差的积累，应尽可能用已知的数据数据(原始数据原始数据)，少用间接求出的量，少用间接求出的量 (2019济南市学习质量评估济南市学习质量评估 )我国我国物权法物权法规定：规定：建造建筑物，建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且光和日照已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为楼高均为 45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m若该小区内某居民在距离楼底若该小区内某居民在距离楼底 27 m 高处的某阳台
12、观测高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为为 45，则该小区的住宅楼楼间距实际为，则该小区的住宅楼楼间距实际为 _m. 解析：设两住宅楼楼间距实际为解析：设两住宅楼楼间距实际为 x m如图，根据如图，根据452727题意可得，题意可得， tanDCAx，tanDCBx18，又，又DCADCB45，所以，所以 tan(DCAx2718xx2DCB)1，整理得，整理得 x 45x27180，解得，解得 x27 181xx54或或 x9(舍去舍去)所以该小区的住宅楼楼间距实际为所以该小区的住宅楼楼间距实际为 54
13、 m. 答案：答案：54 m 测量高度测量高度(师生共研师生共研) 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北在西偏北30的方向上，行驶的方向上，行驶 600 m后到达后到达 B 处，测得此山顶在西偏北处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角的方向上，仰角为为 30，则此山的高度，则此山的高度 CD_m. 【解析】【解析】 由题意，由题意， 在在ABC中，中， BAC30， ABC18075105，故，故ACB45. 600BC又又 AB600 m，故由正弦定理得，故由正弦定理得， s
14、in 45 sin 30 解得解得 BC300 2 m. 3在在 RtBCD 中，中，CDBCtan 30300 2100 6(m) 3【答案】【答案】 100 6 求解高度问题的注意事项求解高度问题的注意事项 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角 (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图 (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的
15、答案，注意方程思想的运用的答案，注意方程思想的运用 (2019湖北七市湖北七市(州州)协作体联考协作体联考 )如图，为了估测某塔的高度，如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的在同一水平面的 A，B 两点处进行测量，在点两点处进行测量，在点 A 处测得塔顶处测得塔顶 C在西偏北在西偏北 20的方向上，仰角为的方向上，仰角为 60；在点；在点 B 处测得塔顶处测得塔顶 C在东偏北在东偏北 40的方向上，的方向上， 仰角为仰角为 30.若若 A， B 两点相距两点相距 130 m，则塔的高度则塔的高度 CD_m. h解析：解析： 由题意可知，由题意可知， 设设 CDh， 则则 AD， BD 3h，
16、 在在ADB3中，中， ADB1802040120， 所以由余弦定理所以由余弦定理 AB222222hBD AD 2BDADcos 120，可得，可得130 3h 3h? ?1? ?2 3h? ?2? ?，解得，解得 h10 39，故塔的高度为，故塔的高度为 10 39 m. ? ?3? ?答案：答案：10 39 测量角度测量角度(师生共研师生共研) 一一艘艘海海轮轮从从 A 出出发发，沿沿北北偏偏东东 75的的方方向向航航行行 (2 32)n mile到达海岛到达海岛 B，然后从，然后从 B 出发，沿北偏东出发，沿北偏东 15的的方向航行方向航行 4 n mile到达海岛到达海岛 C. (1
17、)求求 AC的长；的长； (2)如果下次航行直接从如果下次航行直接从 A 出发到达出发到达 C，求，求CAB的大小的大小 【解】【解】 (1)由题意，在由题意，在ABC中，中， ABC1807515120，AB2 32，BC4， 根据余弦定理得根据余弦定理得 AC AB BC 2ABBCcos ABC (2 32) 4 (2 32)424， 所以所以 AC2 6. 3422(2)根据正弦定理得，根据正弦定理得， sinBAC， 22 6所以所以CAB45. 22222 测量角度问题的基本思路测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问测量角度问题的关键是在弄清
18、题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解 提醒提醒 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角必须先弄清楚是哪一个点的方向角 1.甲船在甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东处观察乙船，乙船在它的北偏东 60的方向，相距的方向，相距 a 海里的海里的 B 处，乙船正向北行驶，处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的若甲
19、船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东船，则应取北偏东 _( 填角度填角度)的方向前进的方向前进 解析：设两船在解析：设两船在 C 处相遇，则由题意处相遇，则由题意 ABC18060AC120，且，且 3， BCACsin 120 由正弦定理得由正弦定理得 3， BCsinBAC1所以所以 sinBAC . 2又因为又因为 0BAC60，所以，所以BAC30. 所以甲船应沿北偏东所以甲船应沿北偏东 30方向前进方向前进 答案：答案：30 2 在一次海上联合作战演习中，在一次海上联合作战演习中， 红方一艘侦察艇发现在北偏东红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，
20、方向，相距相距 12 n mile的水面上，的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小有蓝方一艘小艇正以每小时时 10 n mile的速度沿南偏东的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以方向前进，若红方侦察艇以每小时每小时 14 n mile的速度，的速度， 沿北偏东沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角角 的正弦值的正弦值 解：解： 如图，如图， 设红方侦察艇经过设红方侦察艇经过 x小时后在小时后在 C处追上蓝方的小艇，处追上蓝方的小艇， 则则 AC14x，BC10x，ABC120. 根据余弦定理得根据余弦定理得(14x) 12(10x) 240xcos 120 ， 222解得解得 x2.故故 AC28，BC20. BCAC根据正弦定理得根据正弦定理得， sin sin 120 20sin 120 5 3解得解得 sin . 28145 3所以红方侦察艇所需要的时间为所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角小时，角 的正弦值为的正弦值为. 14
