第三章 随机过程的功率谱密度 主要内容：•随机过程的功率谱密度函数•平稳随机过程功率谱密度函数的性质•功率谱密度函数与自相关函数的关系•平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽•联合平稳随机过程的互功率谱密度•白噪声与色噪声 §3.1 功率谱密度函数3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度 §3.1 功率谱密度函数3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度 确定信号 是在 的非周期实函数， 的傅立叶变换存在的充要条件是：(1). 满足狄利赫利条件(2). 总能量有限，即 则信号 的傅立叶变换为傅立叶反变换为根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式) 称为信号的能量谱密度 3.1.2 随机过程的功率谱密度 •随机过程的样本函数 不满足傅立叶存在的绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在图 3-1 样本函数 •采取截断函数 规范化随机信号，使之满足傅立叶变换条件截断函数定义为：图 3-2 及截断函数 保留有限区间的数据置其它区间为0 当T为有限值时，截断函数满足傅立叶变换条件，傅立叶变换为 傅立叶反变换为 由巴塞伐定理得 对上式两边除2T •样本函数在时间区间 的平均功率。
•由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数，取决于随机试验，平均功率具有随机性•可采用集合平均消除样本函数的随机性，即两边取极限 若设上式表示为 称为随机过程 的功率谱密度如随机过程是宽平稳过程时，则 §3.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系及其性质•自相关函数是从时间域上描述随机过程统计特性的重要特征•功率谱密度是从频率域上描述随机过程统计特性的重要特征•自相关函数 功率谱密度？自相关函数功率谱密度随机过程?timefrequency图3-3 功率谱密度与自相关函数 3.2.1 维纳—辛钦定理 平稳各态历经随机过程 的自相关函数 和功率谱密度 有如下关系： 证明：由功率谱密度函数定义功率谱密度与自相关函数是傅立叶变换对 在区间 定义则有令 则 得证功率谱密度与自相关函数时间平均值是傅立叶变换对 3.2.2 功率谱密度的性质1. 功率谱密度为非负实函数，即证明: 根据功率谱密度定义2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即 证明 : 由功率谱与自相关函数的关系同理 3.平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即 4. 功率谱与相关函数 随机过程平稳随机过程平稳各经历态过程 图3-4 随机过程及其功率谱密度函数非负实数可积偶函数 3.2.3 功率谱 与 平均功率1.平均功率是功率谱在频率空间的积分证明：平稳各态历经 2.特定频率 上平均功率3.单边谱密度 与双边谱密度 物理谱密度函数 4. －函数•功率谱密度指单位带宽上平均功率；•直流与周期平稳随机过程在频率轴有离散谱线；图3-5 周期平稳随机过程及其功率谱密度零带宽上有限功率 无限的功率谱密度 •随机过程的功率谱密度不一定可积，即• －函数图3-6 －函数 •利用 －函数，含有直流分量或周期分量的平稳随机过程的功率谱密度可表示为图 3-7 直流分量图 3-8 周期分量 •若功率谱密度函数为常数，则自相关函数为 —函数。
图3-9 常功率谱函数图3-10 自相关函数 例3-1 平稳随机过程 的自相关函数为求该随机过程的功率谱密度函数解：由维纳－辛钦定理，有 图 3-11 例3-1 3.2.4 几种常见的 与 例3-2 已知平稳随机过程 ，具有功率谱密度为求该过程的自相关函数解：由上例可知，若自相关函数具有 的形式，则功率谱密度为 ，本题中则自相关函数具有如下形式 显然因此所以自相关函数为 §3.3 平稳随机过程的自相关函数时间和等效功率谱带宽•自相关函数反映随机过程在不同时刻的关联程度•功率谱密度函数描述随机过程的平均功率沿频率轴的分布自相关时间从数量上直观描述随机过程的在时间上关联范围等效功率带宽从数量上直观描述随机过程在频率上分布范围 3.3.1 自相关时间相同的数学期望相同的方差(a)(b)图3-12 和 的样本函数曲线(b)图 3-13 和 的自相关函数(a) 因为 ，有由于 扩展比 要大一些，因此 能描述相关程度(b)(a)图 3-14 自相关时间 自相关时间定义：通常，当 时，可认为 与 的相关性已经很弱，实际上已经不相关了。
3.3.2 等效功率谱带宽(a)(b)图3-15 和 的样本函数曲线相同的数学期望相同的方差(a)(b)图3-15 功率谱 因为 ，且所以 能描述出随机过程起伏程度图3-15 等效功率带宽 等效功率带宽定义：通常， 说明了 中起伏的最高频率 3.3.3 时间带宽乘积• 变化缓慢， 变化快， ；• 起伏频繁程度低， 变化起伏频繁程度高， •时间带宽乘积：(a)(b)图3-16 和 的样本函数曲线相同的数学期望相同的方差常数 例3-3 设随机过程 的自相关函数为试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽解：由自相关函数定义 等效功率谱带宽 例3-4 已知平稳过程 的谱密度为求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽解：由自相关函数与功率谱关系有 图 3-17 例3-4 §3.4 联合平稳过程的互功率谱密度•自相关函数反映随机过程在不同时刻的关联程度•互相关函数反映多个随机过程在不同时刻的关联程度功率谱密度函数互功率谱密度函数 3.4.1 互功率谱•随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的绝对可积和能量可积条件。
•采取截断函数规范化随机信号，使之满足傅立叶变换条件 保留有限区间的数据置其它区间为0图 3-18 样本函数及截断函数 保留有限区间的数据置其它区间为0 截断函数 和 满足傅立叶变换的绝对可积和能量有限条件，即 傅立叶变换分别为 在时间范围 内， 和 的互功率为据巴塞伐定理用 代换 ，则有互功率也可表示为 •由于 和 具有随机性， 、 和 也具有随机性；•为消除单一样本的随机性，采取样本的统计平均来得到随机过程 和 的互功率 将时间范围扩展至 ，即 设 则 互功率谱密度 3.4.2 互功率谱的物理意义设实随机过程 ，它由两随机过程 和相加：自相关函数为 对自相关函数取时间平均 则 的功率谱密度为 是 和 绞联、耦合部分在频率空间上的表现 3.4.3 互功率谱与互相关函数的关系1.两个随机过程 和 的互相关函数 和互功率谱 之间满足其中 证明：根据互功率谱定义有由傅立叶变换 2. 若随机过程 和 联合平稳，互相关函数 和互功率谱 之间满足证明：据联合平稳过程的性质，有将其带入一般关系式，就可得此关系。
3.4.4 互功率谱性质1.2.3.若随机过程 和 正交，则4.若随机过程 和 不相关，且的均值为常数 ，则 §3.5 白噪声和色噪声•按功率谱密度函数的形状，可分为白噪声和有色噪声；•白噪声可分为理想白噪声和带限白噪声功率谱函数形状理想白噪声带限白噪声 (a)(b)图 3-19 色噪声(a)和白噪声(b) (a)(b)图 3-20 理想白噪声(a)和带限白噪声(b) 3.5.1 理想白噪声 定义： 若 为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在 的整个区间，即 其中 为一正实数，则称 为白噪声过程简称白噪声 白噪声的自相关函数 自相关时间：等效带宽：平均功率：图 3-21 理想白噪声自相关函数 •理想白噪声是数学上的理想化模型 1.实际过程的平均功率是有限的； 2.现实中的信号都具有一定的惯性，在短时间内的状态总存在一定的相关性•工程中，只要随机过程的功率谱密度在一个比系统带宽大得多的频率范围内近似均匀分布，则可视为白噪声图 3-22 理想白噪声带限白噪声 3.5.2 带限白噪声 定义： 若 为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度在某一个有限频率范围内均匀分布，而在范围外为零，则称随机过程为带限白噪声。
低通型带限白噪声： 带通型带限白噪声： (a)(b)图 3-23 带限白噪声 低通型带限白噪声自相关函数：图 3-23 低通带限白噪声自相关函数 相隔 整数倍的随机变量不相关 带通型带限白噪声自相关函数：图 3-24 带通型带限白噪声自相关函数 3.5.2 色噪声图 3-24 色噪声 例3-5 若 为宽平稳噪声信号，其自相关函数为式中A为常数求其功率谱密度解：由维纳－辛钦定理 。