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1、第十三章第十三章 应力状态分析应力状态分析山西农业大学工学院山西农业大学工学院2工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析第第 13 章章 应力状态分析应力状态分析13-1 概概 述述13-2 平面应力状态分析平面应力状态分析13-4 三向应力状态三向应力状态13-3 平面应力状态下的胡克定律平面应力状态下的胡克定律3工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析13-1 概概 述述1. 应力状态的概念应力状态的概念应力状态应力状态 ： 过一点过一点所有所有各方向截面上的应力各方向截面上的应力全部情况称全部情况称为该为该点的应力状态。点的应力状态。 应力
2、状态分析应力状态分析 ： 分析一点的应力随截面方位改变而变化的规分析一点的应力随截面方位改变而变化的规律。律。 应力状态分析的目的应力状态分析的目的： 为强度分析打基础。了解强度破坏的力学因为强度分析打基础。了解强度破坏的力学因素。素。4工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 通过杆内任意一点所作各个截面上的应力随着通过杆内任意一点所作各个截面上的应力随着截面的方位而改变。截面的方位而改变。5工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 例如轴向拉压时杆件斜截面上的应力分析。例如轴向拉压时杆件斜截面上的应力分析。6工程力学教程电子教案工程力学教程电
3、子教案应力状态分析应力状态分析 类似地，受扭杆件通过杆内任意一点所作各个类似地，受扭杆件通过杆内任意一点所作各个截面上的应力也随着截面的方位而改变。截面上的应力也随着截面的方位而改变。7工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 根据对应力状态的分析，可以了解杆件中材料根据对应力状态的分析，可以了解杆件中材料破坏的力学因素，并建立强度条件。破坏的力学因素，并建立强度条件。8工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析铸铁轴向拉伸：铸铁轴向拉伸：沿横截面拉断破坏，断沿横截面拉断破坏，断口平齐。口平齐。铸铁轴向压缩：铸铁轴向压缩：沿斜截面剪断破坏。沿斜截面
4、剪断破坏。（超过了铸铁材料的（超过了铸铁材料的抗剪强度）抗剪强度） 低碳钢轴向拉伸时，沿低碳钢轴向拉伸时，沿45 斜截面（最大切应力斜截面（最大切应力面）滑移而产生屈服流动。断口有颈缩现象。面）滑移而产生屈服流动。断口有颈缩现象。回顾单向应力状态的情况回顾单向应力状态的情况9工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析低碳钢扭转：低碳钢扭转： 沿横截面剪断破坏。沿横截面剪断破坏。铸铁扭转：铸铁扭转： 沿斜截面拉断破坏。沿斜截面拉断破坏。 铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿45 方向拉方向拉伸引起的断裂。伸引起的断裂。10工程力学教程电子教案工程
5、力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 作构件强度计算时，对于轴向拉压和纯弯曲的作构件强度计算时，对于轴向拉压和纯弯曲的构件，由于其材料处于构件，由于其材料处于单向拉伸或压缩状态单向拉伸或压缩状态，故可，故可根据构件横截面上的正应力与也是单向拉伸（压缩）根据构件横截面上的正应力与也是单向拉伸（压缩）时材料的许用应力加以比较来建立时材料的许用应力加以比较来建立强度条件强度条件。 对于自由扭转的构件，其材料处于对于自由扭转的构件，其材料处于纯剪切应纯剪切应力状态力状态，故可根据构件横截面上的切应力与纯剪，故可根据构件横截面上的切应力与纯剪切时材料的许用应力加以比较来建立切时材料的许用应力加以比较
6、来建立强度条件强度条件。11工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 但对于一般的情况，例如梁在横力弯曲时，但对于一般的情况，例如梁在横力弯曲时，在梁的横截面上，除去离中性轴最远的和中性轴上在梁的横截面上，除去离中性轴最远的和中性轴上的各点以外，在其他各点处既有正应力又有切应力，的各点以外，在其他各点处既有正应力又有切应力，材料处于复杂的应力状态。当需要按照这种点处的材料处于复杂的应力状态。当需要按照这种点处的应力对梁进行强度计算时，必须考虑两种应力对材应力对梁进行强度计算时，必须考虑两种应力对材料强度的综合影响。要解决这类情况下的强度计算料强度的综合影响。要解决这类情
7、况下的强度计算问题，就需要全面的研究一点处的应力状态。问题，就需要全面的研究一点处的应力状态。12工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析2. 应力状态分析的方法应力状态分析的方法 单元体单元体：一点处取出的边长无限小的正立方体。：一点处取出的边长无限小的正立方体。应力特点应力特点：单元体各表面上的应力视为均匀分布。：单元体各表面上的应力视为均匀分布。平行面上的应力相等。相邻垂直面上的切应力根平行面上的应力相等。相邻垂直面上的切应力根据切应力互等定理确定。据切应力互等定理确定。 取研究对象取研究对象 截开并考察平衡截开并考察平衡 讨论结果讨论结果13工程力学教程电子教案
8、工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析14工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析13-2 平面应力状态分析平面应力状态分析1. 求斜截面上的应力求斜截面上的应力15工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析16工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析17工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析应力圆圆心：应力圆圆心：半径：半径：标准圆方程：标准圆方程：2. 作应力圆作应力圆应力圆方程：应力圆方程：18工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析作应力圆：作应力圆：(2) 注
9、意应力的符号，特别是切应力注意应力的符号，特别是切应力求斜截面上的应力：求斜截面上的应力：(1) 找准起始点找准起始点(2) 角度的旋转以角度的旋转以C为圆心为圆心(3) 旋转方向相同旋转方向相同(4) 2倍角的关系倍角的关系(5) 应力的符号应力的符号(1) 注意截面的选取注意截面的选取(1) 点与面对应。点与面对应。(2) 倍角与角对应。倍角与角对应。应力圆与单元体的对应关系：应力圆与单元体的对应关系：19工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析角度的取值范围和对应关系：角度的取值范围和对应关系：20工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析3
10、. 主应力与主平面主应力与主平面 单元体内切应力为零的截面称为主平面，主平单元体内切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力是单元体内各截面上正应力的极值，面上的正应力是单元体内各截面上正应力的极值，称为主应力。称为主应力。 可以证明，受力物体内任何一点处至少有三个可以证明，受力物体内任何一点处至少有三个相互垂直的主平面和三个相应的主应力。相互垂直的主平面和三个相应的主应力。21工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 平面（二向）应力状态为有两个主应力不等于平面（二向）应力状态为有两个主应力不等于零的应力状态。零的应力状态。22工程力学教程电子教案工程力学教程电子教
11、案应力状态分析应力状态分析23工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析如图所示的三个单元体是否处于平面应力状态？如图所示的三个单元体是否处于平面应力状态？思考题思考题 13124工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析思考题思考题13 -1参考答案：参考答案：单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态平面应力状态平面应力状态25工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 根据图示应力圆是否可知，对于图根据图示应力圆是否可知，对于图(a)示的单示的单元体，元体，(1) 垂直于垂直于 x y平面的截面上之最大平面的截面上之
12、最大切切应力应力其值为其值为 max=( 1- 2)/2，作用在自，作用在自 1作用截面逆时针作用截面逆时针旋转旋转45的面上；的面上；(2) 该截面上还有正应力，其值为该截面上还有正应力，其值为( 1+ 2)/2。 思考题思考题 13-2(a)26工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 求图示应力状态下单元体的与纸面垂直的任意求图示应力状态下单元体的与纸面垂直的任意斜截面上的应力。斜截面上的应力。思考题思考题 13-327工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析平面应力状态的应力圆平面应力状态的应力圆 1 2 3平面应力状态平面应力状态28工
13、程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析单向应力状态单向应力状态平面应力状态平面应力状态29工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析(1) 一点的应力随截面方位的改变而变化。一点的应力随截面方位的改变而变化。 4. 小结小结(2) 切应力极值：切应力极值：30工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析(4) 主平面主平面主应力主应力主方向主方向(3) 正应力极值：正应力极值： 1 2 右图为平面应力状右图为平面应力状态的应力图，态的应力图， 3=0。31工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析(1) 基
14、本概念，描述方法及其分类基本概念，描述方法及其分类(回顾）回顾）5. 点的应力状态分析点的应力状态分析描述方法：单元体法，即三描述方法：单元体法，即三个方向均为无穷小的立方体个方向均为无穷小的立方体特点：特点：每个面上应力均匀分布，相每个面上应力均匀分布，相互平行的一对面上应力相等，互平行的一对面上应力相等，且等于杆件相应截面上该点且等于杆件相应截面上该点的应力。的应力。32工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析主平面主平面 无切应力，只有正应力的平面。无切应力，只有正应力的平面。(2) 点的应力状态分类点的应力状态分类正应力正应力拉为正，压为负，切应力拉为正，压为负
15、，切应力从坐标轴从坐标轴正向看，绕单元体内任意点顺时针转时为正，正向看，绕单元体内任意点顺时针转时为正，反之为负。反之为负。主应力主应力 主平面上的正应力。主平面上的正应力。 1 2 3 对任一点必存在三个相互垂直的主平面及相对任一点必存在三个相互垂直的主平面及相应的主应力，约定三个主应力按代数值大小排序。应的主应力，约定三个主应力按代数值大小排序。应力符号规定：应力符号规定：33工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析(b) 平面（二向）应力状态平面（二向）应力状态有两个主应力不为零。有两个主应力不为零。(c) 空间（三向）应力状态空间（三向）应力状态三个主应力均不为
16、零三个主应力均不为零。(a) 单向应力状态：只有一个主应力不为零。单向应力状态：只有一个主应力不为零。分类分类34工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析6. 平面（二向）应力状态分析平面（二向）应力状态分析已知已知:单元体各面应力单元体各面应力大小，求任一大小，求任一斜截面上斜截面上的应力。由平衡方程的应力。由平衡方程(1)35工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析(2)求最大、最小正应力及其方位求最大、最小正应力及其方位主应力及主方向主应力及主方向另一主应力为零。另一主应力为零。得得令令36工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分
17、析应力状态分析(3) 问题：问题：为什么上式的正应力为极值正应力为什么上式的正应力为极值正应力?两个主方向与两个主应力的对应关系？两个主方向与两个主应力的对应关系？(4) 图示纯剪切应力状态，试求主应力及主方向。图示纯剪切应力状态，试求主应力及主方向。37工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析(5)常见的平面应力状态常见的平面应力状态应力圆如右图。应力圆如右图。 问题问题:在基本变形中在基本变形中, 杆件内那些点为上述应力杆件内那些点为上述应力状态？根据上述结果可以确定三个主应力的顺序状态？根据上述结果可以确定三个主应力的顺序吗吗?38工程力学教程电子教案工程力学教程
18、电子教案应力状态分析应力状态分析13-3 平面应力状态下的胡克定律平面应力状态下的胡克定律 各向同性材料在平面应力状态下，当变形微小各向同性材料在平面应力状态下，当变形微小时，线应变只与该点处的正应力相关，而与切应力时，线应变只与该点处的正应力相关，而与切应力无关。在线弹性且变形微小时，可将任意的平面应无关。在线弹性且变形微小时，可将任意的平面应力状态看作两个单向应力状态和一个纯剪切应力状力状态看作两个单向应力状态和一个纯剪切应力状态的叠加。态的叠加。39工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析平面应力状态下的应变：平面应力状态下的应变：上式即为平面应力状态下的胡克定律
19、。上式即为平面应力状态下的胡克定律。40工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析平面应力状态下的胡克定律的另一表达式：平面应力状态下的胡克定律的另一表达式：注意：注意： z = 0，但，但e ez0。41工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 已知已知|e ea |+|e eb |= 400 10-6 ，E=200 109Pa，n n =0.25，外径外径D =120 mm，内径，内径d =80 mm，求求M。解：解：例题例题 13142工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 = 例题例题 13143工程力学教程电子教
20、案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析例题例题 13144工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析根据胡克定律：根据胡克定律： 平面应力状态下由测点处的线应变求应力平面应力状态下由测点处的线应变求应力45工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 一般地说，要确定一点处的一般地说，要确定一点处的平面应力状态，必须测定三个方平面应力状态，必须测定三个方向的线应变；只有在确切知道该向的线应变；只有在确切知道该点处两个不为零的主应力之方向点处两个不为零的主应力之方向的情况下，才只需测定这两个主的情况下，才只需测定这两个主应力方向的线应变。应力方向
21、的线应变。46工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析13-4 三向应力状态三向应力状态 1 2 3平面应力状态（三向应力状态的特例）平面应力状态（三向应力状态的特例） 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力均不为零。均不为零。47工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析单向应力状态（三向应力状态的特例）单向应力状态（三向应力状态的特例）平面应力状态平面应力状态48工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 应力圆表达了与主应力为零的面相垂直的诸截应力圆表达了与主应力为零的面相垂直的
22、诸截面上应力情况。事实上即使那个面上的主应力不为面上应力情况。事实上即使那个面上的主应力不为零而单元体处于三向应力状态时，因为平行于该主零而单元体处于三向应力状态时，因为平行于该主应力的那组截面上的应力不受它的影响，而按平面应力的那组截面上的应力不受它的影响，而按平面应力状态绘出的通过表示主应力状态绘出的通过表示主应力应力 1、 2的点的点A1 A2之应之应力圆，仍然表示那组截面力圆，仍然表示那组截面上的应力情况，即代表平上的应力情况，即代表平行于该主应力的诸截面上行于该主应力的诸截面上应力的情况。应力的情况。49工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 可以证明，代表
23、不平行于任一主应力的任意斜可以证明，代表不平行于任一主应力的任意斜截面上的应力的点必定落在三个以主应力作出的应截面上的应力的点必定落在三个以主应力作出的应力圆之间。即图中代表力圆之间。即图中代表abc截面上的应力截面上的应力 和和 的的D点，必定落在三个应力圆所围成的阴影范围内。在点，必定落在三个应力圆所围成的阴影范围内。在 - 直角坐标系内，代表单直角坐标系内，代表单元体任何截面上应力的点，元体任何截面上应力的点，必定在三个应力圆的圆周必定在三个应力圆的圆周上以及由它所围成的阴影上以及由它所围成的阴影范围以内。范围以内。50工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析三向
24、应力状态三向应力状态51工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析三向应力状态三向应力状态1. 最大切应力最大切应力 作用在平行于主应力作用在平行于主应力 2且自且自 1作用面逆时针转作用面逆时针转45的面上，它使分离体有顺的面上，它使分离体有顺时针转动的趋势。时针转动的趋势。52工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析2. 胡克定律胡克定律 各向同性材料在三向应力状态下的胡克定律，称各向同性材料在三向应力状态下的胡克定律，称为广义胡克定律，对线弹性，小变形，由叠加原理为广义胡克定律，对线弹性，小变形，由叠加原理有有:53工程力学教程电子教案工程力
25、学教程电子教案应力状态分析应力状态分析3. 各向同性材料的体应变各向同性材料的体应变 材料受力而变形时其体积的相对变化称为体应材料受力而变形时其体积的相对变化称为体应变变q q。取三个边长分别为取三个边长分别为a1、a2、a3的的单元体，它在受力而变形后边单元体，它在受力而变形后边长分别为长分别为a1(1+e e1)，a2(1+e e2)，a3(1+e e3)，故体应变为故体应变为54工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析将上式将上式展开并略去高阶微量展开并略去高阶微量e e1e e2，e e2e e3，e e3e e1，e e1e e2e e3，再，再利用各向同性材
26、料的广义胡克定律得利用各向同性材料的广义胡克定律得55工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 边长边长a =0.1 m的铜质立方体，置于刚性很大的的铜质立方体，置于刚性很大的钢块中的凹坑内钢块中的凹坑内( (图图a) )，钢块与凹坑之间无间隙。试钢块与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向荷载求当铜块受均匀分布于顶面的竖向荷载F =300 kN时，铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块的体时，铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块的体应变。已知铜的弹性模量应变。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比泊松比n n0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。
27、铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。例题例题 13-256工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析1. 铜块水平截面上的压应力为铜块水平截面上的压应力为 例题例题 13-2解解:57工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 2. 铜块在铜块在 y作用下不能横作用下不能横向膨胀，即向膨胀，即e ex=0，e ez0，可可见铜块的见铜块的x截面和截面和z截面上必截面上必有有 x和和 z存在存在(图图b) 。按照广义胡克定律及按照广义胡克定律及e ex0和和e ez0的条件有方程：的条件有方程：例题例题 13-258工程力学教程电子教案工程力学教程电子
28、教案应力状态分析应力状态分析 从以上二个方程可见，当它们都得到满足时从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显然显然 x= z。于是解得于是解得 由于忽略铜块与钢块上凹坑之间由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以的摩擦，所以 x， y， z都是主应都是主应力，且力，且例题例题 13-259工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析3. 铜块内的最大切应力为铜块内的最大切应力为例题例题 13-260工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析4. 铜块的体应变为铜块的体应变为例题例题 13-261工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状
29、态分析4. 应变能密度应变能密度 在在 “轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩”中已讲到，中已讲到，应变能密度应变能密度是指物体产生弹性变形时单位体积内积蓄的应变能，是指物体产生弹性变形时单位体积内积蓄的应变能，并导出了单向拉伸或压缩应力状态下的应变能密度计并导出了单向拉伸或压缩应力状态下的应变能密度计算公式：算公式：在在 “扭转扭转”中讲到了纯剪切这种平面应力状态下中讲到了纯剪切这种平面应力状态下的应变能密度：的应变能密度：在此基础上，介绍在此基础上，介绍三向应力状态下的应变能密度三向应力状态下的应变能密度。62工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析把由把由主应力和主应变表
30、达的广义胡克定律代入上主应力和主应变表达的广义胡克定律代入上式，经整理简化后得式，经整理简化后得 为了便于分析，这里按一点处三个主应力按同为了便于分析，这里按一点处三个主应力按同一比例由零增至最后的值这种情况，即通常所称的一比例由零增至最后的值这种情况，即通常所称的比例加载或简单加载情形，来分析以主应力显示的比例加载或简单加载情形，来分析以主应力显示的三向应力状态下，各向同性材料在线弹性且小变形三向应力状态下，各向同性材料在线弹性且小变形条件下的应变能密度。此时：条件下的应变能密度。此时：63工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析体积改变能密度和形状改变能密度体积改变
31、能密度和形状改变能密度 图图a所示单元体在主应力作所示单元体在主应力作用下不仅其体积会发生改变，而用下不仅其体积会发生改变，而且其形状且其形状( (指单元体三个边长之指单元体三个边长之比比) )也会发生改变。这就表明，也会发生改变。这就表明，单元体内的应变能密度单元体内的应变能密度ve e包含了包含了体积改变能密度体积改变能密度vv和和形状改变能形状改变能密度密度vd两部分，即两部分，即ve evvvd。64工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 如果将图如果将图a所示应力状态分解为图所示应力状态分解为图b和图和图c所示所示两种应力状态，则可见：两种应力状态，则可见：
32、 (1)(1)图图(b)(b)所示的三个主应力都等于平均应力所示的三个主应力都等于平均应力 m=( 1+ 2+ 3)/3 的情况下的情况下,单元体只有体积改变而无形单元体只有体积改变而无形状改变，其应变能密度就是体积改变能密度，而形状改变，其应变能密度就是体积改变能密度，而形状改变能密度为零。状改变能密度为零。65工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 (2) 图图c所示三个主应力分别为所示三个主应力分别为 1- m， 2- m， 3- m的的情况下，三个主应力之和为零，单元体没有情况下，三个主应力之和为零，单元体没有体积改变而只有形状改变，故该单元体的应变能密体积改
33、变而只有形状改变，故该单元体的应变能密度就是形状改变能密度，而体积改变能密度为零。度就是形状改变能密度，而体积改变能密度为零。66工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析由由以上分析可知：以上分析可知： (1) 图图a所示单元体的体积改变能密度就等于图所示单元体的体积改变能密度就等于图b所示单元体的应变能密度，故对图所示单元体的应变能密度，故对图a所示单元体有所示单元体有67工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析 在下一节所讲的强度理论中要运用形状改变能在下一节所讲的强度理论中要运用形状改变能密度。密度。 (2) 图图a所示单元体的形状改变能密度就等于图所示单元体的形状改变能密度就等于图c所示单元体的应变能密度，故对图所示单元体的应变能密度，故对图a所示单元体有所示单元体有68工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案应力状态分析应力状态分析
