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1、第三第三节 格林公式及其格林公式及其应用用(2)(2)一、曲一、曲线积分与路径无关的定分与路径无关的定义 二、曲二、曲线积分与路径无关的条件分与路径无关的条件三、三、二元函数的全微分求二元函数的全微分求积四四、小、小结例例. 计算其中L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式G Gy yx xo o一、曲一、曲线积分与路径无关的定分与路径无关的定义: :B BA A如果在区域如果在区域G G内有内有如果与路径无关,再注意一下曲线积分的方向,可把上式写成DL1ABL2L2xy定理定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1
2、) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 二、平面上曲二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件分与路径无关的等价条件说明明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明明 (1) (2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)证明明 (2) (3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 证明明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得则P, Q
3、在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式格林公式 , 得所围区域为证毕说明明: 根据定理2 , 若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;解解:例例7. 计算其中L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D , 则例例8. 验证在xoy平
4、面内是某个函数的全微分,并求出这个函数。 证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。例例9. 验证在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证: 令则由定理定理 2 可知存在原函数或重要重要结论:函数与路径无关, 只与起止点有关，记起点具有一阶,连续偏导数,若D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分 为A,止点为B,则 在 D 内存在某一函数设D 是单连通域 ,解一解一:解法二：解法二：内容小内容小结1. 格林公式2. 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有思考与思考与练习1. 设且都取正向, 问下列计算是否正确 ?提示提示:2. 设提示提示:作作业P213 1 (1); 2(1)(2) 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5) 备用用题 1. 设 C 为沿从点依逆时针的半圆, 计算解解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =到点2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到点B(3, 4),到原点的距离,解解: 由图知 故所求功为锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,
