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1、第四节二、中值定理与泰勒公式二、中值定理与泰勒公式 三、极值问题三、极值问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第十七章 一、高阶偏导数一、高阶偏导数 一、高阶偏导数一、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于
2、y 的一阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为例例1. 求函数解解 :注意注意: :此处但这一结论并不总成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 例如例如,二者不等机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: :令则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.令同样在点连续,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明说明:本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序
3、.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等复合函数的高阶偏导数复合函数的高阶偏导数例例2. 证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性 , 有方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 为简便起见 , 引入记号例例3. 设 f 具有二阶连续偏导数,求解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 (当 在二、三象限时, )例例4. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在解解: 已知极坐标系下的形式(1), 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 题目 目录 上页 下页 返回 结束 已知注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回
4、结束 同理可得题目 目录 上页 下页 返回 结束 二、中值定理与泰勒公式二、中值定理与泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记号记号 (设下面涉及的偏导数连续): 一般地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示表示定理定理1 1.的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任 一点, 则有其中 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 令则 利用多元复合函数求导法则可得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地, 由 的麦克
5、劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭邻域其绝对值必有上界 M , 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 当 n = 0 时, 得二元函数的 拉格朗日中值公拉格朗日中值公式式:(3) 若函数在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零, 由中值公式可知在该区域上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求函数解解: 的三阶泰勒公式. 因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 多元函数的极值问题多元函数的极值问
6、题 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值极值, 使函数取得极值的点称为极值点极值点.的某邻域内有机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点驻点 （或稳定点稳定点）. 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有存在故机动 目录 上页 下页 返回
7、结束 时, 具有极值极值的充分条件极值的充分条件的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A 0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数定理定理2 (充分条件)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意则有所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是(1) 当 ACB2 0 时, 必有 A0 , 且 A 与C 同号, 可见 ,从而z0 , 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而 z0,(2) 当 ACB2 0 时, 若A , C不全为零, 无
8、妨设 A0, 则 时, 有异号;同号.可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 +若 AC 0 , 则必有 B0 ,不妨设 B0 , 此时 可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, (3) 当ACB2 0 时, 若 A0, 则若 A0 , 则 B0 ,为零或非零机动 目录 上页 下页 返回 结束 此时因此 第十节 目录 上页 下页 返回 结束 不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 . 例例1.1. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步
9、判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此为极小值.正正负负0在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能为机动 目录 上页 下页 返回 结束 最值应用问题最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在
10、, 且只有一个只有一个极值点P 时, 为极小 值为最小 值( (大大) )( (大大) )依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形
11、的水槽,倾角为 ,积最大. 为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束 令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .如对二元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数, 确定定义域确定定义域2. 函数的最值问题函数的最值问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组, 得故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
