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1、三、三、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的概念函数连续性的概念 函数的连续性 第二章第二章 二、连续函数的四则运算及初等函数的连续性二、连续函数的四则运算及初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 可见可见 , 函数函数在点在点一、一、 函数连续性的概念函数连续性的概念定义定义1在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 则则称函数称函数(1) 在点在点即即(2) 极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在 ;有有函数的函数的增量增量当当x0时，时， 对自变量的对自变量的增量增量若若f
2、 (x)在在x0点处连续，则点处连续，则定义定义4则称函数则称函数f (x)在点在点 x0处处左连续；左连续；则称函数则称函数f (x)在点在点 x0处处右连续。右连续。例如：例如： f (x)=x1,x,x 1.1,显然显然f (1)=1，而，而1= f (1)即即 f (x)在在x =1处处是是右连续。右连续。f (1)即即 f (x)在在x =1处处不是不是左连续。左连续。由函数的极限与其左、右极限的关系，易得到下面定理由函数的极限与其左、右极限的关系，易得到下面定理定理定理1 函数函数f (x)在点在点 x0处处连续连续的充要条件是：的充要条件是： 函数函数f (x)在点在点 x0处既
3、处既左连续左连续又右连续，又右连续，即即 或或左连续左连续右连续右连续若若在区间在区间(a, b)内每一点都连续内每一点都连续 , 则称它在区间则称它在区间(a, b)上上连续连续 , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 .定义定义5如果如果f (x)在区间在区间(a, b)内每一点都连续内每一点都连续 , 在在x=a处右连续，处右连续， 在在x=b处左连续，处左连续， abx则称则称f (x)在闭区间在闭区间a, b上的连续上的连续 .在闭区间在闭区间上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作例例1. 证明函数证明函数在在内连续内连续 .证证: 即即这说明这说明在在内连续
4、内连续 .同样可证同样可证: 函数函数在在内连续内连续 .例例2 设函数设函数问问b为何值时，为何值时， 函数函数y=f (x)在点在点 x=0处连续处连续.解解 由于由于f (0)=2 , ,且且 若使函数若使函数y =f (x)在点在点 x = 0处连续，必须处连续，必须定理定理3. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 在其定义域内连续在其定义域内连续二、连续函数的运算法则二、连续函数的运算法则定理定理2. 在某点连续的在某点连续的两个两个函数经函数经有限次有限次和和 , 差差 , 积积 ,( 利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明
5、)商商(分母不为分母不为 0) 运算运算, 结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,在在上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数(递减递减)(证明略证明略)在在 1, 1上也连续单上也连续单调调(递减递减)递增递增.定理定理4. 连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.在在上连续上连续其反函数其反函数在在上也连续单调递增上也连续单调递增.又如又如, 单调单调 递增递增,例如例如,是由连续函数是由连续函数因此因此在在上连续上连续 .复合而成复合而成 ,定理定理5基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算
6、仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合连续函数的复合函数函数仍是连续仍是连续函数函数一切初等函数一切初等函数在在定义定义区间区间内内连续连续例如例如,的连续区间为的连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)的连续区间为的连续区间为的定义域为的定义域为因此它无连续点因此它无连续点而而定理定理6(1) y=f (u)在在 u = a处连续，处连续，(2) u=(x)在在 xX 时极限存在，时极限存在，证证解解: 原式原式例例3. 求求例例4. 求求解解:原式原式解解:原式原式例例5. 求求(1) 函数函数(2) 函数函数不存在不存在;(3) 函数函数存在存在 ,但但不连续不连续 :下列情形下
7、列情形之一之一, 这样的点这样的点函数函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点（不连续的点）间断点（不连续的点） . 无定义无定义 ;三、三、 函数的间断点函数的间断点定义定义6 例如例如 x = 0是下列各函数的间断点：是下列各函数的间断点：1yxO第一类间断点第一类间断点:左右极限都存在的间断点。左右极限都存在的间断点。第一类间断点第一类间断点(1)可去间断点可去间断点:间断点分类间断点分类:x=0是可去间断点是可去间断点1yxO(2)跳跃间断点跳跃间断点:1yxO1x=0是跳跃间断点是跳跃间断点左右极限都相等间断点左右极限都相等间断点左
8、右极限不都相等间断点左右极限不都相等间断点第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在 .称称若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡,称称若其中有一个为若其中有一个为为为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点为振荡间断点 .左右极限至少有一个不存在的间断点，左右极限至少有一个不存在的间断点，为其无穷间断点为其无穷间断点 .为其振荡间断点为其振荡间断点 .为可去间断点为可去间断点 .例如例如:显然显然为其可去间断点为其可去间断点 .(4)(5) 为其跳跃间断点为其跳跃间断点 .左连续左连续右连续右连续第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右
9、极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型在点在点连续的等价形式连续的等价形式内容小结内容小结1. 讨论函数讨论函数间断点的类型间断点的类型.如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续。使其在该点连续。思考与练习思考与练习解：解：故故x =1是一类可去间断点。是一类可去间断点。 补充定义补充定义f (1)=2，则，则函数函数f (x)在在x =1处连续。处连续。所以，所以，x = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .注意注
10、意: 若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不一定成立结论不一定成立 .定理定理7 7. .在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数即即: 设设则则使使值和最小值值和最小值. .或在闭区间内或在闭区间内有间断有间断 在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大点点 ,四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 例如例如,在在0,1上无最大值和最小值上无最大值和最小值 在在(0, 1)也无最大值和最小值。也无最大值和最小值。 又如又如, 111/2定理定理8 在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 设设 M和和m分别是分别是则对于满足则对于满足m M
11、至少存在一点至少存在一点定理定理9说明说明 在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数使使必取得介于最小值与必取得介于最小值与最大值之间的任何值最大值之间的任何值 .的任何实数的任何实数,定理定理9. ( 介值定理介值定理 )推论推论1. ( 零点定理零点定理 )至少有一点至少有一点且且使使一个根一个根 .证证: 设设故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点使使即即在区间在区间内至少有内至少有即方程即方程在区间在区间内至少有内至少有一个根一个根 .例例1. 证明方程证明方程在在上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何上可取最大与最小值之间的任何值值; ;
12、4. 当当时时,使使必存在必存在上有界上有界;在在在在内容小结内容小结P50：练习：练习2.求下列函数的间断点，并判断其类型如果是可去求下列函数的间断点，并判断其类型如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续：间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续：解解解解解解解解备用题备用题 1至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的的 证证：证明证明令令且且根据零点定理根据零点定理 ,原命题得证原命题得证 .内至少存在一点内至少存在一点在开区间在开区间显然显然正根正根 .2. (1)证明方程证明方程内有且仅有一个实根；内有且仅有一个实根； (2)记记(1)中的实根为中的实根为xn,证明证明 存在，并求此极限存在，并求此极限 （2012考研数学二）考研数学二）证证 设设则则 f (x)在在1/2, 1上连续，上连续， 又因为又因为 所以方程所以方程在在1/2, 1内有且仅有一个实根；内有且仅有一个实根； (2)记记(1)中的实根为中的实根为xn,证明证明 存在，并求此极限存在，并求此极限 假设假设xn是方程是方程 的根，则的根，则 由由 可证得可证得 即数列即数列xn单调递减且单调递减且
