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1、4.2 4.2 离散单个符号信道及其容量离散单个符号信道及其容量4.2.1 4.2.1 离散单符号信道及其容量离散单符号信道及其容量4.2.2 4.2.2 离散无干扰信道离散无干扰信道4.2.3 4.2.3 对称信道对称信道4.2.4 4.2.4 准对称信道准对称信道4.2.5 4.2.5 一般离散信道的信道容量一般离散信道的信道容量3.2 3.2 离散单个符号信道及其容量离散单个符号信道及其容量信息传输率R：信道中平均每个符号所能传送的信息量信息传输速率Rt:信道在单位时间内平均传输的信息量。t为平均传送一个符号所需的时间。 对于某特定的信道，转移概率p(bj|ai)已经确定，则互信息是关于
2、输入符号分布概率的凸函数。 也就是说可以找到某种概率分布p(ai)，使I(X;Y)达到最大，也即R 达到最大，该最大值就是信道所能传送的最大信息量，即信道容量信道容量。 信道容量也可定义为信道的最大的信息传输速率Rt。【注】、一般地，我们只考虑第一种定义方式。说明：信道容量是信道本身的特性，与信源无关；不是所有的信源传输符号时都可以达到这个传输速率，使信道达到最大传输率的输入概率分布称为最佳输入分布；信道容量是信息传输率R的上限，定量了信道信息的最大通过能力。信道传递信息过程中引入两个定义：1、信道疑义度:H(X|Y)2、噪声熵:H(Y|X)1 1、信道疑义度、信道疑义度 这是收到 后关于X的
3、后验熵，表示收到 后关于输入符号的信息测度 这个条件熵称为信道疑义度，表示输出端在收到一个符号后，对输入符号尚存的不确定性，这是由信道干扰造成的，如果没有干扰，H(X|Y)=0,一般情括下H(X|Y)小于H(X)，说明经过信道传输，总能消除一些信源的不确定性，从而获得一些信息。I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)= H(Y)-H(Y|X)2 2、噪声熵、噪声熵平均互信息I(X;Y)表示信道传递的信息量。 H(X|Y)即信到疑义度，也表示通过有噪信道造成的损失，故也称为损失熵损失熵，因此信源的熵等于收到的信息量加上损失的熵；而H(Y|X)表示已知输入的情况下，对输出端还残留的不确定性，这个不确定
4、性是由噪声引起的，故也称之为噪声熵噪声熵。 无干扰离散信道无干扰离散信道无噪现象：1个输入只对应1个输出，噪声熵H(Y|X)=0无损现象：1个输出只对应1个输入，疑义度H(X|Y)=0 无噪无损信道：即X、Y一一对应，则H(Y|X)= H(X|Y)= 0有噪无损信道：一个输入X产生多个输出Y （有噪）,而且每个X值所对应的Y值不重合；又因为信道无损，接收到符号Y后，X完全确定。因为无损：H(X/Y)=0，有噪：H(Y/X)0 所以：I(X;Y)=H(X)H(Y)无噪有损信道： 一个Y对应多个X，而且每个Y 值所对应的X值不重合。接收到符号Y后不能完全消除对X的不确定性。 H(X/Y) 0；I(
5、X;Y)=H(Y) H(X) 损失熵（疑义度）H(X/Y) = 0 的信道称为无损信道，其信道容量为： 其中，r为输入信源X的符号个数，等概率分布时H(X)最大。 噪声熵 H(Y/X) = 0 的信道称为无噪信道，其信道容量为： 其中，s为输出信源Y的符号个数，等概率分布时H(Y)最大。 一一对应的信道称为一一对应的信道称为无噪无损信道无噪无损信道 X、Y一一对应，无噪无损信道 CmaxI(X;Y)log r多个输入变成一个输出，无噪信道 CmaxI(X;Y)maxH(Y)一个输入对应多个输出，无损信道 CmaxI(X;Y)maxH(X) 对称DMC信道对称DMC信道定义输入对称 转移概率矩阵
6、P的每一行都是第一行的重新排列(包含同样元素)，称该矩阵是输入对称。输出对称 转移概率矩阵P的每一列都是第一列的重新排列(包含同样元素)，称该矩阵是输出对称。对称的DMC信道 输入、输出都对称。对称DMC信道例子接下来考虑对称信道的信道容量：因为输入对称所以条件熵因为输入对称所以条件熵与信道输入符号概率分布无关。则信道容量为又输出对称，若信道输入符号等概率分布，则又输出对称，若信道输入符号等概率分布，则 与j无关，即信道输出也等概率分布；反之，若信道输出符号等概率分布，对称信道的输入符号必定也是等概率分布的。因此要使H(Y)最大，只有只有信道输出符号等概率分布信道输出符号等概率分布，此时输入符
7、号也等概此时输入符号也等概率分布。率分布。则对称则对称DMC信道的容量为信道的容量为 信道转移概率矩阵如下：信道输入符号和输出信道转移概率矩阵如下：信道输入符号和输出符号的个数相同，都为符号的个数相同，都为r，且正确传输概率为，且正确传输概率为1 1 ，错误概率错误概率 被对称地均分给被对称地均分给r-1个输出符号，此信道称个输出符号，此信道称为为强对称信道或均匀信道强对称信道或均匀信道，是对称离散信道的一个，是对称离散信道的一个特例特例当n=2时，即为二进制对称信道 C1H（）=1- log - (1- )log(1- ) 准对称准对称DMC信道信道定义定义： 如果转移矩阵P 的列列可以划分
8、成若干个互不相交的子集Bk，（即B1B2 Bk=；B1B2Bk= P） 且每个子集所组成的子阵都是输入输出对称矩阵，则称该信道是准对称准对称DMC信道。要判断一个信道是否为离散准对称信道，必须对该信道的转移矩阵进行适当的调整，即按列重排再按列分块。这种调整，就是定义中所说的将转移矩阵的列划分成子集再组成子阵的过程。转移矩阵的列与输出符号对应，因此，把转移矩阵的列划分成互不相交的子集，也相当于把信道的输出符号集合中的符号划分成互不相交的子集。结论：结论：对于准对称对于准对称DMC信道，当输入分布为等概分布时，互信息达到最大值。信道容量表示为： 将转移概率矩阵划分成若干个互不相交的对称的子集，r为
9、输入符号集个数；p1，p2，ps是转移概率矩阵P P 中一行的元素；Nk 是第k个子矩阵中行元素之和，Mk是第k个子矩阵中列元素之和，t是互不相交的子集个数。如 一般离散信道的信道容量信道容量计算：对所有可能的输入概率分布P(ai)求该信道平均互信息I(X;Y)的极大值。由于I(X;Y)是P(ai)的型上凸函数，所以极大值一定存在。n个变量满足概率存在条件： P(ai)1。当信道给定时，条件转移概率矩阵P(bj|ai)都为定量。计算：拉格朗日乘数法计算该条件极值 引进一个新函数先求出达到极值的概率分布和拉格朗日乘数的值，然后再求解出信道容量C。令：令：例例 信道的输入符号有两个，设p(a1)，p(a2)1。信道的输出符号有三个，用b1、b2、b3表示。即输入符号分布等概率时，I(X;Y)达到极大值。所以信道容量为定理： 一般离散信道达到信道容量的充要条件是输入概率分布满足 该定理说明，当平均互信息达到信道容量时，信源每一个符号都对输出端输出相同的互信息。证明可以利用该定理对一些特殊信道求得它的信道容量例：输入符号集为:0,1,2，输出符号集：0,1假设P(0)=P(2)=1/2，P(1)=0，则：所以：对于一般信道的求解方法，就是求解方程组移项得：令则:若r=s，此方程有解，可以解出s个未知数 ，再根据得从而例：可列方程组：解之得：
