专题18 空间向量在立体几何中的应用（角/距离）【考点专题】考点一：空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝考点二：点P到直线 l 的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．考点三：点P到平面α的距离设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)．【核心题型】题型一：空间向量求线面角/面面角1．（2023·湖南邵阳·统考二模）如图所示，在矩形中，，，平面，且，点为线段（除端点外）上的动点，沿直线将翻折到，则下列说法中正确的是（ ）A．当点固定段的某位置时，点的运动轨迹为球面B．存在点，使平面C．点到平面的距离为D．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是2．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，点是线段上的动点.(1)证明：平面平面；(2)若点段上，，且异面直线与成30°角，求平面和平面夹角的余弦值.题型二：空间向量求空间距离4．（2023·宁夏银川·校联考一模）如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点. (1)求证：平面PCD；(2)当体积最大时，求S到平面PCD的距离.5．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，，D是棱PC的中点．(1)求证：；(2)若，求直线BC与平面ADB所成角的正弦值．6．（2023秋·天津河北·高三统考期末）如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的大小；(3)求点到平面的距离.题型三：空间线段点存在问题7．（2023·河南焦作·统考模拟预测）如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2.(1)证明：.(2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．(1)求证：；(2)求点到侧面的距离；(3)段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．9．（2021·天津静海·静海一中校考二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点.(1)若，求证：直线平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【高考必刷】一、单选题10．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在正方体中，为的中点，为线段上的点，且，则（ ）A．平面平面 B．平面平面C．四点共面 D．与所成角的余弦值为11．（2023·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面为矩形，，P，Q分别为圆柱上、下底面圆周上一点，，，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．12．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，，，直线AC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为，则异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．13．（2023·福建莆田·统考二模）在正方体中，点M，N分别是上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．14．（2023·四川·校联考一模）在长方体中，已知异面直线与，与AB所成角的大小分别为和，则直线和平面所成的角的余弦值为（ ）A． B． C． D．15．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．416．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段B．存在Q点，使得平面C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大D．若，那么Q点的轨迹长度为17．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在直三棱柱中，，，，，，分别是，， 的中点，则下面说法中正确的有（ ）A．平面B．C．直线与平面所成角的余弦值为D．点到平面的距离为18．（2022·陕西安康·统考一模）如图，在多面体中，底面为菱形，平面，，，点M在棱上，且，平面与平面的夹角为，则下列说法错误的是（ ）A．平面平面 B．C．点M到平面的距离为 D．多面体的体积为二、多选题19．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在正方体中，点P满足，则（ ）A．若，则AP与BD所成角为 B．若，则C．平面 D．20．（2023·河北石家庄·统考一模）已知正方体的棱长为2，M，N分别是，的中点，则（ ）A．B．C．平面截此正方体所得截面的周长为D．三棱锥的体积为321．（2023·安徽·统考一模）在平行六面体中，已知，，则（ ）A．直线与所成的角为B．线段的长度为C．直线与所成的角为D．直线与平面所成角的正弦值为22．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，以为顶点的三条棱长都是，则下列说法正确的是（ ）A．平面B．平面C．D．与夹角的余弦值为三、填空题23．（2022春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）如图，在四面体中，，，､分别是､的中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则下面的说法中正确的有___________.①，②四面体外接球的表面积为.③异面直线与所成角的正弦值为④多边形截面面积的最大值为.24．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别是，的中点.（1）直线与平面所成角的正切值为___________；（2）直线到平面的距离为___________；（3）已知点在棱上，平面与平面所成二面角为60°则线段的长为___________.25．（2022秋·湖南怀化·高三校考阶段练习）如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；②存在点H，使得GH⊥AE；③三棱锥B−GHF的体积为定值；④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为．其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）26．（2022·新疆·统考模拟预测）已知正方体的棱长为1，、分别为棱、的中点，为棱上的动点，为线段的中点.则下列结论中正确序号为______.①；②平面；③的余弦值的取值范围是；④△周长的最小值为四、解答题27．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，．(1)求点A到平面PBC的距离；(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．28．（2023·重庆·统考二模）如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接(1)证明：；(2)若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值．。
