第11讲 第一章 空间向量与立体几何 章末题型大总结一、思维导图空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量在立体几何中的应用空间向量的线性运算空间向量的基本定理两个向量的数量积空间向量的直角坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量分解定理平行与垂直的条件直线的方向向量与直线的向量方程平面的法向量与平面的向量表示直线与平面的夹角二面角及其度量距离二、题型精讲题型01空间向量的概念及运算【典例1】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则（ ）A． B．2 C． D．10【答案】A【详解】由图可得，则，故,故选：A【典例2】（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求(1)；(2)．【答案】(1)11(2)【详解】（1）向量，向量与的夹角都是，且，，；（2）【典例3】（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________．【答案】【详解】因为，所以，，，故，，，因为向量与的夹角为钝角，所以，即，则，解得，即.故答案为：.【变式1】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（ ） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，又因为二面角的大小为，即，则，因为，由图易知，，所以，.故选：C.【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，设，，是的中点．试确定向量在平面上的投影向量，并求．【答案】向量在平面BCC1上的投影向量为；【详解】因为A1B1⊥平面BCC1，PC1⊥平面BCC1，所以向量在平面BCC1上的投影向量为.所以．【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为_________．【答案】/120°【详解】由，即可构成三角形，所以，又，故.故答案为：题型02四点共面问题【典例1】（多选）（2023春·高二课时练习）下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）A．B．C．D．【答案】AC【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；对于A，因为，所以可以得出，，，四点共面；对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于C，，则，，为共面向量，所以与,，一定共面；对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：AC．【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，所以，因为D是PG上的一点，且，所以，因为，所以,因为，所以，所以为，故选：B【典例3】（2023春·高二课时练习）在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，直线交直线于点，直线交直线于点，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】记，，，则，解得又所以整理得．故选：B【变式1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二统考期末）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】BD【详解】空间四边形OABC中，，，点G是线段MN的中点，，，D正确；对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误.故选：BD【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（ ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【详解】、分别是对边、的中点，，． ，因此，．故选：D题型03平面法向量的求解【典例1】（2023春·高二课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为所以，令平面ABC的一个法向量为可得，即，令，则，所以故平面ABC的单位法向量是，即或．故选：B．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知空间四点，，，．求平面的一个法向量为__________；【答案】（答案不唯一）【详解】由题知，，．设平面ABC的法向量，则，令，则，，∴所以平面ABC的一个法向量．此外，所有都是平面ABC的法向量，任写一个皆可.故答案为：（答案不唯 一）.【变式1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）空间直角坐标系中，已知点，则平面的一个法向量可以是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题知，设平面的一个法向量为，所以，即，令得所以，平面的一个法向量可以是.故选：A【变式2】（2023·全国·高二专题练习）平面经过，且垂直于法向量为的一个平面，则平面的一个法向量是（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知，又，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，比较只有B满足，故选：B．题型04利用空间向量证明平行、垂直关系【典例1】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）如图，在三棱柱中，平面．，，分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（ ）A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交且不垂直【答案】D【详解】解：如图取中点，连接，因为为中点，所以又在三棱柱中，平面，为中点，所以则平面，又平面，所以，，又，则，所以，以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，则,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，又，因为，又所以直线与平面相交，且不垂直于平面．故选：D.【典例2】（多选）（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在正方体中，是线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】ABD【详解】建系如图，设正方体棱长为2，则设，所以设，，所以,对于A，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，，所以平面，因为，由于，所以与不一定共线，故A错误；设平面的一个法向量为，,，令则，所以，若平面，则，即无解，所以平面不成立，故B错误；对于C，设平面的一个法向量为，,，令则，所以，，且平面，所以平面，故C正确；对于D，设平面的一个法向量为，,，令则，所以，不恒等于0，所以平面不一定成立，故D错误.故选:ABD.【典例3】（2023春·高二课时练习）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.【答案】证明见解析【详解】因为，是棱的中点，所以，所以为正三角形.因为为等腰梯形，，所以.取的中点，连接，则，所以.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因为平面， 平面，所以平面，平面，又，平面， 所以平面平面【典例4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面平面；(2)段上是否存在一点，使？证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【详解】（1）证明：平面，平面，，又，，平面平面，平面，．又，为等腰直角三角形，为斜边的中点，，又，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，设存在点，使，点的坐标设为， 所以，， 由相似三角形得，即，．， 又，．，， 故存在点，使．【变式1】（2023春·高二课时练习）在正方体中，，分别为，的中点，则（ ）A．平面 B．异面直线与所成的角为30°C．平面平面 D．平面平面【答案】D【详解】对于选项A，假设面 ，则，这与已知与不垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A错误；对于选项B，连接，，因为，所以为异面直线与所成的角或补角，又因为△为等边三角形，所以，故选项B错误；对于选项C，因为，，由面面平行的判定定理可得平面平面，而平面与平面相交，所以平面与平面也相交，故选项C错误；对于选项D，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则，，，，可得，，，设平面的法向量为，则 ，可取，则，，即，设平面的法向量为，则，可取，则，，可得平面的一个法向量为，由，所以，即平面平面，故选项D正确.故选：D.【变式2】（多选）（2023春·高二课时练习）如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且分别为的中点，则下列选项中不正确的有（ ）A． B．平面C． D．平面【答案】ABC【详解】解：因为底面为边长为的菱形，且，所以四边形的面积为，又平行六面体的体积为，所以平行六面体的高为，因为，所以在底面的投影在上，设在底面的投影为，则，又，所以，又，所以为的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，，，，，因为，所以、不平行，故A错误；又，所以与不垂直，故B错误；因为，所以与不垂直，故C错误；设平面的法向量为，则，即，不妨取，所以，所以，又平面，所以平面，故D正确；故选：ABC【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．(1)求直线与所成角的余弦值；(2)在侧面内找一点，使平面．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）设，连、，则，∴即为与所成的角或其补角．在中，，，，∴．即与所成角的余弦值为．（2）分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图，则可得、、、、、，，设，则，由于平面，所以，化简得，可得，， 因此，点的坐标为，从而侧面内存在一点，当到、的距离分别为1和时，平面．【变式4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．(1)求证：直线平面；(2)若是正三角形为中点，能否段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)在直线上存在一点，且，使得平面．【详解】（1）在直三棱柱中，是的中点，又为的中点 ，而，四边形是平行四边形，平面平面，平面．（2）在直线上找一点，使得平面，证明如下：在直三棱柱中， 又两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，段上，设，则，则，，则，，设平面的法向量，则，取，得，平面，，解得，在直线上存在一点。
