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1、第三章第三章 不等式不等式3.4 3.4 基本不等式基本不等式 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。风车，代表中国人民热情好客。ab1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S = =、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？ 探究：探究：S_S问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHba重要不
2、等式重要不等式： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab思考：思考：你能你能给出不等式出不等式 的的证明明吗？（做差比较法）（做差比较法）重要不等式：重要不等式：一般地，一般地，对于任意于任意实数数a、b，总有有 当且当且仅当当a=b时，等号成立，等号成立文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍. . 适用范围：适用范围： a,b R即：即：通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做时取等号，这个不等式
3、就叫做基本不等式基本不等式.在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围： a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?RtACDRtDCB，ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD
4、、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?CD=_OD=_OD_CD如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们
5、的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,b Ra0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式例例1.(1) 已知已知 并指出等号并指出等号成立的条件成立的条件.(2) 已知已知 与与2的大小关系的大小关系,并说明理由并说明理由.(3) 已知已知 能得到什么结论能得到什么结论? 请说明理由请说明理由.应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系应用二：利用基本不等式证明不等式应用二：利用基本不等式证明不等式小结小结基本不等式基本不等式1.应用基本不等式要注意的问题应用基本不等式
6、要注意的问题2.灵活对公式的正用、逆用、变形用灵活对公式的正用、逆用、变形用3.4 3.4 基本不等式（基本不等式（2 2）ab 2 应用之三、求函数最值 引引例例1 (1)如如图图,用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园,问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆笆最最短短，最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？ABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，x+y有最小值有最小值_.例例1 (2)如如图图，用用一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一个个矩矩形形菜菜园
7、园，问问这这个个矩矩形形菜菜园园的的长长和和宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最最大，最大面积是多少？大，最大面积是多少？ABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，xy有最大值有最大值_；（1）一正：一正：各项均为正各项均为正数数（2）二定：二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取求最值时一定要考虑不等式是否能取“”， 否则会出现错误否则会出现错误小结：利用小结：利用 求最值
8、时要注意下面三条：求最值时要注意下面三条：结论：结论：已知已知 都是正数，都是正数，（1）如果积）如果积 是定值是定值P，那么当，那么当 时，时， 和和 有最小值有最小值（2）如果和）如果和 是定值是定值S，那么当，那么当 时，时， 积积 有最大值有最大值例例1：已知：已知：0 0x x，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。学练考学练考P40P40例例1 1（1 1）和变式）和变式（2 2）例例2： 求函数求函数 的最小值的最小值变式变式2：求函数求函数 的最小值的最小值变式变式1：求求 的最大值的最大值。
9、 变式变式3：若若 则函数的最小值是则函数的最小值是_。两个正数积为定值，和有最小值。两个正数积为定值，和有最小值。 3.4 3.4 基本不等式（基本不等式（3 3）ab （1）一正：一正：各项均为正各项均为正数数（2）二定：二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取求最值时一定要考虑不等式是否能取“”， 否则会出现错误否则会出现错误小结：利用小结：利用 求最值时要注意下面三条：求最值时要注意下面三条：5：用均值不等式求最值用均值不等式求最值：已知已知 都
10、是正数，都是正数，（1）如果积）如果积 是定值是定值P，那么当，那么当 时，时， 和和 有最小值有最小值（2）如果和）如果和 是定值是定值S，那么当，那么当 时，时， 积积 有最大值有最大值题型 1 1的代换例例1 1、已知已知x，y为正实数，且为正实数，且x+2y=1，（1 1）求）求xy的最大值，及取得最大值时的的最大值，及取得最大值时的x，y的值；的值；（2 2）求）求 的最小值。的最小值。 变式变式1 1：已知已知x,y为正实数，若为正实数，若 ，则，则 恒成立的实数恒成立的实数m取值范围是取值范围是 。变式变式3 3：求求 的最小值，并的最小值，并 指出取最小值时指出取最小值时x的值
11、。的值。变式变式2:2:已知已知 ，求，求 的最小值。的最小值。 解： 当且仅当 即 时取等号。 两个正数积为定值，和有最小值。两个正数积为定值，和有最小值。（巧用常数来配凑）（巧用常数来配凑） 即 x12，y4 时取等号.当 x12，y4 时，xy 有最小值为16. zxx k解题型 2 利用基本不等式整体换元【例 2】 若正数 a，b 满足 abab3，求 ab 及 ab 的取值范围.思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，并体现了换元法、构造法等重要思想. zxx k zxx k zxx k整体思想是分析这类题目的突破口，即ab与ab 分别是统一的整体，把 ab 转换成 ab
12、或把 ab 转换成ab. zxx k zxx k学练考学练考P40P40例例2 2反思：反思：应用题，先弄清题意（应用题，先弄清题意（审题审题），建立数学模型），建立数学模型（列式列式），再用所掌握的数学知识解决问题（），再用所掌握的数学知识解决问题（求解求解），），最后要回应题意下结论（最后要回应题意下结论（作答作答）。）。 小结 巅巅 峰峰 回回 眸眸 豁豁 然然 开开 朗朗1 1、注意公式的正用、逆用、变形使用、注意公式的正用、逆用、变形使用。2 2、牢记公式特征、牢记公式特征“正正”、“定定”“”“等等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。 我们积累了
13、知识我们积累了知识, ,于枯燥中见奇于枯燥中见奇, ,于迷于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。成功之中，就能领略到公式平静的美。1 1、设、设 且且a+ba+b=3,=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 练习：练习：3、已知、已知则则x y 的最大值是的最大值是 。课堂小结课堂小结本节课运用基本不等式求最值本节课运用基本不等式求最值。要注意基本不等式的三个条件要注意基本不等式的三个条件: : （一）不具备（一）不具备“正值正值”条件时，需将其条件时，需将其转化为正值转化为正值；（二）不具备（二）不具备“定值定值”条件时
14、，需将其条件时，需将其构造成定值条件；构造成定值条件；（构造：（构造：积为定值或和为定值积为定值或和为定值）（三）不具备（三）不具备“相等相等”条件时，需进行适当变形或利条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域；同时要灵活运用用函数单调性求值域；同时要灵活运用“1 1”的代换。的代换。各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数.(1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x
15、=y 时时, 取取“=”号号) ).(2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).14 小结评价 你会了你会了吗？吗？1。本节课主要学习了基本不等式的证明本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。与初步应用。 巅巅 峰峰 回回 眸眸 豁豁 然然 开开 朗朗2 2。注意公式的正用、逆用、变形使用。注意公式的正用、逆用、变形使用。3 3。牢记公式特征。牢记公式特征“正正”、“定定”、“等等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。4 4。我们积累了知识。我们积累了知识, ,于枯燥中见奇于枯燥中见奇, ,于于迷茫之中得豁朗
16、。懂得灵活运用公式乐迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。在成功之中，就能领略到公式平静的美。复习导入（当且仅当（当且仅当a=b时取等号时取等号）（当且仅当（当且仅当a=b时取等号）时取等号）（当且仅当（当且仅当a=b时取等号时取等号）（当且仅当（当且仅当a=b时取等号时取等号） （3）利用基本不等式求函数的最值的条件）利用基本不等式求函数的最值的条件 _4、 利用基本不等式求函数的最值：利用基本不等式求函数的最值：（1）已知）已知x，yR+，如果积，如果积xy是定值是定值P，那么当且，那么当且仅当仅当 时，和时，和x+y有最有最 值是值是 ；（2）已知）已知x，yR+，如果和，如果和x+y是定值是定值S，那么当，那么当且仅当且仅当 时，积时，积xy有最有最 值是值是 ； x=y小小x=y大大正正定定相等相等即：积定和最小即：和定积最大)(. 34, 0, 0, 0, 0. 2)(),( 1.12222224442cbaabccacbbacbaacadbcbdbcaddcbabayxRyxybxaba+ + + + + + + + + + + + + + + + + = =+ + +证明：证明：求证：求证：已知已知求证：求证：，是正数，且是正数，且、已知已知等式等式利用基本不等式证明不利用基本不等式证明不
