第四第四 章章 样本及抽样分布样本及抽样分布l引言引言l随机样本随机样本l抽样分布抽样分布run 4.1 随机样本随机样本一、总体与样本一、总体与样本 1. 1. 总体总体：：研究对象的全体通常指研究对象的某项数量指标组成总体的元素称为个体从从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布随机变量的分布 2. 样本：样本：来自总体的部分个体X X1 1，， … ，，X Xn n 如果满足：如果满足：（1）同分布性：同分布性： Xi，i=1,…,n与总体同分布.（2）独立性：独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本样本而称X1，… ，Xn 的一次实现为样本观察值，记为x1，… ，xn 来自总体X的随机样本X X1 1，， … … ，，X Xn n可记为显然，样本联合分布函数或密度函数为或或 3.总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断样本观察值，去推断总体的情况总体的情况——总体分布。
样本是联系两者的桥梁总体分布样本是联系两者的桥梁总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体推断总体 二、统计量二、统计量定义：称样本X1，， … ，，Xn 的函数g(X1，， … ，，Xn )是总体X的一个统计量统计量,如果如果g(X1，， … ，，Xn )不含不含 未知未知 参数参数几个常用的统计量 ： 3.样本样本k阶矩阶矩 4.2 抽样分布抽样分布一、一、 2—分布分布 统计量的分布称为抽样分布数理统计中常用到如下三个分布： 2 2—分布、 t t —分布和F F—分布 2.2—分布的分布的密度函数密度函数f(y)曲线曲线 3. 分位点分位点 设X ~ 2(n)，若对于 ：：0< <1，， 存在满足满足则称则称为为分布的上分布的上 分位点P228附表附表3 4.性质：性质：((p124)a.分布可加性分布可加性 若X ~ 2(n1)，，Y~ 2(n2 )，， X，， Y独立，则 X + Y ~ 2(n1+n2 )b.期望与方差期望与方差 若X~ 2(n)，，则E(X)= n，，D(X)=2n1.构造构造 若 ~N(0, 1), ~ 2(n), 与 独立，则t(n)称为自由度为n的t—分布。
二、二、t—分布分布 t(n)(n) 的概率密度为(p125) 2.2.基本性质基本性质: (1) (1) f(t)f(t)关于t=0t=0(纵轴)对称 (2) (2) f(t)f(t)的极限为N(0N(0，，1)1)的密度函数，即 3.3.分位点分位点设T T～～t(n)t(n)，若对 :0<:0< <1,<1,存在t t (n)>0(n)>0， 满足P{TP{T t t (n)}=(n)}= ，，则称t t (n)(n)为t(n)t(n)的上侧分位点 注注: 三、三、F—分布分布 1.构造构造 若 1 ~ 2(n1)，， 2~ 2(n2)，， 1，， 2独立，则 称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F—分布,其概率密度为 2. 2. F F—分布的分位点分布的分位点对于对于 ：：0<0< <1<1，，若存在若存在F F (n(n1 1, , n n2 2)>0)>0，，满足满足P{FP{F F F (n(n1 1, , n n2 2)}=)}= ，， 则称则称F F (n(n1 1, , n n2 2) )为为F(nF(n1 1, , n n2 2) )的的上侧上侧 分位点；分位点； 证明证明:设设F~F(n1,n2),则则注：注：得证得证! 4.3 正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理证明证明:是是n 个独立的正态随个独立的正态随机变量的线性组合机变量的线性组合,故服从正态分布故服从正态分布 (3)证明证明:且且U与与V独立独立,根据根据t分布的构造分布的构造得证得证! (P127) 例1：设总体X~N(10,32), X1，， … ，，Xn是它的一个样本(1)写出Z所服从的分布;(2)求P(Z>11). 例2：设X1， … ，X10是取自N（0，0.32)的样本,求 例3：设X1， … ，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望与方差。