非欧几何的产生与发展

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1、（1 1）是古希腊数学家所著的一部数）是古希腊数学家所著的一部数 学著作；学著作；（2 2）是世界上最著名、最完整且流）是世界上最著名、最完整且流 传最广的数学著作；传最广的数学著作； （3 3）是数学史上的第一座理论丰碑，）是数学史上的第一座理论丰碑， 最大功绩是确立数学演绎范式。最大功绩是确立数学演绎范式。（4 4）被誉为西方科学的）被誉为西方科学的“圣经圣经”。3欧几里得欧几里得几何原本几何原本的五条公设：的五条公设： （1 1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 （2 2）一条有限直线可以继续延长。）一条有限直线可以继续延长。 （3 3）以任意点

2、为心及任意的距离可以画圆。）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 （4 4）凡直角都彼此相等。）凡直角都彼此相等。 （5 5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若 在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，在某一侧的两个内角的和小于二直角的和， 则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。 几何学中的家丑2三角形的内角和三角形的内角和是是180度。度。1过直线外一点，只过直线外一点，只能作一条直线与已能作一条直线与已知直线平行。知直线平行。平行公设的一些等价命题平行公设的一些等价命题4相似三角形存在。相似三角形存在。萨凯里萨凯

3、里萨凯里萨凯里（意大利）（意大利）（意大利）（意大利）克吕格尔克吕格尔克吕格尔克吕格尔（德国）（德国）（德国）（德国）兰伯特兰伯特兰伯特兰伯特（瑞士）（瑞士）（瑞士）（瑞士）近代数学家近代数学家一些平行公设研究者一些平行公设研究者托勒密托勒密托勒密托勒密（古希腊）（古希腊）（古希腊）（古希腊）奥马奥马奥马奥马 海亚姆海亚姆海亚姆海亚姆（古阿拉伯）（古阿拉伯）（古阿拉伯）（古阿拉伯）纳西尔纳西尔纳西尔纳西尔 丁丁丁丁（古阿拉伯）（古阿拉伯）（古阿拉伯）（古阿拉伯）古代数学家古代数学家 三角形的三内角之和小于三角形的三内角之和小于 两个直角？两个直角？ 过直线外一点，有无穷多过直线外一点，有无穷多

4、 条直线不与该直线相交？条直线不与该直线相交？ 怎么可能？怎么可能？? ? 萨凯里萨凯里克吕格尔克吕格尔萨凯里，你没错萨凯里，你没错哦！只是结论似哦！只是结论似乎与经验不符。乎与经验不符。平行公设能证明平行公设能证明吗？吗？替换平行公设也替换平行公设也能展开新的无矛能展开新的无矛盾的几何学道路盾的几何学道路吗？吗？ 兰伯特兰伯特非欧几何的产生和发展 非欧几何非欧几何非欧几何非欧几何的诞生的诞生的诞生的诞生uu高高斯斯uu罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基uuJ J鲍鲍耶耶10罗氏几何的五条公设：罗氏几何的五条公设： （1 1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 （

5、2 2）一条有限直线可以继续延长。）一条有限直线可以继续延长。 （3 3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 （4 4）凡直角都彼此相等。）凡直角都彼此相等。 （5 5）过直线外的一点至少可以引两条直线与已）过直线外的一点至少可以引两条直线与已 知直线平行。知直线平行。ABCpqDaABCpqDaABCpqDa假设过直线外一点，至少可以假设过直线外一点，至少可以引两条直线与已知直线平行。引两条直线与已知直线平行。（1 1）三角形内角之和小于两直角，并且）三角形内角之和小于两直角，并且 内角和是变化的；内角和是变化的；（2 2）不存在面积任意大的三角形；）不存

6、在面积任意大的三角形；（3 3）同一直线的垂线和斜线不一定相交；）同一直线的垂线和斜线不一定相交；（4 4）如果两个三角形的三个内角）如果两个三角形的三个内角 相等，它们就全等。相等，它们就全等。 罗氏几何推出的一些结论罗氏几何推出的一些结论C庞加莱罗氏几何模型庞加莱罗氏几何模型C过圆内任意两点可以作一条非欧直线段。 。一非欧直线可以沿两个方向无限延长。 。以非欧平面内任一点为中心，以任意正数长为半径可以作一个非欧圆。凡直角都相等。 。罗氏几何五条公设罗氏几何五条公设Cl1l2lAB3124角 非之 欧和 三小 角于 形180 三181度 内18非欧几何的意义：非欧几何的意义：（1 1）是人类

7、认识史上一个富有创造性的伟大成果，它把人）是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它把人 从传统的思想束缚中解放出来，从此，数学认识从以从传统的思想束缚中解放出来，从此，数学认识从以 直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代，数学直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代，数学 表现为人类思维的自由想象。表现为人类思维的自由想象。（2 2）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物 理学、天文学和人类时空观念的变革都产生深远影响。理学、天文学和人类时空观念的变革都产生深远影响。 19131913年，物理学家给出了罗氏几何在相对论里的应用；年，物

8、理学家给出了罗氏几何在相对论里的应用； 19471947年，人们在心理学的研究中，发现视觉空间最好年，人们在心理学的研究中，发现视觉空间最好 用罗氏几何来描述。用罗氏几何来描述。 “欧洲数学之王欧洲数学之王”高斯高斯 高斯是当时数学界首屈一指的数高斯是当时数学界首屈一指的数 学巨匠，负有学巨匠，负有“欧洲数学之王欧洲数学之王”的的 盛名。盛名。 早在早在17921792年，即罗巴切夫斯基诞年，即罗巴切夫斯基诞 生的那一年，他就已经产生了非生的那一年，他就已经产生了非 欧几何思想萌芽，到了欧几何思想萌芽，到了18171817年已年已 达成熟程度。达成熟程度。高斯（德，高斯（德，177717771

9、8551855）保守的高斯保守的高斯 但是，高斯感到自己的发现与当时流行的康德空间但是，高斯感到自己的发现与当时流行的康德空间 哲学相抵触，担心受到世俗的攻击并激起学术界的哲学相抵触，担心受到世俗的攻击并激起学术界的 不满和社会的反对，因此，他生前一直没敢把自己不满和社会的反对，因此，他生前一直没敢把自己 的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果 写在日记和与朋友的往来书信中。写在日记和与朋友的往来书信中。 他曾在给贝塞尔的一封信中说：他曾在给贝塞尔的一封信中说： 如果他公布自己的这些发现，如果他公布自己的这些发现， “黄蜂就会围着耳朵飞黄蜂就会

10、围着耳朵飞”，并会，并会 “引起波哀提亚人的叫嚣引起波哀提亚人的叫嚣”。进取的进取的J J鲍耶鲍耶J J鲍耶的父亲是数学教授，也是鲍耶的父亲是数学教授，也是高斯的朋友。高斯的朋友。当父亲知道儿子的当父亲知道儿子的志趣时，坚决反对并写信责令其志趣时，坚决反对并写信责令其停止研究，停止研究，“它将剥夺你所有的它将剥夺你所有的闲暇、健康、思维的平衡以及一生的快乐，这个无闲暇、健康、思维的平衡以及一生的快乐，这个无底的黑暗将会吞吃掉一千个灯塔般的牛顿。底的黑暗将会吞吃掉一千个灯塔般的牛顿。”但小但小鲍耶仍乐此不疲。鲍耶仍乐此不疲。 鲍耶鲍耶亚诺什亚诺什（匈牙利，（匈牙利，180218021860186

11、0）懦弱的懦弱的J J鲍耶鲍耶18321832年年2 2月月1414日，父亲将小鲍耶的一篇有关非欧几日，父亲将小鲍耶的一篇有关非欧几何的论文寄给高斯，请高斯对他儿子的论文发表意何的论文寄给高斯，请高斯对他儿子的论文发表意见，然而高斯回信说：见，然而高斯回信说：“称赞他就等于称赞我自己。称赞他就等于称赞我自己。整篇文章的内容，你儿子所采取的整篇文章的内容，你儿子所采取的思路和获得的结果，与我在思路和获得的结果，与我在3030至至3535年前的思考不谋而合。年前的思考不谋而合。”小鲍耶对小鲍耶对高斯的答复深感失望。又高斯的答复深感失望。又18401840年俄年俄国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几国数学

12、家罗巴切夫斯基关于非欧几何的德文著作出版后，更使小鲍耶何的德文著作出版后，更使小鲍耶灰心丧气，他从此便完全放弃了研灰心丧气，他从此便完全放弃了研究数学。究数学。 创新的罗巴切夫斯基创新的罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基是从罗巴切夫斯基是从18151815年着手年着手研究平行线理论的。研究平行线理论的。18261826年年2 2月月2323日，罗巴切夫斯基于喀山日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何读了他的第一篇关于非欧几何的论文的论文几何学原理及平行线几何学原理及平行线定理严格证明的摘要定理严格证明的摘要，这篇，这篇首创性论文的问世，标志着

13、非首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。欧几何的诞生。 罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基（俄国，（俄国，17921856 ）刚毅的罗巴切夫斯基刚毅的罗巴切夫斯基 此后，罗巴切夫斯基就饱尝此后，罗巴切夫斯基就饱尝“黄蜂绕耳黄蜂绕耳”的滋味：的滋味：不少权威人物称其学说是不少权威人物称其学说是“荒唐透顶的伪科学荒唐透顶的伪科学”; ;有有人人写匿名信说他是写匿名信说他是“疯子疯子”; ;有人用漫画进行讽刺挖苦有人用漫画进行讽刺挖苦; ;德国大诗人歌德的讽刺诗：德国大诗人歌德的讽刺诗： 有几何兮，名曰非欧，自己嘲笑，莫名奇妙！有几何兮，名曰非欧，自己嘲笑，莫名奇妙！ 彼得堡科学院院士奥斯特罗格拉茨基：彼得

14、堡科学院院士奥斯特罗格拉茨基： 看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著作，他达到作，他达到了自己的目的了自己的目的由此我得出结论，罗由此我得出结论，罗马切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得马切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得科学院的注意。科学院的注意。在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他的工作。的工作。18461846年，他失去了

15、在喀山大学的所有职年，他失去了在喀山大学的所有职务，被迫离开终身热爱的大学工作。务，被迫离开终身热爱的大学工作。但是，罗巴切夫斯基从来没有动摇过对新几何远但是，罗巴切夫斯基从来没有动摇过对新几何远大前途的坚定信念。直到大前途的坚定信念。直到18551855年，在身患重病，年，在身患重病，卧床不起的困境下，这位双目已失明的老人也没卧床不起的困境下，这位双目已失明的老人也没停止对非欧几何的研究，口述发表了他的最后一停止对非欧几何的研究，口述发表了他的最后一部巨著部巨著泛几何学泛几何学。几何上的哥白尼几何上的哥白尼罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 1919世纪最富有启发性和最值得注意的成就世纪最富有启发性和最值得注意的成就就是非欧几里得几何的发现。就是非欧几里得几何的发现。 希尔伯特（德）希尔伯特（德）