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1、教学目标：教学目标：教学重点：教学重点：1.垂直于弦的直径的性质、推论及应用。垂直于弦的直径的性质、推论及应用。教学难点：教学难点：1.对垂直于弦的直径的性质、推论的说明过程的理解。对垂直于弦的直径的性质、推论的说明过程的理解。2.利用垂径定理及推论解决实际问题。利用垂径定理及推论解决实际问题。1. 理解圆是轴对称图形理解圆是轴对称图形. 2. 掌握垂径定理和推论的推理过程，并能解决一些简单的计算、掌握垂径定理和推论的推理过程，并能解决一些简单的计算、3. 使学生了解垂径定理及推论在实际中的应用，培养学生把使学生了解垂径定理及推论在实际中的应用，培养学生把2.应用垂径定理及推论解决实际问题。应
2、用垂径定理及推论解决实际问题。证明和作图问题。证明和作图问题。实际问题转化成数学问题的能力。实际问题转化成数学问题的能力。问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点弧的中点到弦的距离到弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥
3、拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？此你能得到什么结论？可以发现：可以发现： 圆是圆是轴对称图形轴对称图形，任何任何一条直径所在直线一条直径所在直线都是都是它的对称轴它的对称轴OCDAE=BE, 如图如图 ，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为EOBC相等的线段：相等的线段： AE=BE相等的弧相等的弧： 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分
4、弦所对的两条弧你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？DAE若一条直线满足若一条直线满足：（1）过圆心）过圆心 CD是直径是直径（2）垂直于弦）垂直于弦 CD AB于于E（3）平分弦）平分弦 AE=BE则可推出：则可推出：（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 CD是是 O的直径，的直径，CDAB于于E，符号语言：符号语言：，.垂径定理：垂径定理：如图，若如图，若CD是直径，且是直径，且CD平分弦平分弦AB 是否能得到是否能得到CDAB，且平分弧，且平分弧ACB和弧和弧AB？为什么？为什么？思考：思考：如果如
5、果AB也是直径，也是直径，上述结论是否成立？上述结论是否成立？不一定不一定.平分平分弦（不是直径）弦（不是直径）的直径垂直于弦，的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧符号语言：符号语言： CD是是 O的直径，的直径，AB是弦（不是直径），是弦（不是直径）， CD AB ，.OBCDAE垂径定理推论：垂径定理推论：（不是直径），（不是直径），CDAB且且AE=BE，（1）过圆心（）过圆心（CD是直径是直径）；）；（2）垂直于弦（）垂直于弦（CD AB于于E）；）；（3）平分弦（）平分弦（AE=BE）；）；（4）平分弦所对的劣弧（）平分弦所对的劣弧（ ）；）；（5）平分弦所对
6、的优弧（）平分弦所对的优弧（ ）.5个条件中，任满足个条件中，任满足2个，剩下个，剩下3个结论都成立。个结论都成立。OCDAE由由 (2)、(3)，得，得(1)、(4)、(5)。常用此方法来确定圆心的位置常用此方法来确定圆心的位置BBAOC例例1：如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE解：过点解：过点O作作OEAB于于E，连接，连接OA.答：答： O的半径为的半径为5cm.1. 如图，在如图，在 O中，直径为中，直径为10cm，弦，弦AB的长为的长为8cm，求圆心，求圆心O到到AB的距离的距离.OABE
7、2. 如图，在如图，在 O中，直径为中，直径为10cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求弦求弦AB的长的长.3. 设设 O的半径是的半径是r，圆心到弦，圆心到弦的距离为的距离为d，弦长为，弦长为a，这三者，这三者间有怎样的关系式？间有怎样的关系式？ r2 =d2+( )2a2rd构造直角三角形，利用垂径定理构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理，解决问题。和勾股定理，解决问题。问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶
8、它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？解决求赵州桥拱半径的问题？解决求赵州桥拱半径的问题？ABOAB=37.4mDCCD=7.2mAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=r7.2半径半径OC弦弦ABr在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得：解得：r279（m）即即: r2=18.72+（r7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27
9、.9m.OA2=AD2+OD2dha/2 r2 =d2+( )22ah+d=r解解:如图，用弧如图，用弧AB表示主桥拱，设表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为r 过圆心过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB相交于点相交于点C，1. 如图，如图，AB是是 O的直径，弦的直径，弦CDAB于于M，下列结论不一定成立的是（下列结论不一定成立的是（ ） CM=DM AD=2BDBCD=BDCC巩固练习巩固练习2.如图，在如图，在 O中，中，P是弦的中点，是是弦的中点，是过点的直径，则下列结论不正确的是（）过点的直径，则下列结论不正确的是（）CD
10、 ABCOCDAB. 如图，周长为如图，周长为10 的的 O中，弦中，弦AB的弦心的弦心距距OC等于等于3，那么弦，那么弦AB的长为（的长为（ ）。）。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8D巩固练习巩固练习. 如图，如图，AB是是 O的直径，弦的直径，弦CDAB于于E， 若若AB=20，CD=16，则线段，则线段OE等于（等于（ ）。）。 A. 4 B. 6 C. 8 D.10B5. 如图，如图， O的直径垂直弦于，且的直径垂直弦于，且是半径的中点，则直径是半径的中点，则直径AB的长为（的长为（ ）。）。 A. B. C. D. D巩固练习巩固练习6. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣
11、弧），其跨如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度的长为米，拱桥的半径为米，则拱高度的长为米，拱桥的半径为米，则拱高的长为（）米。的长为（）米。 A. B. C. D.OBCADBO7如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的 两两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E。求证：四边形求证：四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，且且 AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.又由垂径定理：又由垂径定理： AB AC于于A， ODAB于于D，OEAC于于E巩固练习巩固练习1.垂径定理
12、垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧OCDAE平分平分弦（不是直径）弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧2.垂径定理推论：垂径定理推论： r2 =d2+( )22ah+d=r3.半径、弦、弦心距、弓形高之间的关系。半径、弦、弦心距、弓形高之间的关系。rdha/2O1.必做题：必做题：课本课本P87P88 第第1、7题。题。2.选做题：选做题：课本课本P88 第第10题题.3.备选题：备选题： 圆圆o的直径是的直径是50 ,圆圆o的两条平行弦的两条平行弦AB与与CD，若，若AB=40，CD=48. 求求AB与与CD间的距离间的距离.
