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1、内容提要1、刚体的平动和转动（1）平动刚体上任意两点的确定的直线在运动中保持不变。刚体平动时，各点的、相同，可以用一组线量描述，所以刚体的平动可用质心为代表，用质点力学处理。（2）定轴转动刚体上所有点绕某一固定直线作圆周运动。刚体定轴转动时，各点的、相同，可以用一组角量来描述。线量与角量的关系2、力矩和转动惯量力矩转动惯量3、转动定律对应同一转轴两种解法：（1）根据定义的普通解法，应注意dm的取法；（2）利用已有结果解（匀质细杆、园盘等）4、角动量、角动量定理及角动量守恒刚体角动量角动量定理角动量守恒，则，则若若5、转动动能定理 包括有刚体的系统，如果运动过程中，只有保守力做功，则系统的机械能
2、守恒。6、机械能守恒刚体质点的角动量L=恒量7、刚体定轴转动和质点运动对照表质点运动刚体定轴转动位移角位移速度角速度加速度角加速度质量转动惯量力力矩牛顿定律转动定律质点运动刚体定轴转动动量角动量角动量角动量定理动量定理角动量守恒定律动量守恒定律力矩的功力的功质点运动刚体定轴转动动能 动能定理转动动能定理转动动能重力势能重力势能机械能守恒机械能守恒P142习题4-1，B；4-2，B；4-3，C；4-4，C；4-4，B（09）1、花样滑冰运动员绕通过自身的坚直、花样滑冰运动员绕通过自身的坚直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0，角，角速度为速度为0 0。然后将。
3、然后将两臂收回使转动惯量减少两臂收回使转动惯量减少为为J0/3 ，此时她转动的角速度变为，此时她转动的角速度变为 （09）2、如图所示，一质量为、如图所示，一质量为m半径为半径为R的的薄圆盘，可绕通过其一直径的光滑固定轴薄圆盘，可绕通过其一直径的光滑固定轴AA转动，转动惯量为转动，转动惯量为J=mR2/4。该园盘从静止开。该园盘从静止开始在恒力矩始在恒力矩M作用下转动，作用下转动， t秒后位于圆盘边秒后位于圆盘边缘上与轴缘上与轴AA的垂直距离为的垂直距离为R的的B点的切向加点的切向加速度速度at= ,法向加速度法向加速度an= 。AA（1）DB（09）3、地球的自转角速度可以认为是恒定、地球的
4、自转角速度可以认为是恒定的。地球对于自转轴的转动惯量为的。地球对于自转轴的转动惯量为J=9.8X1037kg.m2，地球对于自转轴的角动量，地球对于自转轴的角动量L= 。（09）4、一轻绳跨过一具有水平光滑轴质量为、一轻绳跨过一具有水平光滑轴质量为M的定的定滑轮，绳的两端分别悬挂质量为滑轮，绳的两端分别悬挂质量为m1，m2的物体（的物体（ m1m2），），轻绳不可伸缩且与滑轮间无相对滑动，若某轻绳不可伸缩且与滑轮间无相对滑动，若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力T2T1（A）处处相等（B）左边大于右边（C）右边大于左边（D）哪边大无法判断（09）5、
5、一飞轮作匀减速转动，在、一飞轮作匀减速转动，在5s内角速内角速度从度从40 rad/s减到减到10rad/s，则飞轮在，则飞轮在5s内总内总共转了共转了 圈，飞轮再经圈，飞轮再经 的时的时间才能停止转动。间才能停止转动。4答（C）（09）6、一转动惯量为、一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，的圆盘绕一固定轴转动，初角速度为初角速度为0 0，设它所受阻力矩与转动角速度成正，设它所受阻力矩与转动角速度成正比比M=-kM=-k(k(k为正常数为正常数) )，求圆盘的角速度从，求圆盘的角速度从0 0变为变为0 0/2/2时所需的时间。（时所需的时间。（5 5分）分）解：据转动定律（09）7、一块宽、一
6、块宽L=0.60m、质量、质量M=1kg的均匀薄木的均匀薄木板可绕水平固定轴板可绕水平固定轴OO无摩擦自由转动，当木板静无摩擦自由转动，当木板静止在平衡位置时，有一质量为止在平衡位置时，有一质量为m=1010-3kg子子弹垂直垂直击中木板中木板A点，点，A点离点离转轴距离距离 =0.36m，子，子弹击中中木板木板前的速度为前的速度为500m/s500m/s，穿出木板后的速度为，穿出木板后的速度为200m/s200m/s。（已知绕。（已知绕OOOO轴的转动惯量为轴的转动惯量为J=MLJ=ML2 2/3/3） （1010分）求：分）求： (1) (1)子弹给予木板的冲量；子弹给予木板的冲量；（2
7、2）木板获得的角速度）木板获得的角速度OOLA解：解：（1）子弹受到的冲量为）子弹受到的冲量为OOL子弹对木板的冲量方向与相同（2 2）由角动量定理）由角动量定理（09）8、一质量为、一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，的物体悬于一条轻绳的一端，绳的另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示，轴水平绳的另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示，轴水平且垂直于轮轴面，其半径为且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的，整个装置架在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间t内下内下降了一段距离降了一段距离S，度求整个轮轴的转动惯量。（用，度求整个轮轴的转动惯量。（用
8、m，r，t，s表示）表示）（10分）分）mOr解：受力分析如图所示mOrTmgaT（08）1、一自由悬挂的匀质细棒、一自由悬挂的匀质细棒OA，可绕，可绕O端在竖端在竖直平面内自由转动，现使棒从水平位置由静止开始直平面内自由转动，现使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪个正确法哪个正确 A、角速度从小到大，角加速度从大到小；、角速度从小到大，角加速度从大到小； B、角速度从小到大，角加速度从小到大；、角速度从小到大，角加速度从小到大；C、角速度从大到小，角加速度从大到小；、角速度从大到小，角加速度从大到小； D、角速度
9、从大到小，角加速度从小到大。、角速度从大到小，角加速度从小到大。OA（08）2、可绕水平轴转动的飞轮，直径为、可绕水平轴转动的飞轮，直径为1.0m，一，一条绳子绕在飞轮的外周边缘上。如果飞轮从静止开条绳子绕在飞轮的外周边缘上。如果飞轮从静止开始做匀角加速度运动且在始做匀角加速度运动且在4s内绳被展开内绳被展开10m，则飞轮，则飞轮的角加速度为的角加速度为 ？3、一个作定轴转动的物体，转动惯量为、一个作定轴转动的物体，转动惯量为J，正以角，正以角速度速度10rad/s匀速转动，现对物体加一恒定制动力矩匀速转动，现对物体加一恒定制动力矩M=0.5N.m，经过，经过5s后物体停止转动。物体的转动惯后
10、物体停止转动。物体的转动惯量量J= ？ （1）A；1-3题各3分（08）4、两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在、两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为r，质量为，质量为m；大圆盘的半径为；大圆盘的半径为r=2r，质量为，质量为m=2m。组合轮。组合轮可绕通过其中心垂直于盘面的光滑水平固定轴可绕通过其中心垂直于盘面的光滑水平固定轴O转动，转动，转动惯量转动惯量J=9mr2/2。两圆盘边缘上分别绕有轻质细。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，下端各悬挂质量为绳，下端各悬挂质量为m的物体的物体A和和B，如图所示，如图所示，这一系统从静
11、止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳长不变。已知长不变。已知r=10m。求：。求：（10分）分）（1）组合轮的角加速度）组合轮的角加速度（2 2）当物体）当物体A A上升上升h=40cmh=40cm时，时，组合轮的角速度组合轮的角速度ABm,rm,rOABm,rm,rOTT解：（1）（2）设过为组合轮转过的角度（08）5、如图所示，一半径为、如图所示，一半径为R的匀质小木球固结的匀质小木球固结在一长度为在一长度为 的匀质细棒的下端。且可绕水平光滑固的匀质细棒的下端。且可绕水平光滑固定轴定轴O转动。今有一质量为转动。今有一质量为m，速度为，速度为 的子弹，
12、沿的子弹，沿着与水平面成着与水平面成 角的方向射向球心，且嵌于球心。已角的方向射向球心，且嵌于球心。已知小木球、细棒对轴转动惯量总和为知小木球、细棒对轴转动惯量总和为J J，求子弹嵌入求子弹嵌入球心后系统的共同角速度（球心后系统的共同角速度（5分）分）OROR解：选子弹、细棒、小木球为系统，子弹射入时系统解：选子弹、细棒、小木球为系统，子弹射入时系统所受合外力矩为零，系统对转轴的角动量守恒所受合外力矩为零，系统对转轴的角动量守恒（07）1、一个作定轴转动的轮子，转动惯量为、一个作定轴转动的轮子，转动惯量为J=2.0kg.m2，正以角速度，正以角速度0 0匀速转动，现对轮子加匀速转动，现对轮子加
13、一恒定力矩一恒定力矩M=-12N.m，经过，经过8s后轮子的角速度后轮子的角速度=-=-0 0，则，则0 0= ？ （07）2、一质量为、一质量为15kg、半径为、半径为0.30m的圆柱体可的圆柱体可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动，现以一不能绕与其几何轴重合的水平固定轴转动，现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m=8.0kg的物体。不计圆柱与轴的摩擦求：的物体。不计圆柱与轴的摩擦求：(1)物体自静止下落，物体自静止下落，5s内下落的距离内下落的距离（2）绳中的张力）绳中的张力mgTMgF（0709）3、一均匀木杆质量为、一均匀木杆质量为m
14、1=1kg，长，长 =0.4m，可，可绕通过它的中点且与杆身垂直的光滑水平固定轴在竖绕通过它的中点且与杆身垂直的光滑水平固定轴在竖直平面内转动。设杆静止于竖直位置时，一质量为直平面内转动。设杆静止于竖直位置时，一质量为m2=10g的子弹在距杆中点的子弹在距杆中点 /4处穿透木杆（穿透所用时处穿透木杆（穿透所用时间不计）间不计）,子弹初速度的大小为子弹初速度的大小为 = 200m/s ，方向与杆，方向与杆和轴均垂直。穿出后子弹速度大小减为和轴均垂直。穿出后子弹速度大小减为 =50m/s方向方向不变，求子弹刚穿出的瞬时，杆的角速度的大小不变，求子弹刚穿出的瞬时，杆的角速度的大小(木杆木杆绕通过中点
15、垂直轴的转动惯量绕通过中点垂直轴的转动惯量J=m1l2/12)O解：子弹与杆系统外力矩为霍，角动量守恒1、有一长方形的匀质薄板，长为有一长方形的匀质薄板，长为a，宽为，宽为b，质量为，质量为m，分别求此薄板以下列直线为轴的转动惯量。，分别求此薄板以下列直线为轴的转动惯量。（1）长边；（）长边；（2）短边；）短边；（3）通过其中心而垂直与板面。）通过其中心而垂直与板面。（1）另解（2）竖分（2）（1）据定义的普通解法；（2）据已有结果解（3）解（2）取：补偿法，要注意质量一个大园盘挖去一个小园盘后绕中心垂直轴的一个大园盘挖去一个小园盘后绕中心垂直轴的J2、 如图所示，一均匀细棒，长为l，质量为m
16、，可绕过棒端且垂直于棒的光滑水平固定轴O在竖直平面内转动，棒被拉到水平位置从静止开始下落，当它转到竖直位置时，与放在地面上一静止的质量亦为m的小滑块碰撞，碰撞时间极短，小滑块与地面间的摩擦系数为，碰后滑块移动距离S后停止，而棒继续沿原转动方向转动，直到达到最大摆角。求：碰撞后棒的中点C离地面的最大高度h 过程：棒下落过程，棒、地球系统，机械能守恒过程：棒与滑块系统碰撞过程中，对O轴的角动量守恒过程：对滑块由动能定理对棒、地球系统，棒上升过程中，机械能守恒 3、质量为质量为 长为长为 的均匀细棒，在一的均匀细棒，在一水平面内绕通过棒中心并与棒垂直的固定轴自由转动，水平面内绕通过棒中心并与棒垂直的
17、固定轴自由转动，棒上套有两个可沿棒滑动的小物体，每个质量都为棒上套有两个可沿棒滑动的小物体，每个质量都为 。开始时，两小物体分别被固定在棒中心的两侧且距棒。开始时，两小物体分别被固定在棒中心的两侧且距棒中心各中心各 ，此系统以，此系统以 的转速的转速转动。若将小物体松开后，它们在滑动过程中受到的阻转动。若将小物体松开后，它们在滑动过程中受到的阻力正比与速度。（棒对中心轴的转动惯量为力正比与速度。（棒对中心轴的转动惯量为 ）求：）求：(1)当两小物体到达棒端时当两小物体到达棒端时,系统的角速度系统的角速度?(2)当两小物体飞离棒端后当两小物体飞离棒端后,棒的角速度棒的角速度?选细棒和两个小物体为
18、一系统，角动量守恒不变不变4、空心圆环可绕光滑的竖直轴空心圆环可绕光滑的竖直轴 自由转动，转动惯自由转动，转动惯量为量为 ，环的半径为，环的半径为 ，初始时，环的角速度为，初始时，环的角速度为 。质量为质量为 的小球静止在环内最高处的小球静止在环内最高处 点。由于某种微点。由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心在同小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心在同一高度的一高度的 点和环的最低处的点和环的最低处的 点时，环的角速度及点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为？（设环的内壁和小球都是小球相对于环的速度各为？（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面积光滑的，小球
19、可视为质点，环截面积 ）选环和小球为一个系统，角动量守恒，选环、小球和地球为一个系统，机械能守恒，以点为势能零点，联立解得联立解得B处环的角速度及小球相对于环的速度处环的角速度及小球相对于环的速度同理可得C点的速度：选环、小球和地球为一个系统，机械能守恒，以点为势能零点，选环和小球为一个系统，角动量守恒，5、一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴端的竖直固定光滑轴 转动，棒的质量为转动，棒的质量为 长度为长度为 对轴的转动惯量为对轴的转动惯量为 ，初始时，初始时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一棒静止，今有一水平运
20、动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，子弹的质量端，并留在棒中，子弹的质量 速率速率 问问（1）棒开始和子弹一起转动时角速度）棒开始和子弹一起转动时角速度 ？ （2）若棒转动时受到大小为）若棒转动时受到大小为 的恒阻的恒阻力矩作用，棒能转过的角度力矩作用，棒能转过的角度 ？（1）角动量守恒o（2）转动定律转动定律：6、一轻绳绕过一定滑轮，滑轮的质量为一轻绳绕过一定滑轮，滑轮的质量为M/4，均匀分，均匀分布在其边缘上，绳子的布在其边缘上，绳子的 端有一质量为端有一质量为 的人抓住绳的人抓住绳端，而在另一端端，而在另一端 系着一个质量为系着一个质量为 的重物人的重物人从静止开始以相对绳匀速向上
21、爬时，绳与滑轮间无相从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求对滑动，求 端重物上升的加速度端重物上升的加速度? （滑轮对过滑轮（滑轮对过滑轮中心且垂直与轮面的轴的转动惯量）中心且垂直与轮面的轴的转动惯量）选重物为研究对象，地面为参考系选滑轮为研究对象，地面为参考系选人为研究对象，绳子为参考系只介绍注意点如以地为参考系7、 一轴承光滑的定滑轮，质量为一轴承光滑的定滑轮，质量为 ，半径，半径为为 。一根不能伸展的轻绳，一段固定在。一根不能伸展的轻绳，一段固定在定滑轮上，在另一端系一质量为定滑轮上，在另一端系一质量为 的物体的物体.定滑轮的转动惯量定滑轮的转动惯量 ，已知定滑轮的初角
22、，已知定滑轮的初角速度速度 ， 其方向垂直纸面向里。求：其方向垂直纸面向里。求：(1)定滑轮的角加速度定滑轮的角加速度;(2)定滑轮的角速度等于零时物体上升的高度；定滑轮的角速度等于零时物体上升的高度；(3)当物体回到原位置时定滑轮的角速度。当物体回到原位置时定滑轮的角速度。对物体滑轮（1）TT（2）（3）因机械能守恒，故 一长为 的轻质细杆，两端分别固定质量为 和 的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点 且与杆垂直的水平光滑固定轴（ 轴）转动，开始时杆与水平成 角，处于静止状态，无初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕 轴转动，系统绕 轴的转动惯量为 释放后，当杆转到水平位置时，刚体的合外力矩为
23、 角加速度为 填空题取转轴的正方向为垂直纸面向里，由转动定律 转动着的飞轮的转动惯量为 ，在 时角 速度为 ，此后飞轮经历制动过程，阻力矩 的大小与角速度的平方成正比比例系数为 （ 为大于零的常数）。当 时，飞轮的角加速度为 ，所经历的时间为 *8、 一匀质的薄圆盘状飞轮，质量为m，半径为R，绕过盘心且垂直盘面的竖直轴转动，轴的摩擦忽略不计。当它以初角速度0转动时，由于上下表面受到空气的摩擦阻力矩的作用，会慢慢停下来，假设空气对盘表面任意点附近单位面积上的摩擦力正比于该点处的线速度大小，比例常数为k，求它一共能转多少圈？（X）解此题的关键是求出摩擦阻力矩。为此首先要明确摩擦阻力矩有什么特点？1
24、.因为单位面积受到的摩擦阻力，正比于该点处的线速度，所以飞轮转动时，距转轴距离相等的各点处，单位面积的摩擦力大小一样，方向不同，但它们产生的力矩方向相同。2.转动过程中，由于角速度不断变化，所以同一点处摩擦力的大小也要随时间变化，是一个变力矩的问题。方法：一种是应用转动定律，一种是应用角动量定理。方法一：应用转动定律单位面积元单位面积元所受的摩擦力为：圆环上所有面元的力矩方向相同，即均向里，由转动定律方法二、角动量定理因为力矩和角动量方向在同一直线上，例例9：试求阿特武德机两侧悬挂的质量分别为：试求阿特武德机两侧悬挂的质量分别为m1，m2的重物的加速度及绳中的张力，如图定滑的重物的加速度及绳中
25、的张力，如图定滑轮的半径为轮的半径为R ，质量为，质量为M，轻绳不可伸缩且与滑，轻绳不可伸缩且与滑轮间无滑动滑轮轴上摩擦不计。轮间无滑动滑轮轴上摩擦不计。T1T2例例10：两均质皮带轮的半径分别为两均质皮带轮的半径分别为R1和和R2，质量，质量分别为分别为m1和和m2，都可以视为匀质园盘，两轮以皮，都可以视为匀质园盘，两轮以皮带相连，分别绕两平行的固定轴带相连，分别绕两平行的固定轴O1和和O2转动，如转动，如果在第一轮上作用一力矩果在第一轮上作用一力矩M，在第二轮上作用有，在第二轮上作用有负载力矩负载力矩M，设皮带与轮间无滑动，皮带质量以，设皮带与轮间无滑动，皮带质量以及两轴处的磨擦均忽略不计，试求第一皮带轮的及两轴处的磨擦均忽略不计，试求第一皮带轮的角加速度。角加速度。o1o2MMT1T2T1T2R1R2o1o2MT1T2T2R1T1M
