基本塑性性质基本塑性性质 v§§1 基本实验资料基本实验资料 v§§2 材料应力材料应力- -应变关系的简化模型应变关系的简化模型v§3 3 三杆桁架的弹塑性平衡分析三杆桁架的弹塑性平衡分析v§4 4 加加载载路路径径对对塑塑性性变变形形和和极极限限载载荷荷的的影影 响响 §§1基本实验资料基本实验资料 v1. 单向拉伸试验单向拉伸试验v2.2.静水压力试验静水压力试验 v3.3.鲍辛格效应鲍辛格效应 v4.4.材料性质的基本假设材料性质的基本假设 1.单向拉伸试验单向拉伸试验 通过材料力学试验，我们已经得到了具有代表性的低碳钢拉伸时的应力-应变曲线，如图7-1所示它反映了常温、静载下，材料应力-应变关系的全貌，显示了材料固有的力学性能 下面介绍单向拉伸的几个塑性概念： （1）屈服极限v应力-应变曲线上A点对应的应力值称为材料的弹性极限弹性极限若应力小于弹性极限，则加载和卸载的应力-应变曲线相同（OA）段；若应力超过弹性极限，加载的应力-应变曲线有明显的转折，并出现一个水平线段（AF），常称为屈服阶段，相应的应力称为屈服极限屈服极限在AF段应力不变的情况下可以继续变形，通常称为塑性流动。
（2）加载和卸载规律v材料中的应力达到屈服极限时，即进塑性阶段此阶段的最大特点：加载和卸载的应力——应变曲线不同例如由图中B点卸载，应力与应变不是沿BAO线而是沿BD线退回应力全部消失后，仍保留永久应变OD在变形不大时，多数材料应力应变曲线中的BD与OA接近平行以εp表示塑性应变OD，以εe表示弹性应变DC，则B点的应变为vε=εe+εpv如果从D点重新加载，开始时仍按DB变化，回到B点后则按BFH变化 （3）后继屈服v若在B′卸载至D′，则再加载时，B′点的应力成为新的屈服极限，它高于初始屈服极限σs这一现象称为后后继屈服屈服和初始屈服点不同，后继屈服点在应力-应变曲线上的位置不是固定的，而是取决于塑性变形过程即塑性变形的大小和历史 （4）条件屈服极限的确定 v一般金属材料根据其塑性变形性能的不同可分为两类：一类金属材料如低碳钢、铸钢、某些合金钢等，应力-应变曲线如图7-1所示它们的屈服阶段较长，有的材料在该阶段的应变量为1%v另一类金属材料则没有明显的屈服阶段，如中碳钢、某些高强度合金钢以及某些有色金属等，它们的应力-应变曲线如图7-2所示对于这种屈服极限不明显的材料，工程上将对应于残余应变为0.2%的应力值定义为条件屈服极限σ0.2 ，也称为名义屈服极限；或者将拉伸曲线中割线模量为0.7E处的应力定义为条件屈服极限。
后一种定义方法比测定残余应变更简单，对于一般钢材前后两种方法确定的名义屈服极限近似相等 （5）塑性变形阶段的特性 v①在塑性变形阶段，由于加载和卸载的规律不同，卸载后就必然存在残余变形弹弹性性和和塑塑性性的的本本质质差差别别在在于于卸卸载载后后是是否否存存在在不不可可恢复的永久变形恢复的永久变形v②于加载和卸载规律的不同，引起塑性阶段应力与应变的多值关系在弹性阶段，已知应力就可唯一地确定相应的应变；而在塑性阶段就不存在这种一一对应的关系由图7-1可见，对应于应力σ1的应变，可以是ε1和ε1′也可以是ε″1，它与加载历史过程有关但在某一瞬时，应力增量和应变增量之间的关系则是确定的v③因为塑性变形不可恢复，所以外力所作的塑性功不可逆设材料从某一应力σo对应的do点开始加载，按线性规律达到d点，如图7-3所示这时如给出应力增量dσ，它将引起一个新的塑性应变增量dεp，在此变形过程中应变能有了增量若从f点卸载，应力又降为σo §这时弹性应变消失，弹性应变能得到释放，而塑性应变被残留下来，相应的塑性应变能（图中阴影部分）被消耗了这种不能重行释放的塑性应变能也称作耗散能耗散能，与此相应的功称塑性功塑性功，它被耗散而不可逆。
2. 静水压力试验静水压力试验 v在各向均匀高压的条件下，对金属材料进行了大量试验研究，主要结论为v（1）静水压力对材料屈服极限的影响v在静水压力不大的条件下（例如五倍屈服应力），它对多数致密金属材料屈服极限的影响可以忽略但对于像铸造金属、矿物、岩石及土壤等材料，静水压力影响比较大，不能忽略v（2）关于体积变化v试验表明：弹簧钢在10000个大气压下体积缩小约2.2%，而且这种体积变化时可以恢复的对于一般金属材料，可以认为变化基本上是弹性的，除去静水压力后体积变形可以全部恢复，没有残余体积变形因此可以忽略弹性的体积 变化，而认为材料在塑性状态时的体积是不可压缩的，即体积不变仅改变形状v另外，变形速度、应力作用时间的长短以及温度等因素对应力-应变曲线都有影响，但对金属材料在通常的变形速度及室温条件下影响不大，可以不予考虑 3. 包辛格效应包辛格效应 v（1）拉伸与压缩试验结果的比较v对于一般金属材料，在小变形阶段，拉伸 与压缩的试验曲线基本重合，一般在应变量不超过1%时可以认为两者一致但在大变形阶段则有显著差别由于一般压缩曲线略高于拉伸曲线，因此对于同种金属材料，在变形不大的情况下，用拉伸试验代替压缩试验进行塑性分析是偏于安全的。
但是，对于拉伸与压缩曲线有明显差别的材料如铸铁、混凝土等，则需另作专门研究v（2）包辛格效应v如图7-4所示，具有强化性质的材料受拉伸且拉应力超过屈服极限（图中A点）后，材料进入强化阶限（AD段）若在B点卸载，再受拉伸时，拉伸屈服极限由没有塑形变形时的A点的值提高到B点的值若在卸载后反向加载，则压缩屈服极限的绝对值由没有塑形变形时的A′点的值降低到B′点的值图中OACC’线是对应更大塑性变形的加载——卸载——反向加载路径，其中与C和C′点对应的值分别为新的拉伸屈服极限和压缩屈服极限 这一现象为包辛格（Bauschinger）所发现，称为包包辛辛格格效效应应它使具有强化性质的材料由于塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高， 同时在反方向上降低，材料具有了各向异性性质在求解问题时，为了简化常忽略这一效应，但有反方向塑性变形的问题须考虑包辛格效应 4. 材料性质的基本假设 v（1）材料是均匀、连续的，在初始屈服前为各向同性v（2）各向均匀应力状态不影响材料的塑性变形而只产生弹性的体积变化v（3）材料的弹性性质不受塑性变形的影响v（4）不考虑时间因素对材料性质的影响 §§2 材料应力应变关系的简化材料应力应变关系的简化 v1. 1. 常用应力常用应力- -应变关系简化模型应变关系简化模型v2. 2. 其他应力其他应力- -应变关系简化模型应变关系简化模型 1. 应力应力——应变关系简化模型应变关系简化模型 v（1）理想弹塑性模型 v（2）理想刚塑性模型 v（3）线性强化弹塑性模型v（4）线性强化刚塑性模型 （1）理想弹塑性模型 v在材料中应力达到屈服极限以前，应力应变服从线弹性关系。
应力一旦达到屈服极限，则应力保持为常数σs右图（a）所示，即当材料σ－ε曲线有一较长的水平屈服阶段，即材料的强化效应不明显时，可采用理想弹塑性模型 （2）理想刚塑性模型 v当弹性变形比塑性变形小的多时，略去理想弹塑性模型的线弹性部分，在应力达到屈服极限σs前材料为刚性的，而应力达到σs后材料为理想塑性的如右涂（b）所示，即在进行结构塑性极限分析时，则采用理想刚塑性模型 （3）线性强化弹塑性模型 v对于一般合金钢、铝合金等强化材料，可以用两段折线近似实际的拉伸曲线如右图（c）所示应力达到屈服极限σs前，应力应变呈线弹性关系，应力超过σs则为线性强化关系，即 式中E1为强化阶段直线斜率，当E1=0时即为理想弹塑性模型 （4）线性强化刚塑性模型 v略去线性强化弹塑性模型中的线弹性部分，即在应力达到σs前材料为刚性的，应力超过σs后应力应变关系呈线性强化如右图（d）所示，即注：注：以上仅就拉伸应力状态进行了讨论，其关系同样适用于压缩应力状态 2. 其他应力应变关系简化模型其他应力应变关系简化模型 v（1）幂强化弹塑性模型v（2）割线模量公式 v（3）普拉格模型 （1）幂强化弹塑性模型v幂强化弹塑性模型如右图所示，即 v σ=Aεn v式中：n为强化系数，是介于0和1之间的正数v当n=0时，代表理想塑性体的模型；当n=1时，则为理想弹性体模型。
另外，幂强化曲线与多数工程材料的实际性能相接近，并且便于应用，适用于应变较大的问题 （2）割线模量公式 v如右图所示：曲线将开始阶段的直线部分延长，使其与过点A的垂直线相交于C，则A点的应力为vσ=εtanα- v线段取决于ε，且随ε的增大而增长设与ε的函数关系已由试验求得为 v式中ω(ε)由材料的性质确定A点的应力可写为v 式中E′=E[1－ω（ε）]为A点的割线模量 （3）普拉格公式v该公式的图线如又右图所示它没有尖锐的屈服点，从弹性区逐渐地过渡到塑性区曲线开始时有斜率E，弯过来以后渐渐地趋近于应力σs，且变形在弹性量级时应力就很快到达σs 普拉格曲线模型，即注：在实际解决问题中，究竟采用哪种模型或经验公式，要由所使用的材料和所研究的变形范围来确定 §§3 三杆桁架弹塑性平衡分析三杆桁架弹塑性平衡分析 v1. 线性强化弹塑性材料线性强化弹塑性材料v（1）弹性阶段 v（2）弹塑性阶段 v（3）塑性阶段 v2. 2. 采用其它材料简化模型的三杆桁架采用其它材料简化模型的三杆桁架 v（1）线性强化刚塑性材料 v（2）理想弹塑性材料 v（3）理想刚塑性材料 v3. 三杆桁架卸载后的残余应力和残余应三杆桁架卸载后的残余应力和残余应变变 v v三杆桁架如图7-9所示。
假设桁架结构和荷载左右对称，且各杆横截面积均为A,在D点受竖直荷载P. 图7-9 对称三杆桁架 1. 线性强化弹塑性材料线性强化弹塑性材料v设σ1和σ2分别表示杆件的应力，δ1和δ2分别表示1杆和2杆的伸长，ε1和ε2分别表示其应变v平衡方程：vAσ1+2Aσ2cosθ=P（a）v几何方程：vδ2=δ1cosθ（b）应力应变关系：（c） （（1 1）弹性阶段）弹性阶段 当载荷P足够小时，三杆均处于弹性状态如果P值增大，因为σ1 > σ2，所以杆1最先到达塑性状态此时， σ1 = σs， ε1 = εs由几何方程可知ε2=εscos2θ 利用应力应变关系第一式，可得σ2值，即σ2=Eεscos2θ 将σ1和σ2数值代入平衡方程（a）式，得桁架开始出现塑性变形的载荷为vP Pe e=σ=σs sA A(1+2cos(1+2cos3 3θ) θ) (7-9) 将P Pe e称为结构的弹性极限载荷 （（2 2）弹塑性阶段）弹塑性阶段 当P>Pe ，但σ1>σs、σ2≤σs时，杆1进入塑性状态而杆2仍处于弹性状态，称为结构的弹塑性阶段设此时 ，由几何方程（b）式得 。
杆1和杆2分别采用应力应变关系（c）式的第二和第一式，得其应力值代入平衡方程（a）式，得此时的相应载荷为 （7-10）载荷P与杆1的应变ε1= 相对应 当结构弹塑性阶段结束时，σ2=σ 、 ε2 =εs，杆2也开始进入塑性状态，相应的载荷为 （7-11）可将Pep称为弹塑性极限载荷 （（3 3）塑性阶段）塑性阶段如果载荷P由Pep值继续增加，则三杆均处于塑性状态平衡方程和几何方程仍然适用，只是应力应变关系都须采用（c）的第二式可以求出结构的塑性阶段用ε1= 表示的载荷为 （7-12） 由前面的分析可知，在载荷P由零逐渐增加的过程中，结构的变形可分为三个阶段即弹性阶段：P≤Pe；弹塑性阶段：Pe≤P≤Pep；塑性阶段：P≥Pep 三个阶段中，结构的平衡方程、变形协调方程相同，而应力应变关系则应根据不同情况采用公式（c）的第一或第二式。
2. 采用其它材料简化模型的三竿桁架采用其它材料简化模型的三竿桁架v（（1）线性强化刚塑性材料）线性强化刚塑性材料v线性强化刚塑性材料的三杆桁架，其变形可分为两个阶段v1.刚性阶段：由于问题的超静定性质，所以本阶段无法求出各杆应力当本阶段结束时，可由前面的（7-12）式，令E→∞得到相应载荷为v Ps=σsA(1+2cosθ) （7-13） v2.塑性阶段：此时P≥Ps，σ1≥σ2≥σs用ε1= 表示的相应载荷，可令公式（1-12）中弹性模量E→∞而得出v v （7-14） v（（2）理想弹塑性材料）理想弹塑性材料v如果令线性强化弹塑性材料中的E1=0 ，即为理想弹塑材料该种材料三杆桁架的变形分为三个阶段v1.弹性阶段：求解与线性强化弹塑性材料相同，其弹性极限载荷也为v Pe=σsA(1+2cos3θ) （7-15）v2.弹塑性阶段：当P≥Pe，但有σ1=σs、σ2<σs ，相应载荷可令公式（7-10）中 E1=0而得出v （ 7-16）v本阶段结束的瞬时，σ2=σs ，P达到极大值。
可令（7-12）式中E1=0而得出v Ps=σsA(1+2cosθ) （7-17） v3.塑性阶段：本阶段三杆的应变ε≥εs为不定值相应载荷可令（7-12）式中E1=0得出，或者令σ1=σ2=σs由平衡方程直接得出，一般将它称为结构的塑性极限载荷塑性极限载荷 v（3）理想刚塑性材料v该种材料的刚性阶段同样不能确定各杆内应力开始进入塑性阶段，可由线性强化弹塑性材料三杆桁架塑性阶段载荷（7-12）式，令其中的E1=0且E→∞而得出结构的塑性极限载荷Ps，或者令σ1=σ2=σs直接由平衡方程得出Ps 它与理想弹塑性材料三杆桁架的塑性极限载荷数值相等，即v Ps=σsA(1+2cosθ) （7-18） v为了比较不同材料模型三杆桁架的承载能力，根据前面已有公式，取θ=45°，并设各种材料模型的屈服极限和弹性模量取相同的数值，绘出的p-ε1图线如图7-10所示四种材料的图线分别为图7-10 ①线性强化弹塑性材料：折线oabc；②线性强化刚塑性材料：直线de；③理想弹塑性材料：折线oafg；④理想刚塑性材料：直线dfg。
图7-10 不同材料三杆桁架P~ε1图线 3. 卸载后的残余应力和残余应变卸载后的残余应力和残余应变v 在卸载过程中，只有弹性变形得到恢复，而塑性变形保持不变，并且卸载是服从线性关系的v3.1 单向拉伸时卸载单向拉伸时卸载v单向拉伸时，使试件内应力达到σ，图7-11中的A点，此时σ>σs，对应的应变为ε将试件卸载至σ*（B点）由图可知 v式中Δε和Δσ为卸载时应变和应力的改变量，它们服从虎克定律7-19） 图7-11 单向拉伸的卸载 v3.2 三杆桁架的加载应力与应变v研究图7-9所示的三杆桁架，设各杆均为线性强化弹塑性材料首先将外载荷P增加到P>Ps由前面的分析可知，各杆均处于塑性状态，利用基本方程（a）、（b）和（c）的第二式，可以求出，（7-20） v3.3 相同载荷作用下的弹性应力和应变 v将相同载荷P作用于三杆桁架，按弹性应力应变关系，求出相应的应力和应变为（7-21） v3.4 卸载后的残余应力和残余应变 v在三杆均进入塑性状态后，将载荷P卸除卸载过程中杆内应力和应变按线性弹性规律变化，待载荷完全卸除后，各杆应力和应变的改变量即为公式（7-22）的数值因此，桁架各杆的残余应力和残余应变为 （7-22）从上式可以看出，残余应力σ1*<0、σ2*>0，这是因为它们必须满足平衡方程：（σ1*+2σ2*cosθ）A=0v而残余应变ε1*和ε2*都大于零，并且满足变形协调关系：v ε2*=ε1*cos2θ>0 v3.5 鲍辛格效应与反向屈服v 鲍辛格效应使处于强化阶段材料的拉伸屈服极限提高，而反向压缩屈服极限降低。
由前面的卸载分析可知，三杆桁架的杆1残余应力为压应力，若其数值达到此时材料的压缩屈服极限，将发生反向屈服为了简化问题，假设材料提高后的拉伸屈服极限与降低了的压缩屈服极限之和，等于初始屈服极限的两倍，即假设材料为随动强化模型现在据此讨论三杆桁架不发生反向屈服的条件，这就要求卸载时的应力变化范围不超过2σs，即vΔσl≤2σsv将（7-21）第一式代入，就可得出桁架不发生反向屈服的条件为v P≤2σsA（1+2cos3θ）=2Pe §§4 加载路径对塑性变形和极限荷载的影响加载路径对塑性变形和极限荷载的影响v理想弹塑性材料的三杆桁架，同时受竖直力P和水平力Q的作用，如图7-12（a）所示桁架的横截面积为A，节点的竖直位移和水平位移分别以δy和δx表示图7-12 桁架的不同加载路径分析 v此此时基本方程如下基本方程如下v平衡方程： v几何方程：v应力应变关系：（a）(b)(c)且有 v为了讨论问题方便，将上述基本方程用其增量表示为v平衡方程：v几何方程：v应力应变关系：v将载荷P和Q按不同的加载方案作用于桁架上，研究其对桁架应力和应变的影响a′） （b′） （c′） 且有 v1.1.非比例加非比例加载 对桁架先仅施加载荷P，保持Q=0，相应有δx=0。
当σ1和σ3达到σS的瞬时，由基本方程（a）、(b)、(c)可得v然后，在保持节点竖直位移δy不变的情况下施加载荷Q，这时P将有相应的改变此时节点位移增量为vΔδy=0,Δδx=δx>0（7-23） v由增量形式的几何方程（b′）可知，Δε2=0,Δε1>0,Δε3<0v这就是说，杆2不发生新的变形，杆1继续伸长，而杆3发生卸载，于是vΔσ1=Δσ2=0, Δσ3=EΔε3=-E 由增量形式的平衡方程可以求得 （7-24）v说明保持δy不变，Q增加时P必须减小v当取Δσ3=－2σs时，则σ3=－σs，即杆３进入压缩屈服，整个桁架再次进入塑性状态，Ｑ也不能再增加将各项增量代入平衡方程后，就有v（7-25） v2. 比例加载比例加载v由前面的讨论可知，非比例加载最终两项载荷的比例为P:Q=1: 现在于整个加载过程中，保持按此比例增加载荷，直到桁架进入塑性状态这种加载路径称为比例加载v当载荷从零开始增加时，桁架先是处于弹性状态，由基本方程（a）、（b）、（c）可得v其中以σ1绝对值最大当σ1=σs时，外载荷、应力、位移分别为(7-26) v再继续增加载荷，则Δσ1=0。
由增量形式的平衡方程（a′）式及ΔQ=ΔP可得v当σ2=σ2e+Δσ2=σs时，将Δσ2的数值代入上式，得v由ΔP值求得Δσ3，可得σ3=σ3e+Δσ3=-σs整个桁架进入了塑性状态利用基本方程可以进一步得到按比例加载至塑性极限状态时的应力、节点位移及极限荷载 （7-27） （7-27）（7-25） 。