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1、高等数学高等数学第七节第七节 平面及其方程平面及其方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角四、小四、小 结结高等数学高等数学设设高等数学高等数学 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法向量法向量法向量的法向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程高等数学高等数学平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，不在平面上平面上的点都满足上述方程，
2、不在平面上的点都不满足上述方程，故上述方程称为平面的点都不满足上述方程，故上述方程称为平面的方程的方程其中法向量其中法向量已知点已知点高等数学高等数学解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得高等数学高等数学取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解高等数学高等数学由平面的点法式方程由平面的点法式方程：平面的一般方程：平面的一般方程法向量法向量二、平面的一般方程二、平面的一般方程高等数学高等数学平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；
3、坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.高等数学高等数学设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解高等数学高等数学设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解高等数学高等数学将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程高等数学高等数学设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解高等数学高等数学化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为高等数学高等数学（通常取通常取锐角锐角）两平面法向量之间的夹角即为两
4、平面的两平面法向量之间的夹角即为两平面的夹角夹角. .三、两平面的夹角三、两平面的夹角高等数学高等数学按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/高等数学高等数学例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角高等数学高等数学两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.高等数学高等数学解解高等数学高等数学高等数学高等数学点到平面距离公式点到平面距离公式练习：练习：高等数学高等数学平面的方程平面的方程（熟记
5、平面的几种特殊位置的方程）熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）四、小结四、小结高等数学高等数学求平面方程的几种条件：求平面方程的几种条件：1. 过三个点过三个点;2. 过一个点与已知平面平行过一个点与已知平面平行;3. 过一个点与两已知平面垂直过一个点与两已知平面垂直;4. 过一个点和一条直线过一个点和一条直线(一个轴一个轴);高等数学高等数学思考题思考题高等数学高等数学思考题解答思考题解答高等数学高等数学 作作 业业P423: 1-3, 5, 8, 9.高等数学高等数学练习题答案练习题答案
