循环群和置换群 定义定义7.3.2 若群若群( G,◦)的生成元集为的生成元集为{ g }，则称，则称G为为循环群，循环群， g称为称为G的生成元，并记的生成元，并记 G = < < g > > •同同半群时的讨论类似半群时的讨论类似，， G ={ gk | k ∈ ∈ Z} (其中可能其中可能有相同的元素有相同的元素)•循环群是可交换的循环群是可交换的 例例 整数加群整数加群(Z, +)是一个循环群，其生成元为是一个循环群，其生成元为1或或-1，即，即Z =<1>或或Z =<-1> 例例 模模 n的剩余类加群的剩余类加群(Zn, +n)是一个循环群是一个循环群 [p]n∈ ∈Zn是是Zn的一个生成元当且仅当的一个生成元当且仅当 p与与 n互素注意：做为群的生成元集与半群的生成元集之间的注意：做为群的生成元集与半群的生成元集之间的差异！差异！ 定理定理 循环群循环群( G,◦)的阶的阶= G的的生成元生成元 g的阶证证. 设群设群 G的阶的阶=m, G的的生成元生成元 g的阶的阶=n分二种情形：分二种情形： ① ① n<∞，在，在G ={ gk | k ∈ ∈ Z }中中, gs = gt ⇔⇔ s≡t (mod n) . ∵ ∵ 若若 gs= gt，，即即 gs-t=e，，则则s-t=nq。
反之反之，若，若s-t=nq，则，则 gs= gnq+ +t = gt 因此因此 G ={ g0, g, g2,······, gn-1}，故，故m=n；； ② ② n=∞，在，在G ={ gk | k ∈ ∈ Z }中，假若中，假若 gs= gt，则有，则有gs-t=e因因此此 G没有相同的元素，没有相同的元素，故故 G的阶的阶 m=∞ •循环群是交换群循环群是交换群•若若( G,◦)为循环群，为循环群， g为为G的生成元，则的生成元，则G的结构在的结构在同构的意义下完全由同构的意义下完全由 g的阶所确定：的阶所确定：（（1）若）若 g的阶的阶= n，则，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)；；（（2））若若 g的阶的阶=∞，则，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )例如：例如： (AF ,∘ ∘) ≅ (Z3, +3) 证证. （（1）注意到，）注意到，在在G ={ gk | k ∈ ∈ Z }中中, gs= gt ⇔⇔ s≡t (mod n) 作映射作映射 f : G → → Zn , f ( gk )=[k]n ，， 则则 f 是双射。
是双射 又又 f (gs◦gt )= f (gs+ +t )=[s + t ]n =[s]n +n [t]n 即即 f 是同构，故是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) （（2）作映射）作映射 f : G → → Z , f ( gk )=k ，， 则则 f 是同构，故是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + ) 二、置换群置换群定义定义 设设 S为集合，称映射为集合，称映射τ τ : S →S 为为 S上的一个变上的一个变换变换即为集合换变换即为集合S到到S自身的一个映射自身的一个映射定理定理7.3.2 设设 G为集合为集合 S上全体变换的集合，则上全体变换的集合，则(G ,∘ ∘)是一个含幺元是一个含幺元 e的半群，其中运算的半群，其中运算 ∘ ∘ 是复合运是复合运算，算，e 为为S上的恒等变换上的恒等变换 定理定理7.3.2 设设T(S)为为集合集合 S上所有的双射变换，则上所有的双射变换，则(T(S),◦)是一个群是一个群•设设 S上的若干个双射变换组成的集合上的若干个双射变换组成的集合G关于关于◦ 构成构成一个群，则称一个群，则称 G为为 S上的一个变换群。
上的一个变换群•集合集合 S上双射变换的集合上双射变换的集合G关于关于◦ 构成构成一个群的充一个群的充要条件是下面二个条件成立：要条件是下面二个条件成立：（（1））G关于运算关于运算◦是封闭的，是封闭的，（（2）对）对∀ ∀g ∈ ∈ G，必有，必有 g-1 ∈ ∈ G 例例. (GF ,∘ ∘) 和和 (AF ,∘ ∘)都是平面都是平面上的变换群上的变换群例例 在已建立平面直角坐标系的平面上，在已建立平面直角坐标系的平面上， 用用σp表示平移：表示平移：σp (Q)= Q +P；； 用用τ τθ θ表示绕坐标原点的旋转表示绕坐标原点的旋转 一般地，一般地， σp∘ ∘τ τθ θ ≠τ τθ θ∘ ∘σp 比如取比如取P =(0,1)，，θ =½ ½π π ，则有：，则有： 故平面上全体一一变换构成的变换群不是交换群故平面上全体一一变换构成的变换群不是交换群 定理定理 任意一个群都同构于一个变换群任意一个群都同构于一个变换群证证. 设设( G, ∗ ∗)是群，是群，g ∈ ∈ G 定义变换定义变换 Tg: G →G, a→ g∗ ∗a [压缩或平移变换压缩或平移变换] 下面证明下面证明 ( T(G ),◦) 是群，其中是群，其中 T(G ) ={ Tg| g ∈ ∈ G }：： 若若Tg( a) = Tg( b), 则则 g∗ ∗a = g∗ ∗b, 由消去律得由消去律得 a = b, Tg是单射是单射; 对对∀ ∀c ∈ ∈ G, 有有d= g-1∗ ∗c ∈ ∈ G，，满足满足 Tg(d ) = c ，，Tg 是满射。
是满射 又又Tg◦Th(a) = Tg(Th(a)) = Tg(h∗ ∗a)= g∗ ∗h∗ ∗a = Tg∗ ∗h(a)∈ ∈ T(G ) , 而而Tg◦Tg-1(a) = g∗ ∗g-1∗ ∗a = a = g-1∗ ∗g∗ ∗a = Tg-1◦Tg(a), 即即Tg-1=Tg-1 . 综合上述结论可知：综合上述结论可知：( T(G ),◦) 是一个变换群是一个变换群 再证明再证明 ( G, ∗ ∗) ≅ ( T(G ),◦) 作映射作映射 f : G →T(G), g →Tg 显然显然 f 是一个满射是一个满射, 若若Tg = Th，则，则 Tg( a) = Th ( a)，即，即 g∗ ∗a = h∗ ∗a ，， 由消去律得由消去律得 g = h，，故故 f 是单射 而而Tg ∗ ∗ h ( a) = (g∗ ∗h)∗ ∗a = Tg◦Th( a) , 故故 f ( g ∗ ∗ h) = Tg ∗ ∗ h = Tg◦Th ，即，即 f 保持运算保持运算 综上所述知：综上所述知：( G, ∗ ∗) ≅ ( T(G ),◦) 定义定义 设设 S为含为含n个元素的有限集合，个元素的有限集合，σ σ是是 S上的一个上的一个双射，则称双射，则称 σ σ是是 S上的一个上的一个 n元置换。
元置换 S上的若干个置换关于运算上的若干个置换关于运算◦构成的群，称为构成的群，称为 n元元置换群；置换群；S 上的全体置换构成的群，称为上的全体置换构成的群，称为 n次对称次对称群，记为群，记为Sn• n次对称群的阶是次对称群的阶是 n! •设有限集合设有限集合S = {a1, a2,⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅,an}上一个置换，上一个置换，σ σ : S →S , ai → aj ( i =1, 2, ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ) 则则置换置换τ 完全由有序整数对完全由有序整数对 (1, j1), (2, j2), ,⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅, (n, jn) 所决定，于是可以将置换表示为：所决定，于是可以将置换表示为：通常用第一种方式表示置换，等价于将置换看作通常用第一种方式表示置换，等价于将置换看作:σ : i →j , ( i =1, 2, ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ )或或 例例7.3.5 设有限集合设有限集合S = {a1, a2, a3}，则，则 S上的上的每一个每一个置换可以用六种不同的方式来表示比如，置换可以用六种不同的方式来表示比如，τ τ : a1 → a2 , a2 → a3, a3 → a1 , 可以表示为：可以表示为：通常还是用通常还是用来表示。
来表示通常还是用通常还是用通常还是用通常还是用 例例. 3次对称群次对称群S3 中有中有6个元素，分别是个元素，分别是 •规定两个置换的复合运算规定两个置换的复合运算 ∘ ∘ 为为σ σ ∘ ∘τ τ (i)= σ σ (τ τ ( i )) 例例 设设 ，则，则于是于是τ τ ∘ ∘σ σ ≠ ≠σ σ ∘ ∘τ τ，即，即 S3不是交换群不是交换群实际上，实际上， S3是最小的有限非交换群，以后可以是最小的有限非交换群，以后可以知道一个有限的非交换群至少要含有知道一个有限的非交换群至少要含有6个元素 定义定义 设设 π ∈ ∈ Sn, π : i1 → i2 , i2 → i3, ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅, ik → i1 ，并使其，并使其余的元素保持不变，则称余的元素保持不变，则称 π 为一个为一个k－循环置换，－循环置换，记为记为(i1 i2 i3 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ik ) •由于由于(i1 i2 i3 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ik ) = (i2 i3 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ik i1 ) = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ = (ik i1 i2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ik-1 ), 因此因此一个一个k－循环置换有－循环置换有 k种表示方式种表示方式，且，且k－循环－循环置换的阶为置换的阶为k。
•1－循环置换只有－循环置换只有 1 种表示方式种表示方式，即恒等置换；，即恒等置换； 2－循环置换又称为对换－循环置换又称为对换•注意，并非每一个置换都是循环置换！注意，并非每一个置换都是循环置换！ 例例7.3.7 在在 S3中，我们有中，我们有 而而 定理定理 任意一个置换都等于若干个不含公共元素的循任意一个置换都等于若干个不含公共元素的循环置换的复合环置换的复合证证. 对元素的个数对元素的个数 n作归纳法作归纳法n=1 定理成立定理成立 假设对假设对≤ ≤n-1n-1个元素的置换来说定理成立，考虑个元素的置换来说定理成立，考虑 n元置换元置换不妨设不妨设 τ τ : 1 → j1 , j1 → j2 , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, jk → 1 , 于是于是置换置换τ τ 可改写为可改写为 而置换而置换是个是个≤ ≤n-1n-1元的置换，根据归纳法假设，她可以分解成若干元的置换，根据归纳法假设，她可以分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积当然，这些循环置换个不含公共元素的循环置换的乘积当然，这些循环置换都可以看作都可以看作n n个元素的循环置换因此，个元素的循环置换因此，τ τ 就就分解成若干个分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积。
不含公共元素的循环置换的乘积 注意，不含公共元素的循环置换的乘法是可交换的注意，不含公共元素的循环置换的乘法是可交换的 例例 利用循环置换的方法，我们有利用循环置换的方法，我们有 3次对称群次对称群 S3的元素可以表示为的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132) 4次对称群次对称群 S4的元素可以表示为：的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘ ∘(34), (13)∘ ∘(24), (14)∘ ∘(23) •注意到注意到 (i1 i2 i3 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ik ) = (i1 i2)∘ ∘(i2 i3)∘ ∘⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅∘ ∘(ik-1 ik) = (i1 ik)∘ ∘(i1 ik-1)∘ ∘⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅∘ ∘(i1 i2) 即即一个循环置换可以分解成若干个一个循环置换可以分解成若干个对换的乘积，对换的乘积，但表示法是不唯一的。
但表示法是不唯一的例如，例如， 推论推论 任一置换都可以分解成若干个任一置换都可以分解成若干个对换的乘积，且对换的乘积，且 所含对换个数的奇偶性是确定的所含对换个数的奇偶性是确定的• 若置换若置换σ σ 可以分解成可以分解成奇数奇数个对换的乘积，则称个对换的乘积，则称σ σ 为为 奇置换，否则，称奇置换，否则，称σ σ 为为偶偶置换 •二个二个偶偶置换的乘积是置换的乘积是偶偶置换；二个奇置换的乘积置换；二个奇置换的乘积是是偶偶置换；奇置换与置换；奇置换与偶偶置换的乘积是奇置换置换的乘积是奇置换•奇置换的逆是奇置换；奇置换的逆是奇置换；偶偶置换的逆是置换的逆是偶偶置换•n 次对称群次对称群 Sn中全体中全体偶偶置换构成一个群，称为置换构成一个群，称为n 次交代群，记为次交代群，记为 An A3 ={ (1), (123), (132) } 定理定理 任一个有限群都同构于一个置换群任一个有限群都同构于一个置换群证证. 因为有限群因为有限群( G, ∗ ∗)同构于一个变换群同构于一个变换群( S,◦)，于，于是是G与与S对等，即对等，即S是是有限集，故有限集，故( S,◦)为为置换群。