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1、二、两因素等重复试验的方差分析二、两因素等重复试验的方差分析一、两因素非重复试验的方差分析一、两因素非重复试验的方差分析第节两因素方差分析第节两因素方差分析 一、两因素非重复试验的方差分析一、两因素非重复试验的方差分析因素因素B因素因素A1 1、两因素试验、两因素试验对两个因素的每一组合只做一次试验对两个因素的每一组合只做一次试验, 称其称其为为双因素无重复试验双因素无重复试验.2 2、两因素非重复试验、两因素非重复试验假设假设3 3、数学模型、数学模型为了应用方差分析模型，需要做如下变换为了应用方差分析模型，需要做如下变换设设总平均总平均Lsjjj, 1, = =- -= = m mm mb
2、 b要推断因素要推断因素A的影响是否显著，就等价于假设检验的影响是否显著，就等价于假设检验称其为两因素非重复试验方差分析的数学模型称其为两因素非重复试验方差分析的数学模型要推断因素要推断因素A的影响是否显著，就等价于假设检验的影响是否显著，就等价于假设检验3. 离差平方和分解离差平方和分解 总离差平方和总离差平方和(总变差总变差)随机误差随机误差平方和平方和因素因素A的引起的引起的离差平方和的离差平方和因素因素B的引起的引起的离差平方和的离差平方和令3. 离差平方和的统计特性离差平方和的统计特性则则同理同理又因为又因为因而因而同理同理令令则则因此因此 构造统计量构造统计量4. 统计量的分布统计
3、量的分布显然，离差平方和公式的左右两边自由度满足：显然，离差平方和公式的左右两边自由度满足：由柯赫伦因子分解定理由柯赫伦因子分解定理(p16定理定理)可知可知:因而原假设成立时因而原假设成立时5. 拒绝域拒绝域表表5.9两因素非重复试验的方差分析表两因素非重复试验的方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F值值因素因素A因素因素B总总 和和误误 差差为了计算方便，通常可以采用如下公式：令为了计算方便，通常可以采用如下公式：令则则例例1(p1651(p165例例5.5)5.5) 为了提高某种合金钢的强度，需要为了提高某种合金钢的强度，需要同时考察炭同时考察炭C以及以及Ti的含量
4、对强度的影响，以便选取的含量对强度的影响，以便选取合理的成份组合使得强度达到最大，在试验中分别取合理的成份组合使得强度达到最大，在试验中分别取因素因素A(C的含量的含量)3个水平，因素个水平，因素B(Ti的含量的含量)4个水平，个水平，测得的强度为测得的强度为:73.571.971.067.269.067.866.465.166.865.663.963.1 B水平水平A水平水平试问：炭与钛的含量对合金钢的强度是否有显著影响试问：炭与钛的含量对合金钢的强度是否有显著影响(=0.01).解解因而炭与钛的含量对合金钢的强度是有显著影响因而炭与钛的含量对合金钢的强度是有显著影响.表表.5.12因素因素
5、A因素因素B二、双因素等重复试验的方差分析二、双因素等重复试验的方差分析假设假设1. 数学模型数学模型设设总平均总平均Lsjjj, 1, = =- -= = m mm mb b称其为双因素等重复试验方差分析的数学模型称其为双因素等重复试验方差分析的数学模型 判断因素以及因素的交互作用对试验结果是否有判断因素以及因素的交互作用对试验结果是否有显著影响等价于检验假设：显著影响等价于检验假设：总离差平方和总离差平方和(总变差总变差)误差误差平方和平方和因素因素 A 的的效应平方和效应平方和因素因素 B 的的效应平方和效应平方和因素因素A,B的交的交互效应平方和互效应平方和令3. 离差平方和的统计特性
6、离差平方和的统计特性则则同理同理又因为又因为因而因而同理同理令令则则因此因此 构造统计量构造统计量4. 统计量的分布统计量的分布显然，离差平方和公式的左右两边自由度满足：显然，离差平方和公式的左右两边自由度满足：由柯赫伦因子分解定理由柯赫伦因子分解定理(p27定理定理1.6)可知可知:因而因而5. 方差分析对应的拒绝域方差分析对应的拒绝域将上述结果总结，可以得到如下表内容将上述结果总结，可以得到如下表内容:表双因素等重复试验的方差分析表表双因素等重复试验的方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F比比因素因素A因素因素B交互作用交互作用误差误差总和总和为了计算方便，通常可以采
7、用如下公式：令为了计算方便，通常可以采用如下公式：令则则例例2(p171例例5.6)考察合成纤维中对纤维弹性有影响的考察合成纤维中对纤维弹性有影响的两个因素，收缩率两个因素，收缩率A和总拉深倍数和总拉深倍数B，A和和B各取各取各取各取4种水平，每组组合水平重复试验两次，得到下表数据种水平，每组组合水平重复试验两次，得到下表数据问收缩率和总拉深倍数以及这两者的交互作用对纤维问收缩率和总拉深倍数以及这两者的交互作用对纤维弹性是否有显著的影响弹性是否有显著的影响, 取取显显著性水平著性水平为为0.05. 因素因素A因素因素B71,7372,7375,7377,7573,7576,7478,7774,
8、7476,7379,7774,7574,7375,7373,7270,7169,69解解因而纤维收缩率对弹性是有显著影响，总拉深倍数对弹因而纤维收缩率对弹性是有显著影响，总拉深倍数对弹性无显著影响，而它们的相互作用对弹性有显著影响性无显著影响，而它们的相互作用对弹性有显著影响.三、小结三、小结1.双因素等重复试验的方差分析步骤双因素等重复试验的方差分析步骤2.双因素无重复试验的方差分析步骤双因素无重复试验的方差分析步骤(3)研究统计特性研究统计特性;(2)分解平方和分解平方和;(4)确定拒绝域确定拒绝域.(1)建立数学模型建立数学模型;(3)研究统计特性研究统计特性;(2)分解平方和分解平方和;(4)确定拒绝域确定拒绝域.(1)建立数学模型建立数学模型;再再 见见
