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1、 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节本节内容内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 时时函数极限的定义函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度 ,要求确定直接观测值精度 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时,
2、有若记作几何解释几何解释:极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明证证:故对任意的当时 , 因此总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明证证:欲使取则当时 , 必有因此只要机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明证证:故取当时 , 必有因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明: 当证证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证 .必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 保号性定理保号性定理定理定理1 . 若且 A 0 ,证证: 已知即当时, 有当 A 0 时, 取正数则在对应的邻域上( 0)则存在
3、( A 0 )(P37定理3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 若取则在对应的邻域上 若则存在使当时, 有推论推论:(P37 推论)分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 . 若在的某去心邻域内, 且 则证证: 用反证法.则由定理 1,的某去心邻域 , 使在该邻域内与已知所以假设不真, (同样可证的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为是否必有不能不能! 存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :当时, 有右极限 :当时, 有定理定理 3 .( P38 题8 )机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、例例5. 设函数讨论 时的极限是否存在 . 解解: 利用定理 3 . 因为显然所以不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义2 . 设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y = A 为曲线的水平渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数例例6. 证明证证:取因此注注:就有故欲使即机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :当时, 有当时, 有几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数极限的或定义及应用2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1. 若极限存在,2. 设函数且存在, 则例3 作业作业 P37 1(4) ; 2(2) ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 Th1Th3Th2是否一定有第四节 目录 上页 下页 返回 结束 ？
