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1、专题九专题九 概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法v第二部分第二部分考题剖析考题剖析 试题特点试题特点 0312概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法应试策略应试策略 06 1.1.近三年高考各试卷概率与统计考查情况统计 2005年高考各地的 16套试卷中，出现概率统计解答题的有 15套，具体涉及的知识点是等可能事件、相互独立事件同时发生、独立重复实验的概率、分布列与期望. 2006年高考各地的 18套试卷里，有 15道此类型的解答题，其中有 3道是关于概率计算的， 1道涉及到正态分布的数据表格（湖北卷），其余的均为分布列和数学期望. 2007年高考各地的 19套试卷中，有 16
2、道概率解答题，一般是以实际背景为载体进行考查，也有一道题是以二次方程根的情况为载体，主要是考查三种概率，即：等可能事件的概率、独立事件的概率、独立重复实验的概率、分布列与期望 .但广东卷涉及到线性回归方程的应用问题，北京、湖北卷涉及到抽样统计问题.试题特点试题特点概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 2.2.主要特点 (1)概率知识与实际生活密切相关，高考对概率内容的考查，往往以实际问题为背景，结合排列、组合等知识，考查学生对知识的运用能力，这既是这类问题的特点，也符合高考发展方向. (2)随机变量的考查稳中求新，稳中求活. 随机变量在命题中涉及的知识及题型有： 简单随机变量的分布列；
3、 简单随机变量的期望与方差的计算.随机变量分布列试题的解法规律性强，但试题涉及的知识面广、设问方式新，特别是与工农业生产、生活、科研、文化、体育等实际知识相结合，因此显得形式活泼、内容新颖，解法灵活.试题特点试题特点概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 (3)统计考查. 此类型题主要考查简单抽样的三种方法，但由于统计的内容在今后的工作、生活中有很大的应用，在突出应用数学的今天，可能加大考查力度，在正态分布等内容上作文章. (4)考 查 “或然与必然思想 ”，面对随机现象的不确定性（或然性），我们更要掌握其中的规律性（必然性） .近年来，高考突出了对概率与统计内容的考查，使学生亲历于 “
4、或 然 ”中抓住 “必 然 ”的 实践，是符合实际需要的.试题特点试题特点概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法应应 试试 策策 略略 1.1.正确理解有关概念 (1)随机试验与随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；条件每实现一次，叫做一次试验；如果试验结果预先无法确定，这种试验叫做随机试验. (2)频率与概率：对于一个事件来说概率是一个常数；频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率. (3)互斥事件与对立事件：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件. (4)互斥事件与相互独立事件：不可能同时发生的事件叫做互斥事件；而相互独
5、立事件则是指两个事件发生与否相互之间没有影响.应试策略应试策略概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 2.2.从集合的角度看概率 若把一次试验所有可能的结果组成集合I，事件A，B包含的结果分 别组成集合A，B，则事件A的概率就是P(A)= ;事件A与B互斥， 就是AB= ，A与B对立就是A=CI B，即 =B.应试策略应试策略概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 3. 3.公式的使用 (1)常用公式： 等可能事件的概率：P(A)= 互斥事件的概率：P（AB）=P（A）P（B）. 对立事件的概率：P（A ）=P（A）P（ ）=1. 相互独立事件的概率：P（AB）=P（A）P（B）.
6、 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率： Pn(k)=C pk(1p)nk. (2)注意事项： 每个公式都有其成立的条件，若不满足条件，则这些公式将不再成立. 对于一个概率问题，应首先弄清它的类型，不同的类型采用不同的计算方法.一般题中总有关键语句说明其类型，对于复杂问题要善于进行分解，或者运用逆向思考的方法.应试策略应试策略概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 4. 4.掌握离散型随机变量的期望与方差的概念及性质： （1）期望：若离散型随机变量的概率分布为 则的数学期望（或平均数、均值、简称期望）为： E=x1p1x2p2xnpn 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 数学期
7、望有如下性质： E(ab)=aEb(a,b为常数).应试策略应试策略概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法x1x2xnPp1p2pn (2)方差：如果离散型随机变量的所有可能取值是x1,x2,xn，,且取这些值的概率分别是p1,p2,pn,那么D=(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn,叫的方差.D的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作. 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.（标准差与随机变量本身有相同的单位） 方差的性质：设a,b为常数，则D(ab)=a2D;D=E2(E)2. (3)若服从二项分布，即B(n,p)，则E=np,D=np(
8、1p).应试策略应试策略概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法考考 题题 剖剖 析析考题剖析考题剖析1.（2007韶关摸底考试）如图所示, 有两个独立的转盘(A)、(B).两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60、120、180.用这两个转盘进行玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始），记转盘(A)指针对的数为x，转盘(B)指针对的数为y.设xy的值为,每转动一次则得到奖励分分. ()求x1的概率； () 某人玩12次，求他平均可以得到多少奖励分？概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法考题剖析考题剖析 解析（）
9、由几何概率模型可知：P（x=1）= ，P（x=2）= ，P（x=3）= ；P（y=1）= ，P（y=2）= ，P（y=3）=则P（x1）= P（y=2） P（y=3）=所以P（x1）= P（x1）=概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 （）由条件可知的取值为：2、3、4、5、6.则的分布列为： 他平均一次得到的奖励分即为的期望值： E= 所以给他玩12次，平均可以得到12E=50分考题剖析考题剖析概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法23456P 点评本题主要考查互斥事件的概率、随机变量分布列和期望.注意指针落在1、2、3区域不是一个等可能事件而是与落在区域的面积大小有关，审题要
10、仔细，最后是求12次的平均得分.考题剖析考题剖析 2. （2007昆明质检二）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字.质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）.在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止. （）求点P恰好返回到A点的概率； （）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变
11、量表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求的数学期望.概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法考题剖析考题剖析 解析 （）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为P1= 因为只投掷一次不可能返回到A点；若投掷两次点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为P2= 若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为P3= 若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1），其概率为P4=所以，点P恰好返回到
12、A点的概率为P=P2P3P4=概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法考题剖析考题剖析 （）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种， . 概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 点评 在求较复杂事件的概率时往往转化为求某几个事件的“和事件 ”或“积事件 ”，如事件 “点P恰好返回到 A点”，就分解 为 “投掷两次点 P恰能返回到 A点”、“投掷三次点 P恰能返回到 A点”、“投掷四次点 P恰能返回到 A点”三个互斥事件的和，而这三个事件又可以进一步分解，但要区分是不是互斥事件或独立事件 ,否则容易漏分和重复导致出错.3.（2007成都市质检二）一种电脑屏幕保护画面，
13、只有符号“”和“”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“”和“”之一，其中出现“”的概率为p，出现“”的概率为q，若第k次出现“”，则记ak=1；出现“”，则记ak=1，令Sn=a1a2an. （）当p=q= 时，记=|S3|，求的分布列及数学期望； （）当 时，求S8=2且Si0(i=1,2,3,4)的概率.考题剖析考题剖析概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 解析（）=|S3|的取值为1，3，又p=q= ,P(=1)= P(=3)=的分布列为的数学期望E=考题剖析考题剖析概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 1 3 P考题剖析考题剖析 点评 本题主要考查随机变量的
14、分布列和期望，考查限制条件下的概率计算 .处理离散型变量时，注意正确判断随机变量的取值，全面剖析各个随机变量所包含的各种事件及相互关系，准确计算变量的每个取值的概率.有限制条件的概率计算要认清限制条件对事件的影响.概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 （）当S8=2时，即前八秒出现“”5次和“”3次，又已知Si0(i=1,2,3,4), 若第一、三秒出现“”，则其余六秒可任意出现“”3次； 若第一、二秒出现“”，第三秒出现“”，则后五秒可任出现“”3次.故此时的概率为 4. （2007西安中学三模）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概 率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影
15、响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. （）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率； （）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射 击5次后，被中止射击的概率是多少？ （）若甲连续射击5次,用表示甲击中目标的次数，求的数 学期望E.考题剖析考题剖析概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 解析（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为 ；考题剖析考题剖析 (2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1
16、，2，3，4，5），则 ，由于各事件相互独立，故答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是 .概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 （3）根据题意服从二项分布；E=5考题剖析考题剖析 点评概率题常常有如下几种类型：等可能性事件的概率；互斥事件的概率；独立事件同时发生的概率；独立重复试验事件的概率.弄清每种类型事件的特点，区分使用概率求法，如本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，满足几何显著条件：每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法考题剖
17、析考题剖析 .（2007湖北武汉四月调研）一袋中装有分别标记着1、2、3、4 数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为. (1) 求=3时的概率; (2) 求的概率分布列及数学期望.概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 解析 (1) =3表示取出的三个球中数字最大者为3三次取球均出现最大数字为3的概率 P1=( )3三取取球中有2次出现最大数字3的概率三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率 (2) 在=k时, 利用(1)的原理可知: (k=1,2,3,4). 的概率分布列为: 考题剖析考题剖析概率与统计解答题的解法概率与统计
18、解答题的解法 1 2 3 4 P 点评本小题主要考查等可能事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力.这也可以用排列组合中的分堆知识来理解. 6. (2007湖北黄冈骆驼坳中学5月模拟)有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成. 设随机变量表示密码中不同数字的个数. （）求P（=2）； （）求随机变量的分布列和它的数学期望.考题剖析考题剖析概
19、率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法第一排明文字符ABCD密码字符11121314第二排明文字符EFGH密码字符21222324第三排明文字符MNPQ密码字符1234 解析（）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码. P(=2)=考题剖析考题剖析概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法 （）由题意可知，的取值为2，3，4三种情形.若=3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.P(=3)= . 若=4,则P(=4)= （或用1P(=2)P(=3)求得）. 的分布列为： E=考题剖析考题剖析 点评 本小题主要考查概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力，读题、想题、审题的能力，求随机变量的概率在某种程度上就是正确求出相应事件的概率，因此必须弄清每个取值的含义，本概率题跟排列组合知识联系紧密，其实高中概率题往往以排列组合知识为前提.概率与统计解答题的解法概率与统计解答题的解法234P
