第一单元数与式

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1、1第一单元第一单元 数与式数与式 第第1 1课时课时 实数的有关概念实数的有关概念第第2 2课时课时 实数的大小比较及运算实数的大小比较及运算第第3 3课时课时 整式及因式分解（含代整式及因式分解（含代数式）数式）第第4 4课时课时 分分 式式第第5 5课时课时 二次根式二次根式第一单元第一单元 数与式数与式2第第1 1课时课时 实数的有关概念实数的有关概念中考考点清单中考考点清单常考类型剖析常考类型剖析第一单元第一单元 数与式数与式3 中考考点清单中考考点清单考点考点1 1 实数的相关概念实数的相关概念考点考点2 2实数及其分类实数及其分类考点考点3 3科学记数法科学记数法考点考点4 4 平

2、方根、算术平方根和立方根平方根、算术平方根和立方根第一单元第一单元 数与式数与式4 常考类型剖析常考类型剖析类型一类型一 实数的相关概念实数的相关概念类型二类型二 科学记数法科学记数法类型三类型三 无理数、负数的识别无理数、负数的识别第一单元第一单元 数与式数与式 正负数及其意义正负数及其意义（1 1）正负数的概念）正负数的概念: :大于大于0 0的数就是正数的数就是正数, ,在正数在正数面加面加“- -”号的数叫负数号的数叫负数, ,如如1, , ,1.51, , ,1.5是正数是正数,-,-, ,-0.618, , ,-0.618, 是负数是负数考点考点1 1 实数的相关概念（实数的相关概

3、念（高频考点高频考点） 第一单元第一单元 数与式数与式 （1） 0 0既不是正数既不是正数, ,也不是负数也不是负数. . （2 2）判断负数的方法判断负数的方法: :若含运算先化简到若含运算先化简到最简结果最简结果; ;将最简结果与将最简结果与0 0比较大小比较大小, ,小于小于0 0的的为负数为负数. .温馨提示温馨提示第一单元第一单元 数与式数与式 (2)正负数的意义正负数的意义: :正负数可用于表示具有相反意正负数可用于表示具有相反意义的量义的量. .例如例如: :若把向东走若把向东走3 3 km, ,记作记作“+3 +3 km”, ,那那么向西走么向西走2 2 km可记作可记作“-2

4、-2km”. . 一一般般地地, ,常常用用来来表表示示具具有有相相反反意意义义的的量量有有: :“收收入入”与与“支支出出”, ,“升升高高”与与“降降低低”, ,“零零上上”与与“零零下下”, ,“前前进进”与与 “后后退退”, ,“海海平平面面以以上上”与与“海平面以海平面以 下下”等等. .第一单元第一单元 数与式数与式. .数轴数轴 规定了规定了 、 和单位长度和单位长度的直线叫做数轴的直线叫做数轴. .任何实数都可以用数轴上唯任何实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示一的一个点来表示, ,即实数与数轴上的点是一即实数与数轴上的点是一一对应的一对应的. .原点原点正方向正方向3.3.相

5、反数相反数(1)如果两个数只有如果两个数只有 不同不同, ,那么其那么其中一个数叫做另一个数的相反数中一个数叫做另一个数的相反数. .如如与与- -2互为相反数互为相反数,-,-3的相反数是的相反数是3符号符号第一单元第一单元 数与式数与式 (2)一般地一般地, ,a的相反数是的相反数是 -a, ,特别地特别地,0,0的相反数的相反数是是0;0;如如-2014-2014的相反数是的相反数是2014;2014;(3)若若a, ,b互为相反数互为相反数, ,则则 a+ +b=0; ;(4)在数轴上在数轴上, ,表示互为相反数表示互为相反数(0(0除外除外) )的两个点的两个点, ,位于原点两侧位于

6、原点两侧, ,并且到原点的距离相等并且到原点的距离相等. .第一单元第一单元 数与式数与式温馨提示温馨提示利用定义利用定义: :只有符号不同的两个数互为只有符号不同的两个数互为相反数相反数, ,判断两个数是否为相反数时判断两个数是否为相反数时, ,特别注特别注意意, ,定义要求两个数定义要求两个数“只有符号不同只有符号不同”, ,但不但不是是“符号不同的两个数符号不同的两个数”, ,如如-2013-2013与与虽然符号不同虽然符号不同, ,但它们不是相反数但它们不是相反数, ,因为它们因为它们不仅符号不同不仅符号不同, ,而且数字也不同而且数字也不同. .第一单元第一单元 数与式数与式4.4.

7、绝对值绝对值(1)概念概念: :一般地一般地, ,数轴上表示数轴上表示a的点与原点的距的点与原点的距离叫做数离叫做数a的绝对值的绝对值, ,记作记作. .|a|(2)性质性质: : -a第一单元第一单元 数与式数与式即正数的绝对值是它即正数的绝对值是它 , ,零的绝对值是零零的绝对值是零, ,负负数的绝对值是它的数的绝对值是它的 ; ;互为相反数的两个互为相反数的两个数的绝对值数的绝对值 . . 具有非负性具有非负性, ,即即 . .如如 的绝对值是的绝对值是 ,|2|= ,|2|= . . 本身本身相反数相反数相等相等 2 2第一单元第一单元 数与式数与式【方法指导】【方法指导】(1)若绝对

8、值中带有计算的先计算，若绝对值中带有计算的先计算，再求绝对值再求绝对值, ,如如 (2)若若|a|中中a为两数之差为两数之差, ,需先比较两数大小需先比较两数大小, ,保证保证|a|去掉绝对值号后结果为非负数去掉绝对值号后结果为非负数, ,如如 = . = . 1第一单元第一单元 数与式数与式 5. .倒数倒数: :实数实数a（a00）的倒数为）的倒数为 , ,特别特别地地,0,0没有倒数没有倒数, ,倒数是其本身的数是或倒数是其本身的数是或- -. .【归纳总结【归纳总结】(1)(1)若若a、b互为倒数互为倒数, ,则则 ；(2)(2)一个数一个数 或或 颠倒分子、分母的位置得到的颠倒分子、

9、分母的位置得到的数数 或或 是原数的倒数是原数的倒数. .如如的倒数是的倒数是 -4的倒数是的倒数是 的倒数是的倒数是- -2014. .第一单元第一单元 数与式数与式 6. .无理数无理数 (1)概念概念: :无限不循环小数叫做无理数无限不循环小数叫做无理数 (2)常见的几种无理数常见的几种无理数:根号型根号型: : 等开方开不尽的数；等开方开不尽的数；某些三角函数某些三角函数: : ， 等（但等（但 ， 等不是无理数）等不是无理数）;构造型构造型: :如如0.1010010001（每两个之间零的个数依次（每两个之间零的个数依次加）加）;及某些含及某些含的数的数: :，等等第一单元第一单元

10、数与式数与式 返回目录返回目录试题链接试题链接 考点考点2 2实数及其分类实数及其分类. .实数实数有理数和无理数统称为实数有理数和无理数统称为实数2 2. .实数的分类实数的分类（1 1）按定义分类）按定义分类第一单元第一单元 数与式数与式(2)按正负分类按正负分类 实数可分为正实数，零和负实数，其中正实数实数可分为正实数，零和负实数，其中正实数和零统称为非负数和零统称为非负数第一单元第一单元 数与式数与式 返回目录返回目录考点考点3 3 科学记数法（高频考点）科学记数法（高频考点）科学记数法：科学记数法：把一个绝对值大于把一个绝对值大于1010的数的数表示成表示成 的形式，其中是整数位数的

11、形式，其中是整数位数只有一位的数（即，只有一位的数（即， ）这种记数法）这种记数法叫做科学记数法例如：叫做科学记数法例如：13200001320000用科学记数用科学记数法表示为法表示为 ；15.215.2万用科学记数法万用科学记数法可表示为可表示为 ；0.00320.0032用科学记数法用科学记数法表示为表示为 . .第一单元第一单元 数与式数与式 【方法指导】【方法指导】 用用科科学学记记数数法法表表示示一一个个数数时时, ,关关键键是是确确定定a和和n的的值值, ,其其中中1|a| |10,( (1) )当当原原数数的的绝绝对对值值大大于于或或等等于于1010时时, ,n n是是正正整整

12、数数, ,它它的的值值等等于于原原数数的的整整数数位位数数减减1;(;(2) )当当原原数数的的绝绝对对值值大大于于且且0小小于于1时时, ,n是是负负整整数数, ,它它的的绝绝对对值值等等于于原原数数左左起起第第一一个个非非零零数数字字前前所所有有零零的的个个数数 ( (小小数数点点前前的的零零);();(3) )含含有有计计数数单单位位( (如如: :亿亿、万万、千千) )的的数数用用科科学学记记数数法法表表示示时时, ,若若需需转转化化单单位位，则则先先把把计计数数单单位位转转化化为为数数字字表表示示, ,再再用用科科学学记数法表示记数法表示, ,其中亿、万、千的进制分别为其中亿、万、千

13、的进制分别为 第一单元第一单元 数与式数与式 近似数和有效数字近似数和有效数字(1)近似数近似数: :一个与实际数很接近的数一个与实际数很接近的数(2)有效数字有效数字: :一个近似数一个近似数 到哪一到哪一位位, ,就说这个近似数精确到哪一位就说这个近似数精确到哪一位; ;这时从左边这时从左边数第一个不是零的数字起数第一个不是零的数字起, ,到精确到的数位为到精确到的数位为止止, ,所有的数字都是这个近似数的有效数字所有的数字都是这个近似数的有效数字. .对对于用科学记数法表示的数于用科学记数法表示的数 , ,规定它的有效规定它的有效数字就是数字就是a中的中的 . .四舍五入四舍五入有效数字

14、有效数字第一单元第一单元 数与式数与式 返回目录返回目录试题链接试题链接平方根、算术平方根平方根、算术平方根 若若 , ,则则 是是 的一个平方根的一个平方根, ,记作记作 , ,我们把我们把 的正平方根叫做的正平方根叫做 的算术平方根的算术平方根. .一个正一个正数有两个平方根数有两个平方根, ,它们互为相反数它们互为相反数, ,0的平方根是的平方根是0, ,负数没有平方根负数没有平方根. .如如9的平方根为的平方根为 . .考点考点4 4 平方根、算术平方根和立方根平方根、算术平方根和立方根立方根立方根 若若 , ,则称则称 为为 的立方根的立方根, ,记为记为 . .正正数有一个正的立方

15、根数有一个正的立方根; ;负数有一个负的立方根负数有一个负的立方根;0;0的立方根是的立方根是0. .如如8 8的立方根为的立方根为2,-642,-64的立方根为的立方根为-4.-4.第一单元第一单元 数与式数与式 非负数非负数(1)(1)在开立方运算中，被开方数为任意实数；在开立方运算中，被开方数为任意实数；(2) (2) 1. 1.定义：定义：0 0和所有的正数统称为非负数初中所学和所有的正数统称为非负数初中所学的三种非负数形式有的三种非负数形式有 2. 2.性质性质：(1)所有非负数均大于所有非负数均大于0 0或等于或等于0 0;(2)几个非负数的和为几个非负数的和为0 0，则这几个非负

16、数各自为，则这几个非负数各自为0.0.如如 则则 即即 解得解得 【温馨提示温馨提示】(1)(1)在开立方运算中，被开方数为任意实数；在开立方运算中，被开方数为任意实数；(2) (2) 第一单元第一单元 数与式数与式 返回目录返回目录类型一类型一 实数的有关概念实数的有关概念例例1 1 （1313青岛改编）青岛改编） 的相反数是（的相反数是（ ）A.-6 B.6 C. D.A.-6 B.6 C. D.【点评与拓展】【点评与拓展】掌握相反数的定义是求解此掌握相反数的定义是求解此类问题的常用方法一般地，求一个数的相类问题的常用方法一般地，求一个数的相反数可直接在所给数字前加一个反数可直接在所给数字

17、前加一个“负号负号”，再运算得出结果再运算得出结果. .【解析】【解析】根据相反数的定义，只有符号不同的根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可知两个数互为相反数，可知 的相反数是的相反数是 .D第一单元第一单元 数与式数与式 变式题变式题 （1313昭通）昭通）4 4的绝对值是（）的绝对值是（） A. B. C. 4 D.- 4 A. B. C. 4 D.- 4 【解析】【解析】变式题变式题2 2 （1414原创原创) )20142014的倒数是（）的倒数是（）A.2014 B. C.2014 D.A.2014 B. C.2014 D.【解析】 2014 2014的倒数是的倒数是

18、CB第一单元第一单元 数与式数与式 返回考点返回考点类型二类型二 科学记数法（重点科学记数法（重点）例例2 (2 (1313常德常德) )打开百度搜索栏打开百度搜索栏, ,输入输入“数学学习数学学习法法”, ,百度为你找到的相关信息有百度为你找到的相关信息有12000000 12000000 条条, ,请请用科学记数法表示用科学记数法表示1200000012000000 . .【解析】【解析】科学记数法的表示形式为科学记数法的表示形式为 其中其中 n为整数确定为整数确定n的值时，要看把原数的值时，要看把原数变成变成a时，小数点移动了多少位，时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小的绝对值与小数点

19、移动的位数相同当原数绝对值大于数点移动的位数相同当原数绝对值大于1时，时，n是正数；当原数的绝对值大于是正数；当原数的绝对值大于0 0且小于且小于1时，时，n是负是负数数. . 第一单元第一单元 数与式数与式 【点评与拓展】【点评与拓展】将一个大数用科学记数法表示为将一个大数用科学记数法表示为形式时形式时, ,关键是确定关键是确定a和和n的值的值, , ,n为正整数为正整数, ,其值等于原数的整数位数减去其值等于原数的整数位数减去. .在做这类题的选择在做这类题的选择题时题时, ,可先用可先用 排除不合适选项排除不合适选项, ,再用原数整再用原数整数位数减确定数位数减确定n的值的值. .第一单

20、元第一单元 数与式数与式 变式题变式题3 3 ( (1313自贡自贡) )在我国南海某海域探明可在我国南海某海域探明可燃冰储量约有燃冰储量约有194194亿立方米亿立方米.194.194亿用科学记数法亿用科学记数法表示为（表示为（ ）A. B. A. B. C. D.C. D.A第一单元第一单元 数与式数与式 返回考点返回考点类型三类型三 无理数、负数的识别无理数、负数的识别【解析】【解析】2 2、3.143.14、 都是有理数都是有理数, ,故故A A、B B、C C选项错误选项错误; ; 是无理数是无理数, ,故故D D选项正确选项正确. .例例3 3 (1313常州常州) )在下列在下列

21、实实数中数中,无理数是无理数是( )A.2 B. 3.14 C. D.【方法指导】【方法指导】识别无理数的关键是正确理解无识别无理数的关键是正确理解无理数的概念理数的概念. .熟悉常见的几种无理数形式熟悉常见的几种无理数形式, ,可参可参见本课时考点见本课时考点1中无理数的讲解中无理数的讲解. .D第一单元第一单元 数与式数与式 变式题变式题( (1313桂林桂林) )下面各数是负数的是下面各数是负数的是( )( )A.0 B.-2013 C. D.A.0 B.-2013 C. D.【解析】【解析】、0 0既不是正数既不是正数, ,也不是负数也不是负数; ;、-2013 -2013 是负数是负

22、数;C;C、 是正数是正数,D,D、 是正数是正数. .B第一单元第一单元 数与式数与式 返回考点返回考点30第第2 2课时课时 实数的大小比较及运算实数的大小比较及运算 中考考点清单中考考点清单常考类型剖析常考类型剖析第一单元第一单元 数与式数与式中考考点清单中考考点清单考点考点1 1 实数运算实数运算考点考点2 2 实数的大小比较实数的大小比较第一单元第一单元 数与式数与式 常考类型剖析常考类型剖析类型一类型一 实数实数的运算的运算类型二类型二 实数的大小比较实数的大小比较第一单元第一单元 数与式数与式 考点考点1 实数的运算实数的运算 四则运算的法则四则运算的法则(1)加法加法：同号两数

23、相加同号两数相加, ,取相同的符号取相同的符号, ,并把绝对值并把绝对值相加相加. .异号两数相加异号两数相加, ,绝对值相等时和为绝对值相等时和为0 0；绝对值不；绝对值不等时等时, ,取绝对值较大的数的符号取绝对值较大的数的符号, ,并用较大的绝对值并用较大的绝对值减去较小的绝对值减去较小的绝对值. .一个数同相加一个数同相加, ,仍得这个数仍得这个数. .(2)减法减法: :减去一个数等于加上这个数的减去一个数等于加上这个数的 . . (3)乘法乘法: :两数相乘两数相乘, ,同号得同号得 , ,异号得异号得 , , 再将两数的绝对值相乘再将两数的绝对值相乘. .(4)除法除法: :除以

24、一个不为的数除以一个不为的数, ,等于乘以这个等于乘以这个数数 . . 相反数相反数正正负负倒数倒数第一单元第一单元 数与式数与式 2. 2. 常见实数运算类型及法则常见实数运算类型及法则运算运算法则法则举例举例零次零次幂幂任何非零实数的零次幂为任何非零实数的零次幂为，即，即 负整负整数指数指数幂数幂任何非零有理数的负整数任何非零有理数的负整数指数幂是它的指数次幂的指数幂是它的指数次幂的倒数倒数. .即即 （a0,p为整数）为整数） ， . 11第一单元第一单元 数与式数与式 -1-1的奇的奇偶幂偶幂-1-1的奇数次幂为，的奇数次幂为，-1-1的偶数次幂为的偶数次幂为 （1）绝对值详见本册）绝

25、对值详见本册 考点中对绝对值的讲解；考点中对绝对值的讲解；（2）特殊角的三角函数详见本册）特殊角的三角函数详见本册 考点对锐角三角函数考点对锐角三角函数 的讲解的讲解 ， . .-11第一单元第一单元 数与式数与式 3.3.实数运算步骤实数运算步骤步骤一步骤一:将实数混合运算中所涉及的每一小将实数混合运算中所涉及的每一小项的值计算出来项的值计算出来, ,一般包含零次幂、负整数一般包含零次幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根等运算指数幂、绝对值、算术平方根等运算, ,对于对于其他运算符号保持不变其他运算符号保持不变步骤二步骤二:按照实数混合运算顺序计算按照实数混合运算顺序计算, ,具体操具体操作

26、如下作如下:(1)先乘方先乘方, ,再乘除再乘除, ,最后加减最后加减;(2)同同级运算级运算, ,从左到右进行从左到右进行;(3)如有括号如有括号, ,先做括先做括号内的运算号内的运算, ,按小括号、中括号、大括号依按小括号、中括号、大括号依次进行次进行步骤三步骤三:得出最终结果得出最终结果. .第一单元第一单元 数与式数与式 考点考点2 2 实数的大小比较实数的大小比较.数轴比较法数轴比较法:数轴上的两个数右边的数总比左边的数轴上的两个数右边的数总比左边的数大数大. . .性质比较法性质比较法:正数大于和一切负数，负数小于正数大于和一切负数，负数小于;两个负数比较大小两个负数比较大小, ,

27、绝对值大的数反而小绝对值大的数反而小. .如如 .作差比较法作差比较法:(1)a-ba-b0 0 a ab b ;(2)a-ba-b a ab b ;(3) a-ba-b= = a a = =b b. . 4. .平方比较法平方比较法:第一单元第一单元 数与式数与式 【方法指导】【方法指导】在一组既有正数、在一组既有正数、0, ,又有负数的又有负数的数字中数字中, ,若求最大数若求最大数, ,直接从正数中找直接从正数中找, ,若求最小若求最小数数, ,直接从负数中根据负数的大小比较法则找直接从负数中根据负数的大小比较法则找. . 第一单元第一单元 数与式数与式类型一类型一 实数的运算（重点）实

28、数的运算（重点）【思路点拨】【思路点拨】根据去绝对值法则和负整数指数根据去绝对值法则和负整数指数幂以及零指数幂的运算法则化简，再由特殊角幂以及零指数幂的运算法则化简，再由特殊角的锐角三角函数计算即可的锐角三角函数计算即可解：解：原式原式= = = = = =例例1 1 （1414原创）原创）计算：计算： 第一单元第一单元 数与式数与式 【解题模板】【解题模板】第一单元第一单元 数与式数与式 变式题变式题1 1 （1313湘西州）湘西州）计算计算: :解：解：原式原式= = = = = =第一单元第一单元 数与式数与式 类型二类型二 实数的大小比较实数的大小比较例例2 2 （1313宜宾）宜宾）

29、下列各数中下列各数中,最小的数是最小的数是 ( )A. 2 B. -3 C. D.0【解析】由正数由正数负负数知，要在数知，要在2,-3, ,0中找最中找最小的数小的数,只需在只需在-3与与 中找即可中找即可,再由两个再由两个负负数比数比较较大小大小,绝对值绝对值大的反而小可得大的反而小可得结结果果. ,即即-3最小最小.B第一单元第一单元 数与式数与式 【点评与拓展】【点评与拓展】解答此解答此类问题类问题,关关键键是正确掌握比是正确掌握比较较两数大小的法两数大小的法则则.也可利用数也可利用数轴轴比比较较有理数的大有理数的大小小,法法则则是在数是在数轴轴上的数右上的数右边边的的总总比左比左边边

30、的大的大.变式题变式题2 2 （1313钦州）钦州）比较大小比较大小-1 2（填填“”或或“” ）. 【解析】【解析】负数都小于正数，负数都小于正数， 第一单元第一单元 数与式数与式 44 中考考点清单中考考点清单常考类型剖析常考类型剖析第课时第课时 整式及因式分整式及因式分解（含代数式）解（含代数式）第一单元第一单元 数与式数与式中考考点清单中考考点清单考点考点1 1 代数式及其求值代数式及其求值考点考点2 2 整式的相关概念整式的相关概念考点考点3 3 整式的运算整式的运算考点考点4 4 因式分解因式分解 第一单元第一单元 数与式数与式 常考类型剖析常考类型剖析类型一类型一 代数式求值代数

31、式求值类型二类型二 整式的运算整式的运算类型三类型三 整式化简求值整式化简求值类型四类型四 因式分解因式分解第一单元第一单元 数与式数与式 考点考点1 1 代数式及其求值代数式及其求值1.代数式代数式:把数与表示数的字母用运算符号把数与表示数的字母用运算符号连连接接而成的式子叫代数式而成的式子叫代数式2.列代数式列代数式:用含有数、字母及运算符号的式子用含有数、字母及运算符号的式子把把问题问题中的数量关系表示出来中的数量关系表示出来,就就是是列代数式列代数式.第一单元第一单元 数与式数与式 3 3.代数式求值代数式求值(1)一般地，用数值代替代数式里的字母一般地，用数值代替代数式里的字母,按照

32、代数式中按照代数式中的运算关系计算得出结果的运算关系计算得出结果,叫代数式求值叫代数式求值.(2)常用代数式求值的方法常用代数式求值的方法:直接代入求值法、整体代入直接代入求值法、整体代入求值法求值法. .如如:直接代入法直接代入法:若若 则代数式则代数式 的值为的值为整体代入法整体代入法:已知已知ab=,a-b=,则则 的值为的值为 .56第一单元第一单元 数与式数与式 考点整式的相关概念考点整式的相关概念1 1单项式单项式:字母与字母或数字与字母的字母与字母或数字与字母的叫做叫做单项式单项式. .一个单项式中一个单项式中, ,所有字母的指数的和叫做这个所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数

33、单项式的次数;单独的一个数或一个字母单独的一个数或一个字母单单项式项式, ,如如:2 2a是单项式，是单项式，a单项式单项式( (填填“是是”或或“不是不是”).).2 2多项式多项式:几个几个 的和叫做多项式的和叫做多项式. .组成多组成多项式的每个单项式叫做多项式的项项式的每个单项式叫做多项式的项, ,多项式中次数最多项式中次数最高的项的次数高的项的次数, ,叫做这个多项式的次数叫做这个多项式的次数, ,如如:代数式代数式 是是 次次项式项式3 3整式整式: 和和统称为整式统称为整式积积是是是是单项式单项式五五三三单项式单项式多项式多项式第一单元第一单元 数与式数与式 1. 整式的加减运算

34、整式的加减运算(1)同类项同类项:所含所含 相同相同,并且并且 的的指数也相同的项叫做同类项指数也相同的项叫做同类项;所有常数项都是同类项所有常数项都是同类项.(2)合并同类项合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项把多项式中的同类项合并成一项,叫叫做合并同类项做合并同类项;合并同类项时合并同类项时,把把 相加相加,所含所含字母和字母的指数不变字母和字母的指数不变.如如 (3)(3)整式加减法的运算法则整式加减法的运算法则: :先去括号先去括号,再合并同类项再合并同类项.考点考点3 3 整式的运算整式的运算字母字母相同字母相同字母系数系数第一单元第一单元 数与式数与式 【温馨提示温馨提示】去括

35、号法则去括号法则:(1)括号前是括号前是“”号号,把括号去掉时把括号去掉时,原括号里各项的符号都不变原括号里各项的符号都不变;(2)括号前是括号前是“”号号,把括号和它前面的把括号和它前面的“”号去掉号去掉,原括号里各项符号都要改变原括号里各项符号都要改变.第一单元第一单元 数与式数与式 2 2. .幂幂的运算的运算( (a 0，m，n都是整数都是整数) )名称名称运算法则运算法则公式表示公式表示举例举例同底数幂同底数幂的乘法的乘法底数不变，底数不变，指数相加指数相加 . 同底数幂同底数幂的除法的除法 底数不变，底数不变，指指 数相减数相减 . 幂的乘方幂的乘方底数不变，底数不变，指指 数相乘

36、数相乘 _. 积的乘方积的乘方等于各因数分等于各因数分 别乘方的积别乘方的积 _.第一单元第一单元 数与式数与式 3. 整式的乘法运算整式的乘法运算单项式乘单项式乘以单项式以单项式把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式如指数作为积的一个因式如单项式乘单项式乘以多项式以多项式用单项式分别去乘以多项式的每一项，再用单项式分别去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加即把所得的积相加即 .多项式乘多项式乘以多项式以多项式用一个多项式的每一个项分别乘以另一用一个多项式的

37、每一个项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加个多项式的每一项，再把所得的积相加乘法公式乘法公式平方差公式平方差公式 .完全平方公式：完全平方公式：第一单元第一单元 数与式数与式 单项式单项式除以单除以单项式项式将系数、同底数幂分别相除，作为商的一将系数、同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在被除式中含有的字母，个因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如则连同它的指数作为商的一个因式如多项式多项式除以单除以单项式项式用多项式的每一项除以这个单项式，再把用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，如所得的商相加，如 4.整式的除法运算整式的除法运算第

38、一单元第一单元 数与式数与式 5.整式混合运算及求整式混合运算及求值值的一般解的一般解题题步步骤骤第第1步步:运算各运算各项项乘除法乘除法.利用整式乘除法法利用整式乘除法法则则（单项单项式式乘以乘以单项单项式、式、单项单项式乘以多式乘以多项项式、多式、多项项式除以式除以单项单项式式等）及乘法公式（平方差公式等）及乘法公式（平方差公式: ,完完全平方公式全平方公式: 将每一将每一项项乘法展开乘法展开,并并给给每每项项运算加上括号运算加上括号.第第2步步:去括号去括号.根据括号前的符号情况根据括号前的符号情况,若括号前若括号前为为“”，则则去括号去括号时时各各项项不不变变号号;若括号前若括号前为为

39、“”,则则去括号去括号时时各各项项要改要改变变符号符号第一单元第一单元 数与式数与式 第第3步步:找出同找出同类项类项并合并并合并.将算式中同将算式中同类项连类项连同其同其前面的符号放在一起前面的符号放在一起,并用括号括起来并用括号括起来,再用合并再用合并同同类项类项法法则进则进行合并行合并.第第4步步:得出运算得出运算结结果果.整式化整式化简简的最后的最后结结果是算式果是算式中各中各项项都是都是单项单项式加法的形式式加法的形式,且不存在同且不存在同类项类项.第第5步步:代代值计值计算算.将所将所给值给值代入整式化代入整式化简简的的结结果果中中,并按照运算法并按照运算法则计则计算数算数值值.其

40、其实质实质是是实实数运算数运算.第一单元第一单元 数与式数与式 考点考点4 4 因式分解因式分解1.把一个多把一个多项项式化成几个整式的式化成几个整式的 的形式的形式,像像这样这样的式子的式子变变形形,叫做把叫做把这这个多个多项项式因式分解式因式分解;因因式分解与整式乘法互式分解与整式乘法互为为逆运算逆运算.2.基本方法基本方法(1)提公因式法提公因式法: . 积积第一单元第一单元 数与式数与式 （2）公式法）公式法第一单元第一单元 数与式数与式 3.一般步一般步骤骤（1）如果多）如果多项项式各式各项项有公因式有公因式,应应先提取先提取公因式公因式;（2）如果各）如果各项项没有公因式没有公因式

41、,可以可以尝试尝试使用使用公式法公式法:为为两两项时项时,考考虑虑平方差公式平方差公式;为为三三项项时时,考考虑虑完全平方公式完全平方公式;为为四四项时项时,考考虑虑利用利用分分组组的方法的方法进进行分解行分解;（3）检查检查分解因式是否分解因式是否彻彻底底,必必须须分解到分解到每一个多每一个多项项式都不能再分解式都不能再分解为为止止以上步以上步骤骤可以概括可以概括为为“一提二套三一提二套三检查检查”中考考点清单中考考点清单 类型一类型一 代数式求值代数式求值例例1 1 （1313吉林）吉林）若若 则则 . .【解析】【解析】 1第一单元第一单元 数与式数与式 【点【点评评与拓展】与拓展】解决

42、此类问题解决此类问题, ,一般注意有一般注意有三种形式三种形式:所给代数式已是最简形式所给代数式已是最简形式, ,直接直接代入数字求值即可代入数字求值即可;所给代数式通过变形所给代数式通过变形后有的部分与已知代数式相同后有的部分与已知代数式相同, ,可考虑用整可考虑用整体代入法体代入法;所求代数式虽复杂所求代数式虽复杂, ,但可进行因但可进行因式分解、合并同类项等式分解、合并同类项等, ,先化简代数式先化简代数式, ,再代再代入求值入求值第一单元第一单元 数与式数与式 变式题变式题1 1 （1313河北）河北）若若 ，则，则 ( ) ( ) A.3 B.-3 C.5 D.-5A.3 B.-3

43、C.5 D.-5 【解析】【解析】将将 代入得代入得 A第一单元第一单元 数与式数与式 类型二类型二 整式的运算整式的运算例例2 2 （1313安徽）安徽）下列运算正确的是下列运算正确的是 （ ）A. B. C. D.【解析】【解析】A. A. 无法计算无法计算, ,故此选项错误；故此选项错误；B. B. , ,故此选项正确故此选项正确;C. C. ，故此选项错，故此选项错误；误；D. D. ，故此选项错误，故此选项错误. .C第一单元第一单元 数与式数与式 【点评与拓展】【点评与拓展】掌握合并同类项、幂的运掌握合并同类项、幂的运算、乘法公式是解决此类问题的关键，一算、乘法公式是解决此类问题的

44、关键，一般是运用法则对每个选项逐个判断并加以般是运用法则对每个选项逐个判断并加以排除，直至选出正确项为止排除，直至选出正确项为止. .第一单元第一单元 数与式数与式 变式题变式题2 2 （1313沈阳）沈阳）下面计算一定正确下面计算一定正确的是（的是（ ）A. B.A. B.C. D.C. D.【解析】【解析】A. ,A. ,故本选项错误故本选项错误; ;B. ,B. ,故本选项错误；故本选项错误；C. C. ，故本选项正确；故本选项正确；D. ,D. ,故本选项错误故本选项错误. .C第一单元第一单元 数与式数与式 类型三整式化简及求值类型三整式化简及求值 例例3 3 （1414原创）原创）

45、先化简先化简, ,再求值：再求值： 其中其中 . .【思路点拨】【思路点拨】先去括号，再合并同类项，先去括号，再合并同类项，将整式化为最简式，然后把的值代入即将整式化为最简式，然后把的值代入即可可第一单元第一单元 数与式数与式 解：解：原式原式= = 当当 时，原式时，原式= =【点评与拓展】【点评与拓展】此类问题应先利用整式混此类问题应先利用整式混合运算的法则对所给代数式进行化简，注合运算的法则对所给代数式进行化简，注意去括号法则的应用，最后代入字母的值意去括号法则的应用，最后代入字母的值求解求解. .第一单元第一单元 数与式数与式 变式题变式题3 3 （1414原创）原创）先化简，再求值：

46、先化简，再求值： ，其中，其中 . .解：解：第一单元第一单元 数与式数与式 类型四类型四 因式分解因式分解例例4 4 （1313烟台）烟台）分解因式：分解因式： . .【解析解析】先提取公因式先提取公因式，再根据平方差，再根据平方差公式进行二次分解，公式进行二次分解，第一单元第一单元 数与式数与式 【点评与拓展】【点评与拓展】对于分解因式问题对于分解因式问题, ,首先观首先观察所给代数式有无公因式察所给代数式有无公因式, ,有公因式则先提有公因式则先提公因式公因式, ,再看是否能用公式再看是否能用公式, ,一般两项可考一般两项可考虑用平方差公式虑用平方差公式, ,三项考虑用完全平方公式三项考

47、虑用完全平方公式. .最后检验是否分解彻底最后检验是否分解彻底. .注意因式分解的结注意因式分解的结果一定是几个因式乘积的形式果一定是几个因式乘积的形式. .第一单元第一单元 数与式数与式 变式题变式题4 4 （1313山西）山西）因式分解：因式分解： . . 【解析】【解析】第一单元第一单元 数与式数与式 72 中考考点清单中考考点清单常考类型剖析常考类型剖析第第4 4课时课时 分分 式式第一单元第一单元 数与式数与式 中考考点清单中考考点清单考点考点1 1 分式的概念及性质分式的概念及性质考点考点2 2 分式的运算分式的运算 第一单元第一单元 数与式数与式 常考类型剖析常考类型剖析类型一类

48、型一 分式化简分式化简类型二类型二 分式化简求值分式化简求值第一单元第一单元 数与式数与式 考点考点1 1 分式的概念及其性质分式的概念及其性质1.分式的概念分式的概念:形如形如 (A、B是整式是整式,B中含有字母中含有字母,且且B0)的式子叫做分式的式子叫做分式.【温馨提示】【温馨提示】(1)(1)分式有意义分式有意义: :在分式在分式 中中, ,当分母当分母B0B0时时, ,分式分式 有意义有意义;(2);(2)分式无意义分式无意义: :在分式在分式 中中, ,当分母当分母B=0B=0时时, ,分式分式 无意义无意义;(3);(3)分式的值为零分式的值为零: :分式分式 的值为零的条件是分

49、子的值为零的条件是分子 且分母且分母 . .第一单元第一单元 数与式数与式 分式的性质分式的性质(1)(1)分式的基本性质：分式的基本性质： （A A、B B、M M 是整式是整式, ,且且 ）. . (2)(2)约分：把分式的分子与分母的约分：把分式的分子与分母的 约去，约去，这样的分式变形叫做分式的约分最简分式：分子、这样的分式变形叫做分式的约分最简分式：分子、分母无公因式的分式分母无公因式的分式. . 公因式公因式第一单元第一单元 数与式数与式 【温馨提示】【温馨提示】约分的关键是找最大公因式，约分的关键是找最大公因式，确确 定最大公因式的方法定最大公因式的方法：（：（1 1）确定系数：

50、确定系数：求各个系数的最大公约数；（求各个系数的最大公约数；（2 2）确定因式）确定因式（如果分母是多项式，要先因式分解）：（如果分母是多项式，要先因式分解）：选择所有因式中出现的相同因式；（选择所有因式中出现的相同因式；（3 3）确）确定指数：选择相同因式中指数最低的次数定指数：选择相同因式中指数最低的次数第一单元第一单元 数与式数与式 （3 3）通分：把几个异分母的分式化成与原）通分：把几个异分母的分式化成与原来分式相等的同分母分式来分式相等的同分母分式（4 4） ：通分要先确定各分：通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分

51、母最高次幂的积作公分母. . 【温馨提示】【温馨提示】通分的关键是找最简公分母通分的关键是找最简公分母, ,取最简公分母的方法取最简公分母的方法: :系数应当是各个分母的系数应当是各个分母的系数的最小公倍数系数的最小公倍数, ,字母和式子应当取各个分字母和式子应当取各个分母的所有字母和式子母的所有字母和式子, ,每个字母或式子的指数每个字母或式子的指数应当取各分母中次数最高的应当取各分母中次数最高的最简公分母最简公分母第一单元第一单元 数与式数与式 考点考点2 2 分式的运算分式的运算运算运算法则法则数学表达式数学表达式举例举例加加减减法法同分母分式相同分母分式相加减：分母不加减：分母不变，分

52、子相加变，分子相加减减 异分母分式相异分母分式相加减：先通分，加减：先通分，同乘以各分母同乘以各分母的最小公倍数，的最小公倍数，再按同分母分再按同分母分式加减法则式加减法则进行运算进行运算_1_第一单元第一单元 数与式数与式 乘乘法法两分式相乘：两分式相乘：分子与分子分子与分子相乘，分母相乘，分母与分母相乘与分母相乘除除法法分式分式 等于等于然后用分式然后用分式乘法法则进乘法法则进行运算行运算_第一单元第一单元 数与式数与式 2.分式化简求值题的一般步骤分式化简求值题的一般步骤第一步：若有括号的，先计算括号内的分式运算，第一步：若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，

53、需将异分母分括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉简称：去括号；类项，把括号去掉简称：去括号；第二步：若有除法运算的，将分式中除号（第二步：若有除法运算的，将分式中除号（）后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“”“”变为变为“”“”，保证几个分式之间除了，保证几个分式之间除了“、”就只有就只有“或或”，简称：除法变乘法；，简称：除法变乘法；第一单元第一单元 数与式数与式 第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解

54、、约分来计算乘法运算；约分来计算乘法运算；第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算直到化为最简形式；分式加减运算直到化为最简形式；第五步：将所给数值代入求值，代入数值时第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义要注意使原分式有意义. .第一单元第一单元 数与式数与式 类型一类型一 分式化简分式化简例例1 1 （1313咸宁）咸宁）化简化简 的结果为的结果为 .【解析】【解析】原式原式= =第一单元第一单元 数与式数与式 变式题变式题1 1 （1313郴州）郴州）化简化简 的结果为（的结果为（ ） A.-1 B.1 C. D. A.

55、-1 B.1 C. D.B第一单元第一单元 数与式数与式 返回返回 类型二类型二 分式化简求值分式化简求值例例2 (2 (1313永州永州) )先化简先化简, ,再求值再求值: :其中其中 【思路分析】【思路分析】先将括号内的第一项约分，再进行同先将括号内的第一项约分，再进行同分母分式的加法运算，再将除法转化为乘法，进行分母分式的加法运算，再将除法转化为乘法，进行化简，最后将代入化简后的式子计算即可化简，最后将代入化简后的式子计算即可第一单元第一单元 数与式数与式 湖南中考面对面陕西万唯图书有限公司返回返回 变式题变式题2 2 （1414原创）原创） 先化简，再把先化简，再把 取一取一个你喜欢

56、的数代入求值：个你喜欢的数代入求值：第一单元第一单元 数与式数与式 第一单元第一单元 数与式数与式 88第第5 5课时课时 二次根式二次根式 中考考点清单中考考点清单常考类型剖析常考类型剖析第一单元第一单元 数与式数与式中考考点清单中考考点清单考点考点1 1 二次根式及其性质二次根式及其性质考点考点2 2 二次根式的运算及估值二次根式的运算及估值返回返回目录目录第一单元第一单元 数与式数与式 返回返回目录目录常考类型剖析常考类型剖析类型一类型一 二次根式有意义的条二次根式有意义的条类型二类型二 二次根式的运算二次根式的运算第一单元第一单元 数与式数与式 考点考点1 1 二次根式及其性质二次根式

57、及其性质1. 1. 二次根式：一般地，我们把形如二次根式：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式叫做二次根式2. 2. 二次根式有意义的条件：被开方数二次根式有意义的条件：被开方数 使使 有意义的条件为：有意义的条件为： a ，即，即a. .3. 二次根式的性质：二次根式的性质：（1） （ a ）；如：）；如：（2 2） （ a ）；如：）；如： （3 3） （ a ，）；）；如：如： 大于等于大于等于0第一单元第一单元 数与式数与式 （4 4） （ a ，）；）；如：如：考点考点2 2 二次根式的运算及估值二次根式的运算及估值最简二次根式：最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以最简二

58、次根式必须同时满足以下两个条件：下两个条件：（）被开方数中不含（）被开方数中不含；（）被开方数中不含能（）被开方数中不含能 的因数或因的因数或因式如式如 故故 不是最简二次根式不是最简二次根式. （填（填“是是”或或“不是不是”）最简二）最简二 次根式次根式.分母分母开得尽方开得尽方是是第一单元第一单元 数与式数与式 2.二次根式的除法二次根式的除法（1 1）乘法：）乘法： （，）.（2）除法：）除法： （，），）.3.3.二次根式加减法的三个步骤：二次根式加减法的三个步骤：（1 1）把每个根式化简；）把每个根式化简；（2 2）把被开方数相同的二次根式的系数相加减；）把被开方数相同的二次根式的

59、系数相加减；（3 3）被开方数保持不变）被开方数保持不变第一单元第一单元 数与式数与式 4二次根式混合运算：二次根式混合运算：二次根式混合运算法则与二次根式混合运算法则与实数运算相同，即先算乘方，乘除，再算加减，实数运算相同，即先算乘方，乘除，再算加减，有括号的先算括号内的有括号的先算括号内的.【方法指导】【方法指导】对于二次根式的混合运算题，首先对于二次根式的混合运算题，首先将所含二次根式化为最简形式，再做乘方，乘除将所含二次根式化为最简形式，再做乘方，乘除运算，注意二次根式性质的合理应用，最后化为运算，注意二次根式性质的合理应用，最后化为只含有加减的运算，再将被开方数相同的二次根只含有加减

60、的运算，再将被开方数相同的二次根式进行合并，从而得出结果式进行合并，从而得出结果.第一单元第一单元 数与式数与式 5 5. .二次根式的估值二次根式的估值 二次根式估值时，一般先对根式平方，找出与平二次根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，并对它们方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，并对它们进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间，进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间，例如：估算例如：估算 在哪两个整数之间时，先对在哪两个整数之间时，先对 平方，平方，得，再找与相邻的两个能开得尽方的数得，再找与相邻的两个能开得尽方的数4 4和和9 9，因，因

61、为为4 47 79 9，所以，所以 4 4 9 9. .第一单元第一单元 数与式数与式 类型一类型一 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件例例1 1 （1313广州）广州）若代数式若代数式 有意义，则实有意义，则实数数 的取值范围是的取值范围是 （ ）A. B.C. D. 【解析】【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于开方数大于或等于0，分母不等于，分母不等于0，得：，得： D第一单元第一单元 数与式数与式 【点评与拓展】【点评与拓展】二次根式的性质要求被开方数必须二次根式的性质要求被开方数必须大于或等于大于或等于0，分式有意义的条件为

62、分母不等于，分式有意义的条件为分母不等于0，因此在计算该类代数式中字母的取值范围时，应同因此在计算该类代数式中字母的取值范围时，应同时考虑两个条件：二次根式及分式都有意义时考虑两个条件：二次根式及分式都有意义第一单元第一单元 数与式数与式 变式题变式题1 1 （1414原创）原创）若二次根式若二次根式 在实在实数范数范围内有意义，则围内有意义，则 的值可以是的值可以是 . 【解析】【解析】根据题意得：根据题意得： 解得解得 在此范围内在此范围内 取值均可以取值均可以.0（答案不唯一）（答案不唯一）第一单元第一单元 数与式数与式 类型二类型二 二次根式的运算二次根式的运算例例2 （14原创）计算

63、：原创）计算： 【点评与拓展】【点评与拓展】本题考查的是二次根式的混合运本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般按照先乘除，再加减算，在进行此类运算时一般按照先乘除，再加减的运算顺序进行的运算顺序进行. .第一单元第一单元 数与式数与式 陕西万唯图书有限公司 变式题变式题2 2 （1414原创）原创）下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是( ( ） A. B. C. D. .A第一单元第一单元 数与式数与式 【解析解析】A先化简二次根式，然后合并同类二次根先化简二次根式，然后合并同类二次根式式B负整数指数幂运算，根据运算法则：负整数指数幂运算，根据运算法则： C根据公式根据公式D第一单元第一单元 数与式数与式