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1、全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、全微分方程一、全微分方程二、积分因子法二、积分因子法 第十二章 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 为全微分方程 则求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .一、全微分方程一、全微分方程则称为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求解解解: 因为故这是全微分方程. 则有因此方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解解解: 这是一个全微分方程
2、 .用凑微分法求通解. 将方程改写为即故原方程的通解为或机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分因子法二、积分因子法思考思考: 如何解方程这不是一个全微分方程 ,就化成例2 的方程 .使为全微分方程,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数 积分因子.例2 目录 上页 下页 返回 结束 常用微分倒推公式常用微分倒推公式:积分因子不一定唯一 .例如, 对可取机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解解解: 分项组合得即选择积分因子同乘方程两边 , 得即因此通解为即因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P285 1(2), (4), (7); 2(2), (5); 4 习题课1 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 解方程解法解法1 积分因子法.原方程变形为取积分因子故通解为此外, y = 0 也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 化为齐次方程. 原方程变形为积分得将代入 ,得通解此外, y = 0 也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法3 化为线性方程. 原方程变形为其通解为即此外, y = 0 也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束
