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1、1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积 提出问题提出问题 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 几何体表面积几何体表面积 展开图展开图 平面图形面积平面图形面积 平面问题平面问题 空间问题空间问题 引入新课引入新课 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和们的表面积就是各个面的面积的和 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积
2、的方法，求立体图形的表面积图形求面积的方法，求立体图形的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 棱柱的展开图棱柱的展开图 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？ h 正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图 棱锥的展开图棱锥的展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？ 正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 h/h/棱锥的展开图棱锥的展开图 棱锥的侧
3、面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？ 侧面展开 h正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 h棱锥的展开图棱锥的展开图 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？ 侧面展开 h h 正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图 棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 hh 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的 表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它
4、的各个侧面面积和底面面积之和 典型例题典型例题 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面，各面均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成 S SD? BC解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作 ， ?ABCA B D C 3a因为因为BC=a，SD ? SB?sin60 ?2?交交BC于点于点D S ?ABC所以：所以：11332?BC?SD?a?a ?a2224因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积 圆柱的表面积圆柱的表面积 rO?lO 2
5、?r圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形 S圆柱表面积? 2?r ? 2?rl ? 2?r(r ? l)2圆锥的表面积圆锥的表面积 2?rlrO 2圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形 S圆锥表面积?r ?rl ?r(r ? l)圆台的表面积圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么 rO l2?r2?rrO 22圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环 S圆台表面积?(r? ? r ? r? l ? rl )三者之间关系三者之间关系 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关圆柱、圆锥、
6、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？系？ rO?rO lO rr 上底扩大上底扩大 lr0 上底缩小上底缩小 lr2O 2rO S柱? 2?r(r ? l)S台?(r? ? r ? r? l ? rl )S锥?r(r ? l)典型例题典型例题 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径 20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为 1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长?取取15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 2cm）？）？ 3.143.14，结果精确到，结果精
7、确到1 1 20cm 解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积： 215cm?15?215?20?1.5?S?15?15?2222?15cm? 999(cm )cm 答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是 999 999 22柱体体积柱体体积 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱 正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式的体积公式, ,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为： （S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） V ? Sh一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是： V ? Sh其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱
8、柱的高 圆锥体积圆锥体积 圆锥的体积公式：圆锥的体积公式： 1圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 31V ?Sh3（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 棱锥体积棱锥体积 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系 三棱锥与同底等高的三棱柱的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系 锥体体积锥体体积 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积1的的 即棱锥的体积：即棱锥的体积： 31V ?Sh（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 3 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类
9、似，都是底由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于 1底面面积乘高的底面面积乘高的 3台体体积台体体积 根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台由于圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥( (棱棱锥锥) )截成的，因此可以利用两个锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台体的体积差得到圆台 ( (棱台棱台) )的的体积公式体积公式( (过程略过程略) ) AA?PD?S?C?hB?DSV ? VP? ABCD?VP? A? B? C? D?1?(S?S? S
10、? S)h3BC台体体积台体体积 棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式 1V ?(S?S? S? S)h3S， S?分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积， h为圆台为圆台 其中其中 （棱台）的高（棱台）的高 台体体积台体体积 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？ 上底扩大上底扩大 上底缩小上底缩小 V ? ShS? 0S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高 1S? S1V ?ShV ?(S?S? S? S)h33S为底面面积，为底面面积，S分别为上、下底面分别为上、下底面h为柱体高为柱体高 面积，面积，h 为台体高为台体高 典
11、型例题典型例题 例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 37.8g/cm）六角螺帽共重）六角螺帽共重 5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边 形，边长为形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，?取取3.14）？）？ 问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺帽大约有多少个（ 解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即的体积与圆柱体积之差，即 : : 31022V ?12 ? 6?10? 3.14? () ?10423? 2956(mm )? 2.956(cm )3所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为
12、5.8?1000? (7.8? 2.956) ? 252（个）（个） 答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有 252252个个 知识小结知识小结 圆柱圆柱 S? 2?r(r ? l)r ? r?柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积 22? 圆台圆台S ?(r? r ? r? l ? rl)r? 0展开图展开图 圆锥圆锥 S?r(r ? l)各面面积之和各面面积之和 知识小结知识小结 柱体柱体 V ? ShS? S柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积 1台体台体 V ?(S?S? S? S)h3S? 01锥体锥体V ?Sh3柱、锥、台体的表面积和体积 中教育星软件技术有限公司中教育星软件技术有限公司 20062006年年3 3月制作月制作
